Rollen von zwei Würfeln
Wenn Sie zwei Würfel rollen, unterscheiden Sie zwischen ihnen in irgendeiner Weise: eine erste und eine zweite, eine linke und eine rechte, eine rote und eine grüne usw. Let(a,b) bezeichnen einen möglichen Ausgang der Rollen der beiden sterben, mit einer Zahl, die auf dem ersten sterben, und b die Anzahl der auf der Oberseite des seconddie. Beachten Sie, dass jeder von a und b eine der ganzen Zahlen von 1 bis 6 sein kann.,(2,4)
Note that there are 36 possibilities for (a,b)., Diese Gesamtzahl der Möglichkeiten ergibt sich aus dem Multiplikationsprinzip: Es gibt 6 Möglichkeiten für a, und für jedes Ergebnis für a gibt es 6 Möglichkeiten für b. Die Gesamtzahl der gemeinsamen Ergebnisse (a, b) beträgt also 6 mal 6,was 36 ist. Die Menge aller möglichen Ergebnisse für (a, b) wird als Probenraum dieses Wahrscheinlichkeitsexperiments bezeichnet.
Wenn der Probenraum jetzt identifiziert ist, erfordert die formale Wahrscheinlichkeitstheorie, dass wir die möglichen Ereignisse identifizieren.Dies sind immer Teilmengen des Beispielraums und müssen eine Sigma-Algebra bilden., In einem Beispiel wie diesem, in dem der Stichprobenraum endlich ist,weil er nur 36 verschiedene Ergebnisse hat, ist es vielleicht am einfachsten, einfach ALLE Teilmengen des Stichprobenraums als mögliche Ereignisse zu deklarieren. Das wird eine Sigma-Algebra sein und vermeidet, was sonst eine lästige technische Schwierigkeit sein könnte. Wir machen diese Deklarationmit diesem Beispiel von zwei Würfeln.
Mit der obigen Deklaration bilden die Ergebnisse, bei denen die Summe der beiden Spalten gleich 5 ist, ein Ereignis.Wenn wir nennen das Ereignis E, wir haben
E={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.,
Beachten Sie, dass wir alle Möglichkeiten aufgelistet haben, wie sich ein erster und ein zweiter Würfel zu 5 addieren, wenn wir ihre oberen Flächen betrachten.
Betrachten Sie als nächstes die Wahrscheinlichkeit von E, P (E). Hier brauchen wir mehr Informationen.Wenn die beiden Würfel fair und unabhängig sind,ist jede Möglichkeit (a, b) gleichermaßen wahrscheinlich. Da es insgesamt drei Möglichkeiten gibt und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich sein muss1, wird jedem Singleton-Ereignis {(a,b)} eine Wahrscheinlichkeit gleich 1/36 zugewiesen.Da E aus 4 solchen unterschiedlichen Singleton-Ereignissen besteht, ist P (E)=4/36=1/9.,
Im Allgemeinen, wenn die beiden Würfel fair und unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeitvon jedem Ereignis die Anzahl der Elemente in dem Ereignis geteilt durch 36.
Was ist, wenn die Würfel nicht fair oder nicht unabhängig voneinander sind?Dann wird jedem Ergebnis {(a,b)} eine Wahrscheinlichkeit (eine Zahl in )zugewiesen, deren Summe über alle 36 Ergebnisse gleich 1 ist. Diese Wahrscheinlichkeiten sind’tall gleich, und müssen geschätzt werden, durch experiment oder abgeleitet von otherhypotheses darüber, wie die Würfel verbunden sind und wie wahrscheinlich jeder numberis legen wird auf jedem der Würfel., Dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie Eis die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Singleton-Ereignisse {(a, b)}, die E.
