het puntproduct kan algebraïsch of Meetkundig worden gedefinieerd. De geometrische definitie is gebaseerd op de noties van hoek en afstand (magnitude van vectoren). De equivalentie van deze twee definities berust op het hebben van een Cartesiaans coördinatenstelsel voor de Euclidische ruimte.

in moderne presentaties van de Euclidische meetkunde worden de punten van de ruimte gedefinieerd in termen van hun Cartesiaanse coördinaten, en de Euclidische ruimte zelf wordt gewoonlijk geïdentificeerd met de reële coördinatenruimte Rn. In zo ‘ n presentatie worden de begrippen lengte en hoeken gedefinieerd door middel van het dot product., De lengte van een vector wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van het puntproduct van de vector zelf, en de cosinus van de (niet-georiënteerde) hoek van twee vectoren van lengte één wordt gedefinieerd als hun puntproduct. Dus de equivalentie van de twee definities van het puntproduct is een deel van de equivalentie van de klassieke en de moderne formuleringen van de Euclidische meetkunde.,of {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Als vectoren worden geïdentificeerd met rij matrices, het scalair product kan ook geschreven worden als een matrix-product

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

waar b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} geeft de getransponeerde van b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

het Uiten van het bovenstaande voorbeeld op deze manier is een 1 × 3-matrix (rij-vector) wordt vermenigvuldigd met een 3 × 1-matrix (kolom vector) te krijgen van een 1 × 1 matrix die wordt geïdentificeerd met een uniek item:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {paars}3} .,

Geometrische definitionEdit

In de Euclidische ruimte, een Euclidische vector is een geometrisch object dat beschikt over zowel een grootte en een richting. Een vector kan worden afgebeeld als een pijl. De grootte is de lengte en de richting is de richting waarnaar de pijl wijst., De grootte van een vector a wordt aangeduid door ‖ a ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|} . Het scalair product van twee van Euclides vectoren a en b is gedefinieerd door

a ⋅ b = ‘met een’ kunnen ‘met b’ met cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

waar θ de hoek tussen a en b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \ mathbf {a} \cdot \ mathbf {b} = 0.,t het andere uiterste, als ze codirectional, dan is de hoek tussen hen is nul met cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} en a ⋅ b = ‘met een’ kunnen ‘met b’ met {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Dit betekent dat het scalair product van een vector met zichzelf is

a ⋅ a = ‘met een’ met 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

geeft

“genoemd een” genoemd = a ⋅ a {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

de formule voor de Euclidische lengte van de vector.,

scalaire projectie en eerste eigenschappenedit

de scalaire projectie (of scalaire component) van een Euclidische vector a in de richting van een Euclidische vector b wordt gegeven door

a b = ‖ a cos cos θ θ , {\displaystyle a_{B}=\left\/\mathbf {a} \right\|\cos \theta,}

waarbij θ de hoek tussen A en B is.,

In termen van de meetkundige definitie van het scalair product, dit kan worden herschreven

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widetilde {\mathbf {b} }},}

waar b ^ = b / “genoemd b” genoemd {\displaystyle {\widetilde {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} is de eenheidsvector in de richting van b.

Het scalair product is dus gekenmerkt geometrisch door

a ⋅ b = a b “genoemd b” genoemd = b a ‘met een” genoemd ., {\displaystyle \ mathbf {a} \cdot \ mathbf {b} = a_{b} \ left \ / \ mathbf {b} \ right \ | = b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\/.}

het dotproduct, op deze manier gedefinieerd, is homogeen onder schaling in elke variabele, wat betekent dat voor elke scalaire α,

( α a ) ⋅ b = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( α B ) . {\displaystyle (\alpha \ mathbf {a}) \cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}) =\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b}).}

Het voldoet ook aan een distributieve wet, wat betekent dat

a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ., {\displaystyle \ mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c}) =\mathbf {a} \cdot\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \ mathbf {c} .}

het puntproduct is dus gelijk aan het vermenigvuldigen van de norm (lengte) van b met de norm van de projectie van a over b.

equivalentie van de definitiesedit

indien e1, …, en zijn de standaard basisvectoren in Rn, dan kunnen we

a = = ∑ i a i e i b = = ∑ i b i e i schrijven . {\displaystyle {\begin{aligned} \ mathbf {a} &== \ sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\ \ mathbf {b} & = = \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\ end{aligned}}}

de vectoren ei zijn een orthonormale basis, wat betekent dat ze eenheidslengte hebben en loodrecht op elkaar staan. Vandaar dat deze vectoren eenheidslengte

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

hebben en omdat ze rechte hoeken met elkaar vormen, als i ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \ mathbf {e} _{i}\cdot \ mathbf {e} _{j} = 0.}

dus in het algemeen kunnen we zeggen dat:

e i ⋅ e j = δ i j . {\displaystyle \ mathbf {e} _{i}\cdot \ mathbf {e} _{j}= \ delta _{ij}.}

waarbij δ ij de Kronecker-delta is.,

Ook, door de geometrische definitie, voor elke vector ei en een vector a, we opmerking

a ⋅ e i = ‘met een’ kunnen ‘met e i’ met cos ⁡ θ i = ‘met een’ met cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

waar de ai is de component van de vector a in de richting van het ei. De laatste stap in de gelijkheid is te zien aan de figuur.,

Nu de toepassing van de distributivity van de geometrische versie van het scalair product geeft

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i a ⋅ e i ) = ∑ i a i = ∑ i a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \som _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\som _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\som _{i}b_{i}a_{i}=\som _{i}a_{i}b_{i}}

dat is juist de algebraïsche definitie van het scalair product. Dus het meetkundige puntproduct is gelijk aan het algebraïsche puntproduct.