dot produkt může být definován algebraicky nebo geometricky. Geometrická definice je založena na pojmech úhlu a vzdálenosti (velikost vektorů). Ekvivalence těchto dvou definic se opírá o Kartézský souřadnicový systém pro euklidovský prostor.

v moderních prezentacích euklidovské geometrie jsou body prostoru definovány z hlediska jejich kartézských souřadnic a samotný euklidovský prostor je běžně identifikován se skutečným souřadnicovým prostorem Rn. V takové prezentaci jsou pojmy délky a úhlů definovány pomocí bodového produktu., Délka vektoru je definována jako odmocnina ze skalárního součinu vektoru sama o sobě, a cosinus (non orientovaný) úhel dvou vektorů délky je definován jako jejich skalární součin. Takže ekvivalence dvou definic bodového produktu je součástí ekvivalence klasických a moderních formulací euklidovské geometrie.,nebo {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Když vektory jsou označeny řádek matice, skalární součin lze zapsat jako součin matic

⋅ b = b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

, kde b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} označuje transpozici z b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

Vyjádřit výše uvedený příklad tímto způsobem, 1 × 3 matice (řádkový vektor) se vynásobí 3 × 1 matice (sloupcový vektor), aby si 1 × 1 matici, která je identifikována s jeho unikátní vstup:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {purple}3} .,

Geometrické definitionEdit

V Euklidovský prostor, Euklidovský vektorový je geometrický objekt, který má jak velikost, tak směr. Vektor může být zobrazen jako šipka. Jeho velikost je jeho délka a jeho směr je směr, na který ukazuje šipka., Velikost vektoru a je označena ‖ a {{\displaystyle \ left \ / \ mathbf {A} \ right\/} . Skalární součin dvou Euklidovský vektorů a a b je definován

⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta}

, kde θ je úhel mezi a a b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {b} = 0 .,t druhého extrému, pokud jsou codirectional, pak úhel mezi nimi je nula s cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

To znamená, že skalární součin vektoru se sebou samým je

⋅ a = ‖ a ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

, který dává

‖ a ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

vzorec pro Eukleidovská délka vektoru.,

Skalární projekce a první propertiesEdit

skalární projekce (nebo skalární složky) Euklidovský vektor ve směru Euklidovský vektor b je dána tím,

b = ‖ a ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta}

, kde θ je úhel mezi a a b.,

z hlediska geometrické definice skalárního součinu, tohle může být přepsáno,

b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

, kde b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} je jednotkový vektor ve směru, b‘.

skalární součin je tedy vyznačuje geometricky tím,

⋅ b = a b ‖ b ‖ = b ‖ a ‖ ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}

takto definovaný bodový produkt je homogenní při škálování v každé proměnné, což znamená, že pro všechny skalární α,

( α a) ⋅ b = α ( a ⋅ b) = a ⋅ ( α b). {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

také splňuje distribuční zákon, což znamená, že

a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}

skalární součin je tedy ekvivalentní k násobení norma (délka) b normou projekci více b.

Rovnocennosti definitionsEdit

Pokud e1, …, en jsou standardní bázové vektory v Rn, pak můžeme napsat

a = = ∑ I a i e i b = = ∑ i b i e i . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\end{aligned}}}

vektory ei jsou ortonormální základ, což znamená, že mají délku jednotky a jsou v pravém úhlu k sobě. Proto, protože tyto vektory mají délku jednotky.

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

a vzhledem k tomu, že tvoří pravý úhel s sebou, když jsem ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \ mathbf {e} _{i} \ cdot \ mathbf {e} _{j} = 0.}

obecně tedy můžeme říci, že:

e i ⋅ e j = δ i j. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}

kde δ ij je delta kroneckeru.,

Také, podle geometrické definice, pro jakýkoliv vektor ei a vektoru, jsme na vědomí,

⋅ e i = ‖ a ‖ ‖ e jsem ‖ cos ⁡ θ i = ‖ a ‖ cos ⁡ θ i = i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

, kde ai jsou složky vektoru ve směru ei. Poslední krok v rovnosti lze vidět z obrázku.,

použití distributivity geometrické verze skalární součin dává

⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( k ⋅ e i ) = ∑ i b i i = ∑ i a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

což je přesně to, algebraické definice skalárního součinu. Takže geometrický bodový produkt se rovná algebraickému bodovému produktu.