que sont les modèles de risques proportionnels de Cox

le principe du modèle de risques proportionnels de Cox est de lier le temps de survie d’un individu à des covariables. Par exemple, dans le domaine médical, nous cherchons à savoir quelle covariable a l’impact le plus important sur le temps de survie d’un patient.

modèles de Cox

Un modèle de Cox est une technique statistique bien reconnue pour explorer la relation entre la survie d’un patient et plusieurs variables explicatives., Un modèle de Cox fournit une estimation de l’effet du traitement sur la survie après ajustement pour d’autres variables explicatives. Il nous permet d’estimer le danger (ou le risque) de décès, ou tout autre événement d’intérêt, pour les individus, compte tenu de leurs variables pronostiques.

L’interprétation d’un modèle de Cox implique l’examen des coefficients de chaque variable explicative. Un coefficient de régression positif pour une variable explicative signifie que le risque pour le patient ayant une valeur positive élevée sur cette variable particulière est élevé., Inversement, un coefficient de régression négatif implique un meilleur pronostic pour les patients ayant des valeurs plus élevées de cette variable.

la méthode de Cox ne suppose pas de distribution particulière pour les temps de survie, mais elle suppose plutôt que les effets des différentes variables sur la survie sont constants dans le temps et sont additifs dans une échelle particulière.

la fonction de danger est la probabilité qu’une personne subisse un événement (par exemple, un décès) dans un petit intervalle de temps, étant donné que la personne a survécu jusqu’au début de l’intervalle., Elle peut donc être interprétée comme le risque de mourir à l’instant T. La fonction de danger (notée λ(t,X)) peut être estimée à l’aide de l’équation suivante:

λ(T,X) = λ0(t) exp (ßX)

le premier terme ne dépend que du temps et le second dépend de X. Nous ne nous intéressons qu’au second terme. Si nous estimons seulement le deuxième terme, une hypothèse très importante doit être vérifiée: l’hypothèse des risques proportionnels. Cela signifie que le rapport de danger entre deux observations différentes ne dépend pas du temps., Cox a développé une modification de la fonction de vraisemblance appelée vraisemblance partielle pour estimer les coefficients β En Ne tenant pas compte du terme dépendant du temps de la fonction de danger:

log = Σi=1..n ßXi-log

pour estimer les paramètres β du modèle (les coefficients de la fonction linéaire), nous essayons de maximiser la fonction de vraisemblance partielle. Contrairement à la régression linéaire, il n’existe pas de solution analytique exacte. Ainsi, un algorithme itératif doit être utilisé. XLSTAT utilise un algorithme de Newton-Raphson., L’utilisateur peut modifier le nombre maximum d’itérations et le seuil de convergence si désiré.

strates dans le modèle des risques proportionnels de Cox

lorsque l’hypothèse des risques proportionnels ne tient pas, le modèle peut être stratifié. Si l’hypothèse est valable sur les sous-échantillons, la probabilité partielle est estimée sur chaque sous-échantillon et ces probabilités partielles sont additionnées afin d’obtenir la probabilité partielle estimée. Dans XLSTAT, les strates sont définies à l’aide d’une variable qualitative.,

variables qualitatives dans le modèle des risques proportionnels de Cox

les covariables qualitatives sont traitées à l’aide d’un tableau disjonctif complet. Afin d’avoir des variables indépendantes dans le modèle, la variable binaire associée à la première modalité de chaque variable qualitative doit être supprimée du modèle. Dans XLSTAT, la première modalité est toujours sélectionnée et, par conséquent, son effet correspond à une norme. L’incidence des autres modalités sont obtenus relativement à la omise modalité.,

manipulation des liens pour le modèle de risques proportionnels de Cox

le modèle de risques proportionnels a été développé par Cox (1972) afin de traiter les données de survie en temps continu. Cependant, souvent dans les applications pratiques, certaines observations se produisent en même temps. La vraisemblance partielle classique ne peut pas être appliquée. Avec XLSTAT, vous pouvez utiliser deux approches alternatives pour gérer les liens:

S’il n’y a pas de liens, les probabilités partielles sont équivalentes à la probabilité partielle de Cox.,

sélection des Variables pour le modèle de risques proportionnels de Cox

Il est possible d’améliorer le modèle de risques proportionnels de Cox en sélectionnant les variables faisant partie du modèle. XLSTAT offre deux options pour sélectionner les variables:

• Sélection directe: le processus de sélection commence par l’ajout de la variable ayant la plus grande contribution au modèle. Si une seconde variable est telle que sa probabilité d’entrée est supérieure à la valeur seuil d’entrée, elle est ajoutée au modèle. Ce processus est itéré jusqu’à ce qu’aucune nouvelle variable ne puisse être entrée dans le modèle.,
• sélection en arrière: cette méthode est similaire à la précédente mais commence à partir d’un modèle complet.

résultats pour le risque proportionnel de Cox dans XLSTAT

bonté des coefficients d’Ajustement pour le modèle de risque proportionnel de Cox

le tableau bonté des coefficients d’ajustement affiche une série de statistiques pour le modèle indépendant (correspondant au cas où il n’y a pas d’impact des covariables, beta=0) et pour le modèle ajusté.

• Observations: Le nombre total d’observations prises en;
• DF: Degrés de liberté;
• -2 Log(Comme.,): Le logarithme de la fonction de vraisemblance associée au modèle;
• AIC: Critère d’Information d’Akaike;
• SBC: Schwarz Critère Bayésien;
• Itérations: Nombre d’itérations jusqu’à la convergence.

test Statistique du modèle de risque proportionnel de Cox

XLSTAT vous permet de tester l’hypothèse nulle H0: beta=0:

L’hypothèse H0 correspond au modèle indépendant (pas d’impact de la covariables). Nous cherchons à vérifier si le modèle ajusté est nettement plus puissant que ce modèle., Trois tests sont disponibles: le test du rapport de vraisemblance (-2 Log(Comme.)), le test de Score et le test Wald. Les trois statistiques suivent une distribution Chi2 dont les degrés de liberté sont indiqués.

paramètres du modèle

l’estimation du paramètre, l’écart-type correspondant, le Chi2 de Wald, la valeur p correspondante et l’intervalle de confiance sont affichés pour chaque variable du modèle. Les rapports de danger pour chaque variable avec des intervalles de confiance sont également affichés.,

le tableau résiduel indique, pour chaque observation, la variable de temps, la variable de censure et la valeur des résidus (déviance, martingale, Schoenfeld et score).

graphiques disponibles pour le modèle de danger proportionnel de Cox

XLSTAT propose les graphiques suivants pour le modèle de danger proportionnel de Cox:

• fonction de distribution de survie Cumulative (SDF),
• -Log(SDF),
• Log(-Log(SDF)),
• fonction de danger à la moyenne des covariables,
• résidus.