dot-produktet kan defineres algebraisk eller geometrisk. Den geometriske definition er baseret på begreberne vinkel og afstand (størrelsen af vektorer). Ækvivalensen af disse to definitioner er afhængig af at have et kartesisk koordinatsystem for euklidisk rum.

i moderne præsentationer af euklidisk geometri defineres pladspunkterne med hensyn til deres kartesiske koordinater, og selve euklidisk rum identificeres ofte med den virkelige koordinatrum Rn. I en sådan præsentation defineres begreberne længde og vinkler ved hjælp af prikproduktet., Længden af en vektor er defineret som kvadratroden af dot-produktet af vektoren i sig selv, og cosinus af den (ikke-orienterede) vinkel på to vektorer af Længde en er defineret som deres dot-produkt. Så ækvivalensen af de to definitioner af dot produkt er en del af ækvivalensen af de klassiske og moderne formuleringer af euklidisk geometri.,eller {red}1}\times {\color {blå}4})+({\color {red}3}\times {\color {blå}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blå}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{justeret}}}

Hvis vektorer er identificeret med en række matricer, dot produkt kan også være skrevet som en matrix produkt

a ⋅ b = a b T {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blå}b} ^{\mathsf {T}},}

hvor b T {\displaystyle \mathbf {\color {blå}b} ^{\mathsf {T}}} angiver transponering af b {\displaystyle \mathbf {\color {blå}b} } .,

Udtrykke ovenstående eksempel på denne måde, en 1 × 3 matrix (række-vektor) er ganget med en 3 × 1-matrix (kolonne vektor) for at få en 1 × 1-matrix, der er identificeret med sin unikke post:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blå}4\\\color {blå}-2\\\color {blå}-1\end{bmatrix}}=\color {lilla}3} .,

Geometriske definitionEdit

I Euklidisk rum, en Euklidisk vektor er et geometrisk objekt, der er i besiddelse af både en størrelse og en retning. En vektor kan afbildes som en pil. Dens størrelse er dens længde, og dens retning er den retning, som pilen peger på., Størrelsen af en vektor A er betegnet med {a {{\displaystyle \ left| / \ mathbf {A} \right\|} . Prik-produktet af to Euklidisk vektorer a og b er defineret ved

a ⋅ b = ‖ en ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {en} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {en} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta -,}

hvor θ er vinklen mellem a og b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \ mathbf {a} \cdot \ mathbf {B} =0.,t den anden ekstrem, hvis de er codirectional, så vinklen mellem dem er nul med cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} og a ⋅ b = ‖ en ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {en} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {en} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Dette indebærer, at dot produkt af en vektor med sig selv

a ⋅ a = ‖ en ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {en} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {en} \right\|^{2},}

giver

‖ en ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {en} \right\|={\sqrt {\mathbf {en} \cdot \mathbf {a} }},}

formlen for den Euklidiske længde af vektor.,

Skalar projektion og første propertiesEdit

skalar fremskrivning (eller skalar komponent) af en Euklidisk en vektor i retning af en Euklidisk vektor b er givet ved

a b = ‖ en ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {en} \right\|\cos \theta -,}

hvor θ er vinklen mellem a og b.,

I form af den geometriske definition af dot produkt, kan dette skrives

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {en} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

hvor b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} er den enhed, der vektor i retning af b.

dot produkt er således karakteriseret geometrisk ved

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b a ‖ en ‖ ., {\displaystyle \ mathbf {a} \cdot \ mathbf {B} =a_{B}\venstre\|\mathbf {B} \højre\|=b_{a}\venstre\|\mathbf {A} \højre\|.}

prikproduktet, defineret på denne måde, er homogent under skalering i hver variabel, hvilket betyder, at for enhver skalar α,

( α a ) ⋅ b = α ( A b B ) = A ((b B ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {en} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {en} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

det opfylder også en distributiv lov, hvilket betyder, at

a ((B + C ) = A b B + A .C., {\displaystyle \mathbf {en} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {en} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {en} \cdot \mathbf {c} .}

dot-produktet svarer således til at multiplicere normen (længden) af b med normen for projektionen af A over b.

ækvivalens af definitionsEdit

Hvis e1, …, da er standard basis vektorer i Rn, så kan vi skrive

a = = i i a i e i b==. i b i e i. {\displaystyle {\begin{justeret}\mathbf {en} &==\sum _{i}a_{jeg}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{jeg}\mathbf {e} _{i}.,\ end{aligned}}}

vektorerne ei er et ortonormalt grundlag, hvilket betyder, at de har enhedslængde og er vinkelret på hinanden. Derfor da disse vektorer have unit-længde

e jeg ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

og da de danner rette vinkler med hinanden, hvis jeg ≠ j,

e jeg ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}

således kan vi generelt sige, at:

e i e E J = i I j . det er en god id., at du har brug for at vide, hvad du skal gøre.}

hvor i ij er Kroneckers delta.,

ved den geometriske definition, for enhver vektor ei og en vektor a, kan vi konstatere

a ⋅ e i = ‖ en ‖ ‖ e i ‖ cos ⁡ θ i = ‖ en ‖ cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {en} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {en} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {en} \right\|\cos \theta _{i}=a_{jeg},}

hvor ai er den del af en vektor i retning af ei. Det sidste trin i ligestillingen kan ses fra figuren.,

Nu anvender de distributivity af geometrisk version af dot produkt giver

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ i a, jeg b jeg , {\displaystyle \mathbf {en} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {en} \cdot \sum _{i}b_{jeg}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{jeg}(\mathbf {en} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{jeg}a_{i}=\sum _{i}a_{jeg}b_{jeg},}

der er netop den algebraiske definition af dot produkt. Så det geometriske dot-produkt er lig med det algebraiske dot-produkt.