El producto escalar puede definirse algebraicamente o geométricamente. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y Distancia (magnitud de vectores). La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesianas para el espacio euclidiano.

en las presentaciones modernas de la geometría euclidiana, los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas, y el espacio euclidiano en sí se identifica comúnmente con el espacio de coordenadas real Rn. En tal presentación, las nociones de longitud y ángulos se definen por medio del producto escalar., La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo, y el coseno del ángulo (no orientado) de dos vectores de longitud uno se define como su producto escalar. Así que la equivalencia de las dos definiciones del producto escalar es una parte de la equivalencia de las formulaciones clásicas y modernas de la geometría euclidiana.,o {rojo}1}\times {\color {blue}4})+({\color {rojo}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {rojo}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Si los vectores son identificados con las filas de las matrices, el producto escalar también se puede escribir como una matriz de producto

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {rojo}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {rojo}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

donde b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} denota la transpuesta de b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz 1 × 3 (vector fila) se multiplica por una matriz 3 × 1 (vector columna) para obtener una matriz 1 × 1 que se identifica con su entrada única:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {purple}3} .,

Geométricas definitionEdit

En el espacio Euclidiano, un Euclidiana del vector es un objeto geométrico que posee tanto una magnitud y una dirección. Un vector puede ser representado como una flecha. Su magnitud es su longitud, y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha., La magnitud de un vector a se denota por ‖ A {{\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|} . El producto escalar de dos Euclidiana vectores a y b se define por

a ⋅ b = ‖ un ‖ de ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

donde θ es el ángulo entre a y b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {b} = 0 .,t el otro extremo, si se codirectional, entonces el ángulo entre ellos es cero con cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} y a ⋅ b = ‖ un ‖ de ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \derecho\|\,\left\|\mathbf {b} \derecho\|}

Esto implica que el producto escalar de un vector consigo mismo es

a ⋅ a = ‖ un ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \derecho\|^{2},}

que da

‖ un ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \derecho\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

la fórmula para la longitud Euclidiana del vector.,

proyección escalar y primeras propiedadeditar

la proyección escalar (o componente escalar) de un vector euclidiano a en la dirección de un vector euclidiano b está dada por

A B = a A cos cos ⁡ θ , {\displaystyle A_{B}=\left\ / \mathbf {A} \right\ / \cos \theta,}

donde θ es el ángulo entre a y B.,

En términos de la definición geométrica del producto escalar, esto puede ser reescrito

b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

donde b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \derecho\|} es el vector unitario en la dirección de b.

El producto escalar es así que se caracteriza geométricamente por

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b a ‖ un ‖ ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \derecho\|=b_{un}\left\|\mathbf {a} \derecho\|.}

el producto escalar, definido de esta manera, es homogéneo bajo escala en cada variable, lo que significa que para cualquier escalar α,

( α a ) ⋅ b = α ( A ⋅ b ) = A ⋅ ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

también satisface una ley distributiva, lo que significa que

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + A ⋅ c ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}

el producto escalar es por lo tanto equivalente a multiplicar la norma (longitud) de b por la norma de la proyección de A sobre b.

equivalencia de las definicióneseditar

Si e1, …, en son los vectores de base estándar en Rn, entonces podemos escribir

a = = ∑ i a i e i b = = ∑ i b i e i . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\end{aligned}}}

los vectores ei son una base ortonormal, lo que significa que tienen una longitud unitaria y están en ángulos rectos entre sí. Por lo tanto, dado que estos vectores tienen una longitud unitaria

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

y dado que forman ángulos rectos entre sí, si i ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}

Así, en general, podemos decir que:

e i ⋅ e j = δ i j . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}

donde δ ij es el delta de Kronecker.,

También, por la definición geométrica, para cualquier vector de la ie y de un vector, se nota

⋅ e i = ‖ un ‖ de ‖ e ‖ cos ⁡ θ i = ‖ un ‖ cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \derecho\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\derecho\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \derecho\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

donde ai es el componente de un vector en la dirección de la ie. El último paso en la igualdad se puede ver en la figura.,

Ahora la aplicación de la distributividad de la versión geométrica del producto escalar da

a ⋅ b = a ⋅ ∑ b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ b i i = ∑ i a, i b, i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

que es precisamente el algebraicas definición de producto escalar. Así que el producto geométrico punto es igual al producto algebraico punto.