a P = NP probléma, teljes polinom ellen nondeterministic polinom probléma, a számítási komplexitás (egy almező az elméleti számítógép-tudomány, valamint a matematika), a kérdés, hogy az összes úgynevezett NP problémák igazából P problémák. A P probléma az, amely “polinom időben” megoldható, ami azt jelenti, hogy egy algoritmus létezik a megoldáshoz úgy, hogy az algoritmus lépéseinek számát n polinom függvény határolja, ahol n megfelel a probléma bemenetének hosszának., Így azt mondják, hogy a P problémák könnyűek vagy nyomon követhetők. A problémát NP-nek nevezzük, ha a megoldás polinom időben kitalálható és ellenőrizhető, és a nondeterminisztikus azt jelenti, hogy nem követünk konkrét szabályt a találgatáshoz.

A lineáris programozási problémák NP, mivel a George Dantzig amerikai matematikus által 1947-ben feltalált simplex módszer lépéseinek száma exponenciálisan növekszik a bemenet méretével. 1979-ben azonban Leonid Khachian orosz matematikus felfedezett egy polinom idő algoritmust—azaz.,, a számítási lépések száma a változók számának erejeként növekszik, nem exponenciálisan – ezáltal megmutatva, hogy a lineáris programozási problémák valójában P. Ez a felfedezés lehetővé tette a korábban megoldhatatlan problémák megoldását.

a probléma NP-nehéz, ha a megoldás algoritmusa módosítható bármilyen NP probléma megoldására—vagy bármilyen p problémára, ami azt illeti, mivel a P problémák az NP problémák egy részhalmaza. (Nem minden NP-nehéz problémák tagjai az osztály NP problémák, azonban.) Egy olyan probléma, amely mind az NP, mind az NP-hard, azt mondják, hogy NP-teljes., Így egy hatékony algoritmus megtalálása bármely NP-teljes problémához azt jelenti, hogy minden NP problémára hatékony algoritmus található, mivel az ebbe az osztályba tartozó bármely probléma megoldása átdolgozható az osztály bármely más tagjának megoldásába., 1971-ben Stephen szakács amerikai számítástechnikai tudós bebizonyította, hogy a elégedettségi probléma (a logikai algebrában egy képletben szereplő értékek hozzárendelésének problémája, hogy az állítás igaz) NP-teljes, amely az első probléma, amelyet NP-teljesnek mutattak, és megnyitotta az utat az NP-teljes problémák osztályába tartozó egyéb problémák bemutatásához. Az NP-teljes probléma híres példája az utazó ügynök problémája, amely széles körű alkalmazásokkal rendelkezik a szállítási ütemtervek optimalizálásában., Nem ismert, hogy valaha is találnak-e polinom idő algoritmusokat az NP-teljes problémákra, és annak meghatározása, hogy ezek a problémák nyomon követhetők vagy kezelhetetlenek-e, továbbra is az elméleti számítástechnika egyik legfontosabb kérdése. Egy ilyen felfedezés bizonyítja, hogy P = NP = NP-teljes és forradalmasítja számos területen a számítástechnika és a matematika.

például a modern kriptográfia azon a feltételezésen alapul, hogy két nagy prímszám szorzatának faktorálása nem P., Vegye figyelembe, hogy a két prímszám szorzatának ellenőrzése egyszerű (polinomidő), de a két prímtényező kiszámítása nehéz. A felfedezés egy hatékony algoritmus faktoring nagy számok megtörné a legtöbb modern titkosítási rendszerek.

2000-ben Stephen Smale amerikai matematikus egy befolyásos listát dolgozott ki a 18 fontos matematikai problémáról a 21.században. A harmadik probléma a listán volt a P versus NP probléma., Szintén 2000-ben jelölték Millenniumi probléma, egyike a hét matematikai problémák által kiválasztott Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts, USA, egy különdíjat. A megoldás minden Millenniumi probléma érdemes $1 millió.