P versus NP problém, v plné polynom vs. nedeterministické polynomiální problém, ve výpočetní složitosti (podpole teoretické informatiky a matematiky), otázka, zda všechny tzv. NP problémy jsou vlastně P problémy. P problém je ten, že mohou být řešeny v „rozumném čase“, což znamená, že existuje algoritmus pro jeho řešení takové, že počet kroků algoritmu je ohraničena polynomické funkce n, kde n odpovídá délce vstupního problému., P problémy jsou tedy považovány za snadné, nebo tractable. Problém se nazývá NP, pokud lze jeho řešení odhadnout a ověřit v polynomiálním čase, a nedeterministické znamená, že pro odhad není dodrženo žádné konkrétní pravidlo.

Lineární programování problémy jsou NP, jako je počet kroků, v simplex metoda, vynalezený v roce 1947 Americký matematik George Dantzig, roste exponenciálně s velikostí vstupu. V roce 1979 však ruský matematik Leonid Chačian objevil algoritmus polynomu-tj., počet výpočetních kroků roste jako síla počet proměnných, spíše než exponenciálně—tím ukazuje, že lineární programování problémy jsou vlastně P. Tento objev umožnil řešení dříve neřešitelných problémů.

problém je NP-hard, pokud lze algoritmus pro jeho řešení upravit tak, aby vyřešil jakýkoli problém NP—nebo jakýkoli problém P, protože problémy P jsou podmnožinou problémů NP. (Ne všechny problémy NP-hard jsou však členy třídy problémů NP.) Problém, který je jak np, tak NP-hard, se říká, že je kompletní NP., Nalezení efektivního algoritmu pro jakýkoli problém NP-complete tedy znamená, že pro všechny problémy NP lze nalézt efektivní algoritmus, protože řešení jakéhokoli problému patřícího do této třídy lze přepracovat do řešení pro jakéhokoli jiného člena třídy., V roce 1971 Americký počítačový vědec Stephen Cook dokázal, že splnitelnost problém (problém přiřazení hodnoty do proměnné ve vzorci v Booleova algebra taková, že tvrzení je pravdivé) je NP-úplný, což byl první problém se ukázal být NP-úplné a otevřel způsob, jak ukazuje další problémy, které jsou členy třídy NP-úplné problémy. Slavným příkladem problému NP-complete je problém s cestovním prodejcem, který má široké aplikace v optimalizaci dopravních plánů., Není známo, zda nějaké polynomiální čas algoritmy, kdy bude zjištěno, pro NP-úplné problémy, a určit, zda tyto problémy jsou poddajné či nepoddajné zůstává jednou z nejdůležitějších otázek v teoretické informatice. Takový objev by dokázal, že P = NP = NP-kompletní a revoluci v mnoha oblastech informatiky a matematiky.

například moderní kryptografie se opírá o předpoklad, že faktorování produktu dvou velkých prvočísel není P., Všimněte si, že ověření produktu dvou prvočísel je snadné (polynomický čas), ale výpočet dvou hlavních faktorů je těžký. Objev efektivního algoritmu pro factoring velkých čísel by zlomil většinu moderních šifrovacích schémat.

V roce 2000 Americký matematik Stephen Smale vymyslel vlivný seznam 18 důležité matematické problémy k řešení v 21.století. Třetím problémem na jeho seznamu byl problém P versus NP., Také v roce 2000 to bylo určené Tisíciletí Problém, jeden ze sedmi matematických problémů vybraných Clay Mathematics Institut of Cambridge, Massachusetts, USA, pro zvláštní ocenění. Řešení každého problému tisíciletí má hodnotu 1 milion dolarů.