Le produit dot peut être défini algébriquement ou géométriquement. La définition géométrique est basée sur les notions d’angle et de distance (grandeur des vecteurs). L’équivalence de ces deux définitions repose sur l’existence d’un système de coordonnées cartésiennes pour L’espace euclidien.

dans les présentations modernes de la géométrie euclidienne, les points de l’espace sont définis en termes de leurs coordonnées cartésiennes, et L’espace euclidien lui-même est communément identifié avec L’espace de coordonnées réel Rn. Dans une telle présentation, les notions de longueur et d’angles sont définies au moyen du produit scalaire., La longueur d’un vecteur est défini comme la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même, et le cosinus de l’ (non orienté) angle de deux vecteurs de longueur est définie comme leur produit scalaire. Ainsi, l’équivalence des deux définitions du produit scalaire fait partie de l’équivalence des formulations classiques et modernes de la géométrie euclidienne.,ou {rouge}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4 à 6+5\\&=3\end{aligné}}}

Si les vecteurs sont identifiés avec le rang des matrices, le produit scalaire peut aussi être écrit comme un produit matriciel

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

où b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} désigne la transposée de b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

Exprimant l’exemple ci-dessus, de cette façon, un 1 × 3 de la matrice (vecteur ligne) est multiplié par 3 × 1 matrice (vecteur colonne) pour obtenir un 1 × 1 de la matrice qui est identifié avec son unique entrée:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {pourpre}3} .,

Definitionedit Géométrique

dans l’espace euclidien, un vecteur euclidien est un objet géométrique qui possède à la fois une grandeur et une direction. Un vecteur peut être représenté comme une flèche. Sa magnitude est sa longueur et sa direction est la direction vers laquelle la flèche pointe., L’ampleur d’un vecteur a est notée par ‖ une ğ {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|} . Le produit scalaire de deux Euclidienne des vecteurs a et b est définie par

a ⋅ b = ‖ un ğ ğ b ğ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

où θ est l’angle entre a et b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.,t l’autre extrême, si ils sont codirectional, alors l’angle entre eux est égal à zéro avec cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} et a ⋅ b = ‖ un ğ ğ b ğ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Ce qui implique que le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est

a ⋅ a = ‖ une ğ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

ce qui donne

‖ une ğ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

la formule de la longueur Euclidienne du vecteur.,

projection Scalaire et le premier propertiesEdit

La projection scalaire (ou composante scalaire) d’un Euclidienne du vecteur a dans le sens d’une Euclidienne du vecteur b est donné par

b = ‖ une ğ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}

où θ est l’angle entre a et b.,

En termes de la définition géométrique du produit scalaire, ce qui peut être réécrit

b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

où b ^ = b / ğ b ğ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} est le vecteur unitaire dans la direction de b.

Le produit scalaire est donc caractérisé géométriquement par

a ⋅ b = a b ğ b ğ = b un ‖ un ‖ ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}

Le produit dotal, défini de cette manière, est homogène sous mise à l’échelle dans chaque variable, ce qui signifie que pour tout α scalaire,

(α a) b b = α ( A b b ) = a a ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

il satisfait également une loi distributive, ce qui signifie que

a + (b + c ) = a b b + a c C., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}

Le produit dot revient donc à multiplier la norme (longueur) de b par la norme de la projection de a sur B.

équivalence des définitionsedit

Si e1,…, en sont les vecteurs de base dans Rn, alors on peut écrire

= = ∑ i i e i b = = ∑ b i e je . {\displaystyle {\begin{aligné}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\end {aligned}}}

les vecteurs ei sont une base orthonormale, ce qui signifie qu’ils ont une longueur unitaire et sont perpendiculaires les uns aux autres. Par conséquent, puisque ces vecteurs ont une longueur unitaire

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

et qu’ils forment des angles droits les uns avec les autres, si i j j,

E i i e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}

donc en général, on peut dire que:

e i ⋅ e j = δ i J. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}

Où δ ij est le delta de Kronecker.,

Aussi, par la définition géométrique, pour tout vecteur de l’ie et d’un vecteur a, on note

un ⋅ e i = ‖ un ‖ ‖ e  » i  » cos ⁡ θ i = ‖ une ğ cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

où ai est la composante d’un vecteur dans la direction de l’ie. La dernière étape de l’égalité peut être vue à partir de la figure.,

Maintenant, l’application de la distributivité de la géométrie de la version du produit scalaire donne

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ b i ( a ⋅ e i ) = ∑ b i a i = ∑ i i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

ce qui est précisément le algébrique définition du produit scalaire. Ainsi, le produit scalaire géométrique est égal au produit scalaire algébrique.