Il prodotto dot può essere definito algebricamente o geometricamente. La definizione geometrica si basa sulle nozioni di angolo e distanza (grandezza dei vettori). L’equivalenza di queste due definizioni si basa sull’avere un sistema di coordinate cartesiane per lo spazio euclideo.

Nelle presentazioni moderne della geometria euclidea, i punti dello spazio sono definiti in termini di coordinate cartesiane e lo spazio euclideo stesso è comunemente identificato con lo spazio delle coordinate reali Rn. In tale presentazione, le nozioni di lunghezza e angoli sono definite per mezzo del prodotto dot., La lunghezza di un vettore è definita come la radice quadrata del prodotto punto del vettore stesso e il coseno dell’angolo (non orientato) di due vettori di lunghezza uno è definito come il loro prodotto punto. Quindi l’equivalenza delle due definizioni del prodotto punto è una parte dell’equivalenza delle formulazioni classiche e moderne della geometria euclidea.,o {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}

Se i vettori sono identificati con la riga matrici, prodotto di puntino può anche essere scritto come prodotto matrice

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

dove b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} indica la trasposta di b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

che Esprimono l’esempio sopra in questo modo, un 1 × 3 matrice (vettore riga) viene moltiplicato per un 3 × 1 matrice (vettore colonna) per ottenere un 1 × 1 matrice che viene identificato con la sua unica voce:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {viola}3} .,

Geometrici definitionEdit

Nello spazio Euclideo, un vettoriale Euclideo è un oggetto geometrico che possiede sia una grandezza e una direzione. Un vettore può essere raffigurato come una freccia. La sua grandezza è la sua lunghezza e la sua direzione è la direzione a cui punta la freccia., La grandezza di un vettore a è indicata da ‖ a {{\displaystyle \ left \ / \ mathbf {a} \ right\/}. Il prodotto di puntino di due Euclidea vettori a e b è definita da

a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta}

dove q è l’angolo tra a e b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} =0.,t l’altro estremo, se sono codirectional, quindi l’angolo tra di loro è zero con cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} e a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Questo significa che il dot prodotto di un vettore con se stessa è

a ⋅ a = ‖ a ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

che dà

‖ all = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

la formula per la lunghezza Euclidea del vettore.,

Scalare la proiezione e la prima propertiesEdit

scalari di proiezione (o componente scalare) di un Euclidea vettore nella direzione di una Euclidea vettore b è dato da

b = ‖ a ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta}

dove q è l’angolo tra a e b.,

In termini di definizione geometrica del punto del prodotto, questo può essere riscritto

b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

dove b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} è il vettore unitario nella direzione di b.

Il prodotto di puntino è quindi caratterizzato geometricamente da

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b ‖ a ‖ ., {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} =a_{b} \ left \ / \ mathbf {b}\right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a}\right\|.}

Il prodotto punto, definito in questo modo, è omogeneo sotto scala in ogni variabile, il che significa che per qualsiasi α scalare,

(α a) b b = α ( a b b ) = a a ( α b ) . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Soddisfa anche una legge distributiva, il che significa che

a a ( b + c ) = a b b + a c c ., il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione .}

Il prodotto punto equivale quindi a moltiplicare la norma (lunghezza) di b per la norma della proiezione di a su b.

Equivalenza delle definizionimodifica

Se e1,…, en sono i vettori di base standard in Rn, quindi possiamo scrivere

a = = i i a i e i b = = ∑ i b i e i . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\ end {aligned}}}

I vettori ei sono una base ortonormale, il che significa che hanno lunghezza unitaria e sono ad angolo retto l’uno rispetto all’altro. Quindi poiché questi vettori hanno lunghezza unitaria

e i i e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

e poiché formano angoli retti l’uno con l’altro, se i j j,

e i j e j = 0. il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}

Quindi, in generale, possiamo dire che:

e i j e j = δ i j . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Dove δ ij è il delta di Kronecker.,

Inoltre, la definizione geometrica, per qualsiasi vettore ei e un vettore a, si nota

a ⋅ e i = ‖ a ‖ ‖ e ho ‖ cos ⁡ q i = ‖ a ‖ cos ⁡ q i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

dove ai è la componente di un vettore in direzione di ei. L’ultimo passo nell’uguaglianza può essere visto dalla figura.,

e ‘ Ora di applicare il distributivity geometriche della versione del prodotto di puntino dà

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ t i ) = ∑ i b i a i = ∑ i a, i b, i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

che è, appunto, il algebriche definizione del prodotto di puntino. Quindi il prodotto del punto geometrico è uguale al prodotto del punto algebrico.