P vs. NP ongelma, koko polynomi vs. nondeterministic polynomial ongelma, laskennallinen monimutkaisuus (alikenttä teoreettisen tietojenkäsittelytieteen ja matematiikan), kysymys siitä, onko kaikki ns NP-ongelmat ovat itse asiassa S-ongelmia. P-ongelma on yksi, joka voidaan ratkaista ”polynomial time”, joka tarkoittaa, että algoritmi on olemassa, sen ratkaisu niin, että useita vaiheita algoritmi rajoittuu polynomi-funktio n, jossa n vastaa pituuden tulo ongelma., Siksi P-ongelmien sanotaan olevan helppoja eli jäljitettävissä. Ongelma on nimeltään NP, jos sen ratkaisu voidaan arvata ja tarkistaa polynomi aikaa, ja nondeterministic tarkoittaa, että mitään erityistä sääntöä on noudatettava, jotta arvata.

Lineaarinen ohjelmointi ongelmat ovat NP, kuten useita vaiheita, simplex-menetelmä, keksi vuonna 1947 Amerikkalainen matemaatikko George Dantzig, kasvaa eksponentiaalisesti koko panos. Kuitenkin, vuonna 1979 venäläinen matemaatikko Leonid Khachian löysi polynomi algoritmi—eli, määrä laskennallisen vaiheet kasvaa voiman määrä muuttujia, eikä eksponentiaalisesti—mikä osoittaa, että lineaarinen ohjelmointi ongelmat ovat todella P. Tämä löytö mahdollisti ratkaisu aiemmin hankalimmista ongelmista.

ongelma on NP-kova, jos algoritmia sen ratkaisulle voidaan muokata minkä tahansa NP—ongelman-tai minkä tahansa P-ongelman ratkaisemiseksi, sillä P-ongelmat ovat NP-ongelmien osajoukko. (Kaikki NP-kovat ongelmat eivät kuitenkaan kuulu NP-ongelmien luokkaan.) Ongelman, joka on sekä NP että NP-kova, sanotaan olevan NP-täydellinen., Näin, löytää tehokas algoritmi varten tahansa NP-täydellinen ongelma merkitsee sitä, että tehokas algoritmi löytyy kaikki NP-ongelmia, koska ratkaisu tahansa ongelma, jotka kuuluvat tähän luokkaan voidaan uudelleenlaadittu osaksi ratkaisu tahansa muu jäsen luokassa., Vuonna 1971 Amerikkalainen tietokone tiedemies Stephen Cook osoitti, että satisfiability problem (ongelma määrittämällä arvoja muuttujat kaava Boolen algebra siten, että lausunto on totta) on NP-täydellinen, joka oli ensimmäinen ongelma näkyy olevan NP-täydellinen, ja avasi tapa osoittaa muita ongelmia, jotka kuuluvat luokkaan NP-täydellisiä ongelmia. Kuuluisa esimerkki NP-täydellinen ongelma on kauppamatkustajan ongelma, jossa on laaja sovellusten optimointi kuljetusten aikataulut., Se ei ole tiedossa, onko polynomi kertaa algoritmeja koskaan löytynyt NP-täydellisiä ongelmia, ja onko nämä ongelmat ovat mukautuva tai hankala on edelleen yksi tärkeimmistä kysymyksistä, teoreettisen tietojenkäsittelyopin. Tällainen löytö todistaisi, että P = NP = NP-täydellinen ja mullistaa monia tieteenaloja ja matematiikkaa.

esimerkiksi, moderni salaus perustuu oletukseen, että factoring-tuote kaksi suurta alkulukua ei ole P., Huomaa, että kahden alkuluvun tuotteen tarkistaminen on helppoa (polynomiaika), mutta kahden alkuluvun laskeminen on vaikeaa. Tehokkaan algoritmin keksiminen suurten lukujen edistämiseen rikkoisi useimmat nykyaikaiset salausjärjestelmät.

Vuonna 2000 Amerikkalainen matemaatikko Stephen Smale kehitetty vaikutusvaltainen luettelo 18 tärkeitä matemaattisia ongelmia ratkaista 21.vuosisadalla. Kolmas ongelma hänen listallaan oli P vs. NP ongelma., Myös vuonna 2000 se oli nimetty Vuosituhannen Ongelma, yksi seitsemän matemaattisia ongelmia valittu Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts, USA, erityinen palkinto. Jokaisen Millennium-ongelman ratkaisu on miljoonan dollarin arvoinen.