Was sind Cox proportional hazards models

Das Prinzip des Cox proportional hazards Model besteht darin, die Überlebenszeit eines Individuums mit Kovariaten zu verknüpfen. Im medizinischen Bereich versuchen wir beispielsweise herauszufinden, welche Kovariate den wichtigsten Einfluss auf die Überlebenszeit eines Patienten hat.

Cox-Modelle

Ein Cox-Modell ist eine anerkannte statistische Technik zur Untersuchung der Beziehung zwischen dem Überleben eines Patienten und mehreren erklärenden Variablen., Ein Cox-Modell bietet eine Schätzung, die Wirkung der Behandlung auf das überleben nach der Anpassung für andere erklärende Variablen. Es ermöglicht uns, die Gefahr (oder das Risiko) des Todes oder eines anderen Ereignisses von Interesse für Einzelpersonen anhand ihrer prognostischen Variablen abzuschätzen.

Bei der Interpretation eines Cox-Modells werden die Koeffizienten für jede erklärende Variable untersucht. Ein positiver Regressionskoeffizient für eine erklärende Variable bedeutet, dass die Gefahr für Patienten mit einem hohen positiven Wert für diese bestimmte Variable hoch ist., Umgekehrt impliziert ein negativer Regressionskoeffizient eine bessere Prognose für Patienten mit höheren Werten dieser Variablen.

– Cox-Methode übernimmt keine bestimmte Verteilung für das überleben mal, sondern wird davon ausgegangen, dass die Effekte der verschiedenen Variablen auf das überleben sind über die Zeit konstant und sind additive, die in einem bestimmten Maßstab.

Die Gefahrenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum innerhalb eines kleinen Zeitintervalls ein Ereignis (z. B. Tod) erfährt, da das Individuum bis zum Beginn des Intervalls überlebt hat., Es kann daher als das Risiko des Sterbens zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Die Gefahrenfunktion (bezeichnet mit λ(t,X)) kann unter Verwendung der folgenden Gleichung geschätzt werden:

λ(t,X) = λ0(t) exp (ßX)

Der erste Term hängt nur von der Zeit ab und der zweite Term hängt von X. Wir sind nur am zweiten Term interessiert. Wenn wir nur den zweiten Term schätzen, muss eine sehr wichtige Hypothese verifiziert werden: die proportionale Risikohypothese. Dies bedeutet, dass das Gefahrenverhältnis zwischen zwei verschiedenen Beobachtungen nicht von der Zeit abhängt., Cox entwickelte eine Modifikation der Wahrscheinlichkeitsfunktion, die als partielle Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, um die Koeffizienten β ohne Berücksichtigung des zeitabhängigen Terms der Gefahrenfunktion zu schätzen:

log = Σi=1..n ßXi-log

Um die β-Parameter des Modells (die Koeffizienten der linearen Funktion) zu schätzen, versuchen wir, die partielle Wahrscheinlichkeitsfunktion zu maximieren. Im Gegensatz zur linearen Regression existiert keine exakte analytische Lösung. Es muss also ein iterativer Algorithmus verwendet werden. XLSTAT verwendet einen Newton-Raphson-Algorithmus., Der Benutzer kann die maximale Anzahl von Iterationen und den Konvergenzschwellenwert ändern, falls gewünscht.

Schichten im Cox proportional hazards Modell

Wenn die proportional hazards Hypothese nicht gilt, kann das Modell geschichtet werden. Wenn die Hypothese auf Unterstichproben beruht, wird die partielle Wahrscheinlichkeit für jede Unterstichprobe geschätzt, und diese partiellen Wahrscheinlichkeiten werden summiert, um die geschätzte partielle Wahrscheinlichkeit zu erhalten. In XLSTAT werden Schichten mit einer qualitativen Variablen definiert.,

Qualitative Variablen im Cox proportional hazards Modell

Qualitative Kovariaten werden mit einer vollständigen disjunktiven Tabelle behandelt. Um unabhängige Variablen im Modell zu haben, muss die der ersten Modalität jeder qualitativen Variablen zugeordnete Binärvariable aus dem Modell entfernt werden. In XLSTAT wird immer die erste Modalität ausgewählt und somit entspricht ihre Wirkung einem Standard. Die Auswirkungen der anderen Modalitäten werden relativ zur ausgelassenen Modalität erzielt.,

Handhabung für Cox proportional hazards model

Das proportional hazards model wurde von Cox (1972) entwickelt, um kontinuierliche Zeitüberlebensdaten zu behandeln. In der Praxis treten jedoch häufig einige Beobachtungen gleichzeitig auf. Die klassische Teilwahrscheinlichkeit kann nicht angewendet werden. Mit XLSTAT können Sie zwei alternative Ansätze verwenden, um Bindungen zu behandeln:

Wenn keine Bindungen vorhanden sind, entsprechen partielle Wahrscheinlichkeiten einer partiellen Wahrscheinlichkeit.,

Variablenauswahl für das Cox proportional hazards Modell

Es ist möglich, das Cox proportional hazards Modell durch Auswahl der Variablen, die Teil des Modells sind, zu verbessern. XLSTAT bietet zwei Optionen zur Auswahl der Variablen:

• Vorwärtsauswahl: Der Auswahlprozess beginnt mit dem Hinzufügen der Variablen mit dem größten Beitrag zum Modell. Wenn eine zweite Variable so ist, dass ihre Eintrittswahrscheinlichkeit größer als der Einstiegsschwellenwert ist, wird sie dem Modell hinzugefügt. Dieser Prozess wird so lange iteriert, bis keine neue Variable in das Modell eingegeben werden kann.,
• Rückwärtsauswahl: Diese Methode ähnelt der vorherigen, beginnt jedoch mit einem vollständigen Modell.

Ergebnisse für die Cox proportional hazard in XLSTAT

Goodness of fit coefficients für das Cox proportional hazard model

Die Goodness of fit coefficients Tabelle zeigt eine Reihe von Statistiken für das unabhängige Modell (entsprechend dem Fall, dass keine Auswirkungen von Kovariaten vorliegen, beta=0) und für das angepasste Modell.

• Beobachtungen: Die Gesamtzahl der Beobachtungen berücksichtigt;
• DF: Freiheitsgrade;
• -2 Log (Wie.,): Den Logarithmus der likelihood-Funktion im Zusammenhang mit dem Modell;
• AIC: Akaike ‚ s Information Criterion;
• SBC: Schwarz Bayesian Criterion;
• Wiederholung: Anzahl der Iterationen bis zur Konvergenz.

Statistischer Test des Cox proportional hazard Modells

Mit XLSTAT können Sie die Nullhypothese H0: beta=0:

Die H0 Hypothese entspricht dem unabhängigen Modell (keine Auswirkung der Kovariaten). Wir versuchen zu überprüfen, ob das angepasste Modell wesentlich leistungsfähiger ist als dieses Modell., Drei Tests stehen zur Verfügung: der Likelihood Ratio Test (-2) (Wie.)), der Score-Test und der Wald-Test. Die drei Statistiken folgen einer Chi2-Verteilung, deren Freiheitsgrade angezeigt werden.

Modellparameter

Für jede Variable des Modells werden die Parameterschätzung, die entsprechende Standardabweichung, Wald ‚ s Chi2, der entsprechende p-Wert und das Konfidenzintervall angezeigt. Die Gefahrenverhältnisse für jede Variable mit Konfidenzintervallen werden ebenfalls angezeigt.,

Die Resttabelle zeigt für jede Beobachtung die Zeitvariable, die Zensurvariable und den Wert der Residuen (Deviance, martingale, Schönfeld und score).

Verfügbare Diagramme für das Cox proportional hazard model

XLSTAT bietet die folgenden Diagramme für das Cox proportional hazard model:

• Kumulative Survival distribution function(SDF),
• -Log (SDF),
• Log (- Log (SDF)),
• hazard function at mean of covariates,
• residuals.