Dot termék
a dot termék algebrai vagy geometriailag meghatározható. A geometriai meghatározás a szög és a távolság (Vektorok nagysága) fogalmain alapul. E két meghatározás egyenértékűsége az euklideszi tér Derékszögű koordináta-rendszerén alapul.
az euklideszi geometria modern ábrázolásaiban a tér pontjait a derékszögű koordinátáik határozzák meg, maga az euklideszi tér pedig általában az RN valós koordinátatérrel azonosítható. Egy ilyen prezentációban a hosszúság és a szög fogalmait a ponttermék határozza meg., A vektor hossza önmagában a vektor ponttermékének négyzetgyöke, a két hosszúságú vektor (nem orientált) szögének koszinusa pedig ponttermékként van meghatározva. Tehát a ponttermék két definíciójának egyenértékűsége része az euklideszi geometria klasszikus és modern formuláinak egyenértékűségének.,vagy {red}1}\alkalommal {\színes {kék}4})+({\színes {red}3}\alkalommal {\színes {kék}-2})+({\színes {red}-5}\alkalommal {\színes {kék}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{igazítva}}}
Ha a vektorok azonosítják a sorban mátrixok, a dot termék is lehet írni, mint a mátrix termék
a ⋅ b = a b T {\displaystyle \mathbf {\színes {red}a} \cdot \mathbf {\színes {kék}b} =\mathbf {\színes {red}a} \mathbf {\színes {kék}b} ^{\mathsf {T}},}
ahol b a T {\displaystyle \mathbf {\színes {kék}b} ^{\mathsf {T}}} jelöli a átültetni a b {\displaystyle \mathbf {\színes {kék}b} } .,
fejezi ki a fenti példa így, egy 1 × 3 mátrix (sor vektor) meg kell szorozni egy 3 × 1 mátrix (oszlop vektor), hogy egy 1 × 1 mátrix azonosított, az egyedi bejegyzés:
= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\színes {red}1&\színes {red}3&\színes {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\színes {kék}4\\\színes {kék}-2\\\színes {kék}-1\end{bmatrix}}=\színes {lila}3} .,
Geometriai meghatározásszerkesztés
egy szimmetrikus kötés szögének kiszámítása tetraéderes molekuláris geometria az euklideszi térben az euklideszi vektor olyan geometriai objektum, amely mind egy nagysággal, mind egy irányral rendelkezik. A vektor nyílként ábrázolható. Nagysága a hossza, iránya pedig az az irány, amelyre a nyíl mutat., Az a vektor nagyságát ‖ a ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|} jelöli . A dot termék két Euklideszi vektorok, illetve a b határozza meg
a ⋅ b = születik egy születik születik b születik, mert θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}
ahol θ a szög között, valamint b.
a ⋅ b = 0. {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = 0.,t a másik véglet, ha codirectional, akkor a szög közöttük nulla, mert 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1}, s
a ⋅ b = születik egy születik születik b születik {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\maradt\|\mathbf {a} \rendben\|\,\maradt\|\mathbf {b} \rendben\|}
Ez azt jelenti, hogy a dot termék a vektor egy a maga
egy ⋅ a = születik egy születik 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\maradt\|\mathbf {a} \rendben\|^{2},}
melyik ad
születik egy születik = a ⋅ a , {\displaystyle \maradt\|\mathbf {a} \igaz\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}
a képlet a Euklideszi hosszúságú vektor.,
Skalár vetítés első propertiesEdit
Skalár vetítés
A skalár vetítés (vagy skalár komponens) egy Euklideszi vektor egy abba az irányba, egy Euklideszi b vektor által megadott
b = születik egy születik, mert θ , {\displaystyle a_{b}=\maradt\|\mathbf {a} \rendben\|\cos \theta ,}
ahol θ a szög között, valamint b.,
a szempontból, hogy a geometriai meghatározása a dot termék átírható
b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}
hol b ^ = b / születik b születik {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\maradt\|\mathbf {b} \rendben\|} az egység vektor irányába b.
Kereskedelmi törvény a dot termék
A dot termék így jellemzi geometriailag a a ⋅ b = a b születik b születik = b születik egy születik ., {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_{b} \ left \ / \ mathbf {b}\right \ |=b_{a}\left \ / \ mathbf {a} \right|/.}
az ilyen módon definiált ponttermék homogén az egyes változók méretezése alatt, ami azt jelenti, hogy minden α skalár esetében
(α a ) ⋅ b = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ (α b ) . {\displaystyle (\alpha\mathbf {a}) \cdot\mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot\mathbf {b}) =\mathbf {a} \cdot (\alpha \ mathbf {b} ).}
egy disztributív törvényt is kielégít, ami azt jelenti, hogy
A ⋅ (b + c) = A ⋅ b + A ⋅ c ., {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\mathbf {b} + \ mathbf {C}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {C} .}
a dot termék tehát egyenértékű a B normájának (hosszának) megszorzásával az a vetületének normájával b.
A definíciók Egyenértékűségeszerkesztés
Ha e1, …, en a standard alapvektorok az Rn-ben, akkor írhatunk
a = = ∑ I a I E B = = ∑ i b i e i . {\displaystyle {\begin{corined}\mathbf {a} &=\sum _{I}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\mathbf {b} &==\sum _{I}b_{i}\mathbf {e} _{i} _ {i}.,\end{igazított}}}
az EI Vektorok ortonormális alapúak, ami azt jelenti, hogy egységhosszuk van, és derékszögben vannak egymással. Ezért, mivel ezek a vektorok egységhossza
e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = 1}
és mivel derékszöget alkotnak egymással, ha i ≠ j,
e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}
így általában azt mondhatjuk, hogy:
e i ⋅ e j = δ I j . ez a szócikk részben vagy egészben a következő szöveggel egészül ki:}
ahol δ IJ a Kronecker-delta.,
Vektor komponensek egy orthonormal alapján
Is, a geometriai felbontású, minden vektor-ei, illetve a vektor egy megjegyezzük,
egy ⋅ e i = születik egy születik születik e i születik, mert θ i = születik egy születik, mert θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\maradt\|\mathbf {a} \rendben\|\,\maradt\|\mathbf {e} _{i}\rendben\|\cos \theta _{i}=\maradt\|\mathbf {a} \rendben\|\cos \theta _{i}=a_{i},}
ahol ai az a komponens a vektor egy irányba ei. Az egyenlőség utolsó lépése az ábrán látható.,
Most alkalmazása a distributivity a geometriai változata a dot termék ad
a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ b i i i = ∑ i a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \összeg _{i}p_{i}\mathbf {e} _{i}=\összeg _{i}p_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\összeg _{i}p_{i}a_{i}=\összeg _{i}a_{i}p_{i},}
pontosan az algebrai meghatározása a dot termék. Tehát a geometriai ponttermék megegyezik az algebrai pont termékkel.
