iloczyn punktowy może być zdefiniowany algebraicznie lub geometrycznie. Definicja geometryczna opiera się na pojęciach kąta i odległości (wielkości wektorów). Równoważność tych dwóch definicji polega na posiadaniu kartezjańskiego układu współrzędnych dla przestrzeni euklidesowej.

we współczesnych prezentacjach geometrii euklidesowej punkty przestrzeni definiowane są pod względem ich współrzędnych kartezjańskich, a sama przestrzeń euklidesowa jest powszechnie utożsamiana z rzeczywistą przestrzenią współrzędnych Rn. W takiej prezentacji pojęcia długości i kątów są definiowane za pomocą iloczynu kropkowego., Długość wektora jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy iloczynu punktowego wektora przez siebie samego, a cosinus (nie zorientowanego) kąta dwóch wektorów długości jednego jest zdefiniowany jako ich iloczyn punktowy. Równoważność dwóch definicji iloczynu punktowego jest więc częścią równoważności klasycznych i współczesnych sformułowań geometrii euklidesowej.,or {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

jeśli wektory są utożsamiane z macierzami rzędowymi, to iloczyn punktowy może być również zapisany jako iloczyn macierzy

a ⋅ b = a b t , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}B} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}B} ^{\mathsf {T}},}

Gdzie B T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}},}

Gdzie B T{\displaystyle\mathbf {\color {blue} B} ^{\mathsf {t}}} oznacza transpozycję B {\displaystyle \ mathbf {\color {blue} B}}.,

wyrażając powyższy przykład w ten sposób, macierz 1 × 3 (wektor wiersza) jest mnożona przez macierz 3 × 1 (wektor kolumnowy), aby uzyskać macierz 1 × 1, która jest identyfikowana z unikalnym wpisem:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3& > \color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\color {blue}-2\\color {blue}-1\end{bmatrix}=\color {purple} 3,

definicja Geometrycznaedit

rzut skalarny (lub składnik skalarny) wektora Euklidesowego a w kierunku wektora Euklidesowego B jest określony przez

A B = ‖ A cos cos θ θ , {\displaystyle a_{B}=\left\ / \mathbf {a} \right\ / \cos \theta,}

Gdzie θ jest kątem między A A B.,

z punktu widzenia geometryczna definicja iloczynu skalarnego, to może być wersja

b = a ⋅ b ^ , {\właściwości wyświetlania stylu wartość oh{b}=\mathbf {a} \cDOT na {\widehat {\mathbf {b} }},}

gdzie B ^ = b / maksymalna b maksymalna {\właściwości styl wyświetlania wartości {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\w lewo\|\mathbf {b} \\ prawo|} – wektor jednostkowy w kierunku B.

iloczyn skalarny, w taki sposób, charakteryzuje się geometrycznie

A ⋅ W = A-B Maksymalna B Maksymalna = B a maksymalna w maksymalna ., {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {B} =a_{B}\left \ / \ mathbf {B} \ right\| = b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\/.}

iloczyn punktowy, zdefiniowany w ten sposób, jest jednorodny pod skalarem w każdej zmiennej, co oznacza, że dla dowolnego skalaru α,

(α a ) ⋅ b = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ (α b ) . {\displaystyle (\alpha \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {B} = \ alpha (\mathbf {a} \cdot\mathbf {B}) =\mathbf {a} \cdot (\alpha \ mathbf {B} ).}

spełnia również prawo dystrybucyjne, co oznacza, że

a ⋅ (b + c ) = A ⋅ b + a ⋅ C ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {B} + \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {B} + \mathbf {a} \cdot \ mathbf {c} .}

iloczyn punktowy jest więc równoważny mnożeniu normy (długości) b przez normę rzutowania a na b.

równoważność definicji

Jeśli e1, …, en są standardowymi wektorami bazowymi w Rn, wtedy możemy napisać

a = = ∑ i A i e i b = = ∑ i b i e . {\displaystyle {\begin {aligned}\mathbf{a} &==\sum _{i}a_ {i}\mathbf{e} _{i}\\mathbf{B} &==\sum _{i}b_ {i}\mathbf{e} _{i}.,\end{aligned}}}

wektory ei są podstawą ortonormalną, co oznacza, że mają jednostkową długość i są względem siebie pod kątem prostym. Ponieważ wektory te mają jednostkową długość

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \ mathbf {e} _{i} \ cdot \ mathbf {e} _{i}=1}

i ponieważ tworzą kąty proste ze sobą, jeśli I ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \ mathbf {e} _{i} \ cdot \ mathbf {e} _{j} = 0.}

tak ogólnie można powiedzieć, że:

e i ⋅ e j = δ I j . {\displaystyle \ mathbf {e} _{i} \ cdot \ mathbf {e} _{j}= \ delta _{ij}.

Gdzie δ ij jest deltą Kroneckera.,

również geometrycznego definicji, dla dowolnego wektora EI i wektor a, to proszę zwrócić uwagę,

A ⋅ E i = maksymalna w maksymalna maksymalna e ja maksymalna cos ⁡ θ i = maksymalna w maksymalna cos ⁡ θ i = i , {\właściwości wyświetlania stylu wartość \mathbf {a} \cDOT na \mathbf {f} _{ja}=\w lewo\|\mathbf {a} \\prawo|\,\w lewo\|\mathbf {f} _{ja}\prawo\|\bo \theta _{ja}=\w lewo\|\mathbf {a} \\prawo|\bo \theta _{ja}=oh{ja},}

gdzie AI-składowa wektora w kierunku eo. Ostatni krok w równości można zobaczyć na rysunku.,

teraz stosowaniu дистрибутивности geometrycznych wersja iloczyn skalarny daje

A ⋅ B = A ⋅ ∑ B i e = ∑ b i ( A ⋅ E I ) = ∑ I B I a i = ∑ i a I b , {\właściwości wyświetlania stylu wartość \mathbf {a} \cDOT na \mathbf {b} =\mathbf {a} \cDOT na \kwocie _{ja}, że{ja}\mathbf {f} _{ja}=\kwocie _{ja}, że{ja}(\mathbf {a} \cDOT na \mathbf {f} _{ja})=\Kwota _{ja}, że{ja}o{ja}=\kwocie _{ja}o{ja}, że{ja},}

właśnie algebraiczne definicja iloczynu skalarnego. Zatem geometryczny produkt kropkowy jest równy algebraicznemu produktowi kropkowemu.