Cosa sono i Cox proportional hazards models

Il principio del Cox proportional hazards model è quello di collegare il tempo di sopravvivenza di un individuo alle covariate. Ad esempio, nel campo medico, stiamo cercando di scoprire quale covariata ha l’impatto più importante sul tempo di sopravvivenza di un paziente.

Modelli di Cox

Un modello di Cox è una tecnica statistica ben riconosciuta per esplorare la relazione tra la sopravvivenza di un paziente e diverse variabili esplicative., Un modello di Cox fornisce una stima dell’effetto del trattamento sulla sopravvivenza dopo aggiustamento per altre variabili esplicative. Ci permette di stimare il pericolo (o il rischio) di morte, o altro evento di interesse, per gli individui, date le loro variabili prognostiche.

Interpretare un modello di Cox comporta l’esame dei coefficienti per ogni variabile esplicativa. Un coefficiente di regressione positivo per una variabile esplicativa significa che il rischio per il paziente che ha un alto valore positivo su quella particolare variabile è elevato., Viceversa, un coefficiente di regressione negativo implica una prognosi migliore per i pazienti con valori più elevati di quella variabile.

Il metodo di Cox non assume alcuna distribuzione particolare per i tempi di sopravvivenza, ma assume piuttosto che gli effetti delle diverse variabili sulla sopravvivenza siano costanti nel tempo e siano additivi in una particolare scala.

La funzione di pericolo è la probabilità che un individuo verifichi un evento (ad esempio, la morte) entro un piccolo intervallo di tempo, dato che l’individuo è sopravvissuto fino all’inizio dell’intervallo., Si può, pertanto, essere interpretata come il rischio di morire al tempo t. La funzione di rischio (indicato da λ(t,X)) può essere stimata utilizzando l’equazione seguente:

λ(t,X) = λ0(t) exp(ßX)

Il primo termine dipende solo da tempo e il secondo dipende X. Siamo interessati solo al secondo termine. Se stimiamo solo il secondo termine, un’ipotesi molto importante deve essere verificata: l’ipotesi dei pericoli proporzionali. Significa che l’hazard ratio tra due diverse osservazioni non dipende dal tempo., Cox ha sviluppato una modifica della funzione di verosimiglianza chiamata probabilità parziale per stimare i coefficienti β non tenendo conto del termine dipendente dal tempo della funzione di pericolo:

log = Σi = 1..n ßXi-log

Per stimare i parametri β del modello (i coefficienti della funzione lineare), cerchiamo di massimizzare la funzione di verosimiglianza parziale. Contrariamente alla regressione lineare, non esiste una soluzione analitica esatta. Quindi deve essere usato un algoritmo iterativo. XLSTAT utilizza un algoritmo Newton-Raphson., Se lo si desidera, l’utente può modificare il numero massimo di iterazioni e la soglia di convergenza.

Strati nel modello dei pericoli proporzionali di Cox

Quando l’ipotesi dei pericoli proporzionali non regge, il modello può essere stratificato. Se l’ipotesi è valida per i sottocampioni, la probabilità parziale viene stimata su ciascun sottocampione e queste probabilità parziali vengono sommate per ottenere la probabilità parziale stimata. In XLSTAT, gli strati sono definiti utilizzando una variabile qualitativa.,

Le variabili qualitative nel modello dei rischi proporzionali di Cox

Le covariate qualitative sono trattate utilizzando una tabella disgiuntiva completa. Per avere variabili indipendenti nel modello, la variabile binaria associata alla prima modalità di ogni variabile qualitativa deve essere rimossa dal modello. In XLSTAT, la prima modalità è sempre selezionata e, quindi, il suo effetto corrisponde a uno standard. Gli impatti delle altre modalità sono ottenuti relativamente alla modalità omessa.,

Ties handling for Cox proportional hazards model

Il modello dei pericoli proporzionali è stato sviluppato da Cox (1972) per trattare i dati di sopravvivenza a tempo continuo. Tuttavia, spesso nelle applicazioni pratiche, alcune osservazioni si verificano contemporaneamente. La probabilità parziale classica non può essere applicata. Con XLSTAT, è possibile utilizzare due approcci alternativi per gestire i legami:

Se non ci sono legami, le probabilità parziali sono equivalenti alla probabilità parziale di Cox.,

Selezione delle variabili per il modello di rischio proporzionale Cox

È possibile migliorare il modello di rischio proporzionale Cox selezionando le variabili che fanno parte del modello. XLSTAT offre due opzioni per selezionare le variabili:

• Forward selection: Il processo di selezione inizia aggiungendo la variabile con il maggior contributo al modello. Se una seconda variabile è tale che la sua probabilità di ingresso sia maggiore del valore di soglia di ingresso, viene aggiunta al modello. Questo processo viene iterato fino a quando non è possibile immettere alcuna nuova variabile nel modello.,
• Selezione all’indietro: Questo metodo è simile al precedente ma parte da un modello completo.

i Risultati per il rischio proporzionale di Cox in XLSTAT

la Bontà di adattamento coefficienti di rischio proporzionale di Cox del modello

La bontà di adattamento coefficienti tabella mostra una serie di statistiche per il modello indipendente (corrispondente al caso in cui non vi è alcun effetto delle covariate, beta=0) e per il modello rettificato.

• Osservazioni: Il numero totale di osservazioni prese in;
• DF: Gradi di libertà;
• -2 Log(Like.,): Il logaritmo della funzione di verosimiglianza associata al modello;
• AIC: Criterio di informazione di Akaike;
• SBC: Criterio bayesiano di Schwarz;
• Iterazioni: Numero di iterazioni fino alla convergenza.

Test statistico del modello di rischio proporzionale Cox

XLSTAT consente di testare l’ipotesi nulla H0: beta=0:

L’ipotesi H0 corrisponde al modello indipendente (nessun impatto delle covariate). Cerchiamo di verificare se il modello regolato è significativamente più potente di questo modello., Sono disponibili tre test: il test del rapporto di verosimiglianza (-2 Log (Come.)), il test Score e il test Wald. Le tre statistiche seguono una distribuzione Chi2 i cui gradi di libertà sono mostrati.

Parametri del modello

La stima dei parametri, la corrispondente deviazione standard, il Chi2 di Wald, il corrispondente valore p e l’intervallo di confidenza vengono visualizzati per ogni variabile del modello. Vengono inoltre visualizzati i rapporti di rischio per ciascuna variabile con intervalli di confidenza.,

La tabella dei residui mostra, per ogni osservazione, la variabile temporale, la variabile censoria e il valore dei residui (deviance, martingale, Schoenfeld e score).

Disponibile classifiche di rischio proporzionale di Cox del modello

XLSTAT offre i seguenti grafici per il rischio proporzionale di Cox del modello:

• Sopravvivenza Cumulativa funzione di distribuzione (SDF),
• -Log(SDF),
• Log(-Log(SDF)),
• funzione di rischio a media di covariate,
• residui.