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ユークリッド空間において、ユークリッドベクトルは大きさと方向の両方を持つ幾何学的対象です。 ベクトルは矢印として描くことができます。 その大きさはその長さであり、その方向は矢印が指す方向です。, ベクトルaの大きさは‖a‖{\displaystyle\left\|\mathbf{a}\right\|}で表される。 ドット製品のユークリッドベクトルaとbに定義

a⋅b=ン”、””もの”b”をcos⁡θ,{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\\|\mathbf{b}\|\cos\theta,}

θは、角度、aとb.

a⋅b=0になります。 {\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.,tその他の極端な場合にそれcodirectional、その角度からそれらをゼロとcos⁡0=1{\displaystyle\cos0=1}は、

a⋅b=ン”、””もの”b”と{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\,\左\|\mathbf{b}\right\|}

これは、このド製品のベクトルとは

a⋅a=ン”a”を2,{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=\left\|\mathbf{a}\right\|^{2},}

を

しゅしゅ=a⋅a,{\displaystyle\left\|\mathbf{a} \right\|={\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{、}}},}

公式のユークリッドの長さのベクトルとなっています。,

スカラー射影と最初の特性編集

ユークリッドベクトルbの方向におけるユークリッドベクトルaのスカラー射影（またはスカラー成分）は、

a b=≤a≤cos≤,{\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\cos\theta,}

ここで、θはaとbの間の角度です。,

の幾何学的定義にドットの製品は、下記のように書き換えられます

b=a⋅b^,{\displaystyle a_{b}=\mathbf{a}\cdot{\widehat{\mathbf{b}}},}

b^=b/書bの”{\displaystyle{\widehat{\mathbf{b}}}=\mathbf{b} /\left\|\mathbf{b}\right\|}の単位ベクトルの方向にb.

ド製品はこのように幾何学的特徴による

a⋅b=a bの”b”と=b a ーン”を目指してまいります。, {\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{b}\left\|\mathbf{b}\right\|=b_{a}\left\|\mathbf{a}\right\|。 このように定義された内積は、各変数のスケーリングの下で均質であり、任意のスカラー αに対して

(α a)≤b=α(a≤b)=a≤(α b)であることを意味する。 {\displaystyle(\alpha\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\alpha(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot(\alpha\mathbf{b})\cdot(\alpha\mathbf{b})\cdot(\alpha\mathbf{b})\cdot(\alpha\mathbf{b})\cdot(\alpha\mathbf{b})\cdot(\alpha\mathbf{b}). それはまた、分配法則を満たし、つまり

a∈（b+c）=a∈b+a∈cであることを意味します。, {\displaystyle\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}}

したがって、内積はbのノルム（長さ）にb上のaの射影のノルムを掛けることと同値である。

定義の同値性edit

e1,…,enはRnにおける標準基底ベクトルであり、

a==≤i a i e i b==≤i b i e iと書くことができる。 {\displaystyle{\begin{aligned}\mathbf{a}&==\sum_{i}a_{i}\mathbf{e}_{i}\\mathbf{b}&==\sum_{i}b_{i}\mathbf{e}_{i}。,\end{aligned}}}

ベクトルeiは正規直交基底であり、それは単位長さを持ち、互いに直角であることを意味します。 したがって、これらのベクトルは単位長

e i∈e i=1{\displaystyle\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{i}=1}

を持ち、互いに直角をなすので、i∈jならば

e i∈e j=0となる。 {\displaystyle\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=0. したがって、一般的に、我々はそれを言うことができます：

e i∈e j=δ i j。 {\displaystyle\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=\delta_{ij}。 ここでδijはクロネッカーデルタである。,

また、幾何学的定義の任意のベクトルeiベクターを、ご注意

a⋅e i=ン”、””もの”e i ーン”cos⁡θ i=ン”a”をcos⁡θ i=a i, {\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_{i}:=\left\|\mathbf{a}\right\|\,\左\|\mathbf{e}_{i}\right\|\cos\theta_{i}:=\left\|\mathbf{a}\right\|\cos\theta_{i}=a_{i},}

アイがの成分をベクトルａを方向ei. 平等の最後のステップは、図から見ることができます。,

現在のdistributivityの幾何版のドットの製品を

a⋅b=a⋅∑i bれているかが分かるようになっ=∑i b i(a⋅e i)=∑i b i a i=∑i a i b i,{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\sum_{i}b_{i}\mathbf{e} _{i}:=\sum_{i}b_{i}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_{i})=\sum_{i}b_{i}a_{i}:=\sum_{i}a_{i}b_{i},}

具の代数的定義にドットの商品です。 したがって、幾何学的なドット積は代数的ドット積に等しくなります。