pistetulo voidaan määritellä algebrallisesti tai geometrisesti. Geometrinen määritelmä perustuu kulman ja etäisyyden käsitteisiin (vektorien suuruus). Näiden kahden määritelmän vastaavuus perustuu Karteesiseen koordinaattijärjestelmään Euklidiselle avaruudelle.

moderni esityksiä Euklidinen geometria, pisteitä avaruudessa, on määritelty niiden Suorakulmaiset koordinaatit, ja Euklidinen avaruus itsessään on yleisesti tunnistettu todellinen koordinoida tilaa Rn. Tällaisessa esitystavassa pituuden ja kulmien käsitteet määritellään pistetuotteen avulla., Pituus vektori, joka on määritelty neliöjuuri pistetulo vektorin itse, ja kosini (ei suuntautunut) kulma kahden vektorin pituus on määritelty niiden pistetulo. Joten vastaavuuden kaksi määritelmää dot tuote on osa vastaavuus klassinen ja moderni muotoiluja, Euklidinen geometria.,tai {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Jos vektorit ovat tunnistettu rivi matriisit, dot tuote voidaan myös kirjoittaa matriisin tuote

a ⋅ b = a b F , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

jos b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} tarkoittaa transpose b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

Ilmaista edellä oleva esimerkki tällä tavalla, 1 × 3-matriisi (row vector) on kerrottuna by 3 × 1-matriisi (pystyvektori) saada 1 × 1-matriisin, joka on tunnistettu sen ainutlaatuinen merkintä:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\väri {blue}-2\\\väri {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {violetti}3} .,

Geometrinen definitionEdit

Vuonna Euclidean avaruudessa, Euclidean vektori on geometrinen esine, joka on sekä suuruus ja suunta. Vektori voidaan kuvata nuolena. Sen suuruus on sen pituus, ja sen suunta on suunta, johon nuoli osoittaa., Suuruus vektori a on merkitty ‖ on ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|} . Dot tuote kaksi Eukleideen vektorit a ja b on määritelty

a ⋅ b = ‖ on ‖ ‖ b ‖, koska ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

missä θ on kulma a ja b välillä.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.,t toinen ääripää, jos ne ovat codirectional, niin niiden välinen kulma on nolla, koska ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} ja a ⋅ b = ‖ on ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Tämä merkitsee sitä, että pistetulo vektorin itsensä kanssa on

a ⋅ a = ‖ on ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

joka antaa

‖ on ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

kaava Euklidinen pituus vektori.,

Skalaari projektio ja ensimmäinen propertiesEdit

skalaari projektio (tai skalaari-komponentti) on Euklidinen vektorin a suuntaan Euclidean vektori b on antanut

a b = ‖ on ‖, koska ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}

missä θ on kulma a ja b välillä.,

suhteen geometrinen määritelmä piste tuote, tämä voidaan kirjoittaa

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

, missä b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} on yksikkö vektori suuntaan b.

pistetulo on siis ominaista geometrisesti

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b-a ‖ on ‖ ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}

pistetulo, joka määritellään tällä tavalla, on homogeeninen alle skaalaus kunkin muuttujan, mikä tarkoittaa, että tahansa skalaari α,

( α, a ) ⋅ b = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

Se täyttää myös jakolain eli

a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}

pistetulo on siis vastaa kertomalla normi (pituus) b normi projektio yli b.

Vastaavuus definitionsEdit

Jos e1, … fi ovat standardin perusteella vektorit Rn, niin voimme kirjoittaa

a = = ∑ i i e i b = = ∑ i b i e en . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\end{aligned}}}

vektorit ei ovat orthonormal perusteella, mikä tarkoittaa, että ne ovat yksikön pituisia ja ovat suorassa kulmassa toisiinsa. Siksi koska nämä vektorit ovat yksikön pituisia.

e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

ja koska ne muodostavat oikeassa kulmassa keskenään, jos i ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}

siten yleisesti voidaan sanoa, että:

e i ⋅ e j = δ I j . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}

missä δ ij on Kroneckerin delta.,

Myös geometrinen määritelmä, tahansa vektori fb ja vektori a, toteamme,

a ⋅ e i = ‖ on ‖ ‖ e i ‖, koska ⁡ θ i = ‖ on ‖, koska ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

missä ai on komponentti vektorin a suuntaan ei. Viimeinen askel tasa-arvossa näkyy luvusta.,

Nyt soveltamalla distributivity geometrinen versio dot tuote antaa

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ i a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{en}a_{i}=\sum _{i}a_{en}b_{i},}

mikä on juuri algebrallinen määritelmä dot tuote. Geometrinen pistetuote vastaa siis algebrallista pistetuotetta.