Das Punktprodukt kann algebraisch oder geometrisch definiert werden. Die geometrische Definition basiert auf den Begriffen Winkel und Abstand (Größe der Vektoren). Die Äquivalenz dieser beiden Definitionen beruht auf einem kartesischen Koordinatensystem für den euklidischen Raum.

In modernen Darstellungen der euklidischen Geometrie werden die Punkte des Raumes in Bezug auf ihre kartesischen Koordinaten definiert, und der euklidische Raum selbst wird üblicherweise mit dem realen Koordinatenraum Rn identifiziert. In einer solchen Darstellung werden die Begriffe Länge und Winkel mittels des Punktprodukts definiert., Die Länge eines Vektors ist als die Quadratwurzel des Punktprodukts des Vektors selbst definiert, und der Kosinus des (nicht orientierten) Winkels zweier Vektoren der Länge eins ist als ihr Punktprodukt definiert. Die Äquivalenz der beiden Definitionen des Punktprodukts ist also Teil der Äquivalenz der klassischen und der modernen Formulierungen der euklidischen Geometrie.,oder {rot}1}\mal {\farbe {blau}4})+({\farbe {rot}3}\mal {\farbe {blau}-2})+({\farbe {rot}-5}\mal {\farbe {blau}-1})\\&=4-6+5\\&=3\ende{blau}}

Wenn Vektoren mit Zeilenmatrizen identifiziert werden, wird das Punktprodukt kann auch als Matrixprodukt geschrieben werden

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red} a} \cdot \mathbf {\color {blue} b} =\mathbf {\color {red} a} \mathbf {\color {blue} b} ^{\mathsf {T}},}

wobei b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue} b} ^{\mathsf {T}} die Transponierung von b {\displaystyle \mathbf mathbf {\color {blue} b}}.,

Um das obige Beispiel auf diese Weise auszudrücken, wird eine 1 × 3-Matrix (Zeilenvektor) mit einer 3 × 1-Matrix (Spaltenvektor) multipliziert, um eine 1 × 1-Matrix zu erhalten, die mit ihrem eindeutigen Eintrag identifiziert wird:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {purple}3} .,

Geometrische definitionEdit

Im euklidischen Raum ist ein euklidischer Vektor ein geometrisches Objekt, das sowohl eine Größe als auch eine Richtung besitzt. Ein Vektor kann als Pfeil dargestellt werden. Seine Größe ist seine Länge und seine Richtung ist die Richtung, auf die der Pfeil zeigt., Die Größe eines Vektors a wird mit ‖ a ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|} bezeichnet . Das Skalarprodukt von zwei euklidischen Vektoren a und b ist definiert durch

a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {b} =\|\vec {a} \|\ \|\vec {b} \|\cos \theta ,}

wobei θ der Winkel zwischen a und b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {b} =0.,t das andere extrem, wenn Sie codirectional, dann den Winkel zwischen Ihnen ist null bei cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} und a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {b} =\left\|\frac {a} \right\|\,\left\|\frac {b} \right\|}

Dies bedeutet, dass das Skalarprodukt eines Vektors a mit sich selbst ist,

a ⋅ a = ‖ a ‖ 2 , {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {a} =\left\|\frac {a} \right\|^{2},}

gibt

‖ a ‖ = a ⋅ a {\displaystyle \left\|\frac {a} \right\|={\sqrt {\frac {a} \cdot \vec {a} }},}

die Formel für die euklidische Länge des Vektors.,

Skalarprojektion und erste Eigenschaftenedit

Die Skalarprojektion (oder Skalarkomponente) eines euklidischen Vektors a in Richtung eines euklidischen Vektors b ist gegeben durch

a b = ‖ a ‖ cos θ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}

wobei θ der Winkel zwischen a und b ist.,

In Bezug auf die geometrische definition des skalarprodukts, kann dies umgeschrieben werden,

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\vec {a} \cdot {\widehat {\vec {b} }},}

wo b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\vec {b} }}=\frac {b} /\left\|\frac {b} \right\|} ist der Einheitsvektor in Richtung von b ist.

Das Skalarprodukt ist dadurch charakterisiert geometrisch durch

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b a ‖ a ‖ ., {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {b} =a_{b}\left\|\frac {b} \right\|=b_{a}\left\|\frac {a} \right\|.}

Das auf diese Weise definierte Punktprodukt ist unter Skalierung in jeder Variablen homogen, was bedeutet, dass für jeden Skalar α

( α a ) ⋅ b = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( α b ) . {\displaystyle (\alpha – \frac {a} )\cdot \vec {b} =\alpha (\vec {a} \cdot \vec {b} )=\vec {a} \cdot (\alpha \vec {b} ).}

Es erfüllt auch eine distributive Gesetz, was bedeutet, dass

a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ., {\displaystyle \vec {a} \cdot (\vec {b} +\vec {c} )=\vec {a} \cdot \vec {b} +\vec {a} \cdot \vec {c} .}

Das Punktprodukt entspricht somit der Multiplikation der Norm (Länge) von b mit der Norm der Projektion von a über b.

Äquivalenz der Definitionedit

Wenn e1,…, en die standard-basis-Vektoren in Rn, dann können wir schreiben

a = = ∑ i a i e i b – = = ∑ i b i e i . {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\frac {a} &==\sum _{i}a_{i}\vec {e} _{i}\\\vec {b} &==\sum _{i}b_{i}\vec {e} _{i}.,\ end{aligned}}}

Die Vektoren ei sind eine orthonormale Basis, was bedeutet, dass sie eine Längeneinheit haben und rechtwinklig zueinander stehen. Da diese Vektoren also Einheitslänge

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

und da sie rechtwinklig miteinander bilden, wenn i ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \vec {e} _{i}\cdot \vec {e} _{j}=0.}

So können wir im Allgemeinen sagen:

e i ⋅ e j = δ i j. {\displaystyle \vec {e} _{i}\cdot \vec {e} _{j}=\delta _{ij}.}

Wobei δ ij das Kronecker-delta.,

Auch von der geometrischen definition jeder Vektor ei und einem Vektor ein, wir merken

a ⋅ e i = ‖ a ‖ ‖ e ‖ cos ⁡ θ i = ‖ a ‖ cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {e} _{i}=\left\|\frac {a} \right\|\,\left\|\frac {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\frac {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

wo ai ist die Komponente des Vektors a in Richtung ei. Der letzte Schritt in der Gleichheit ist aus der Abbildung ersichtlich.,

Nun die Anwendung der distributivity der geometrischen version des skalarprodukts gibt

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ i a i b i {\displaystyle \vec {a} \cdot \vec {b} =\vec {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\vec {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\vec {a} \cdot \vec {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

die gerade die algebraische definition des skalarprodukts. Das geometrische Punktprodukt entspricht also dem algebraischen Punktprodukt.