점 생성물은 대수적으로 또는 기하학적으로 정의될 수 있다. 기하학적 정의는 각도와 거리의 개념(벡터의 크기)을 기반으로합니다. 이 두 정의의 동등성은 유클리드 공간에 대한 직교 좌표계를 갖는 것에 의존합니다.

에 현대적인 프리젠테이션의 유클리드 기하학,포인트의 공간은 정의의 관점에서 자신의 데카르트 좌표 및 유클리드 공간 그 자체는 일반적으로 식별로 실제 좌표는 공간입………. 이러한 프리젠 테이션에서 길이와 각도의 개념은 도트 제품을 통해 정의됩니다., 합 벡터의 길이 정의의 점의 제품 벡터 자체적으로,그리고 코사인의(비 oriented)각도의 두 벡터의 길이 정의된 자신의 점 제품입니다. 그래서 도트 곱의 두 정의의 동등성은 유클리드 기하학의 고전과 현대 제형의 동등성의 일부입니다.,또{red}1}\회{\색{블루}4})+({\색{red}3}\회{\색{블루}-2})+({\색{red}-5}\회{\색{블루}-1})\\&=4-6+5\\&=3\끝{정렬}}}

경우 벡터는 식별 행렬,점은 제품을 작성할 수도 있습니다으로 모체 제품

a⋅b=b T,{\displaystyle\mathbf{\색{red}a}\cdot\mathbf{\색{블루}b}=\mathbf{\색{red}a}\mathbf{\색{블루}b}^{\mathsf{T}},}

b T{\displaystyle\mathbf{\색{블루}b}^{\mathsf{T}}}의미의 트랜스 b{\displaystyle\mathbf{\색{블루}b}}.,

을 표현하는 위의 예에서 이 방법으로,1×3 매트릭스(행 벡터)를 곱하여 3×1 매트릭스(열 벡터)를 1×1 매트릭스는 식별 독특한 입장료:

=3{\displaystyle{\을 시작{bmatrix}\색{red}1&\색{red}3&\색{red}-5\끝{bmatrix}}{\을 시작{bmatrix}\색{블루}4\\\색{블루}-2\\\색{블루}-1\끝{bmatrix}}=\색{보라색}3}.,

기하학적 definitionEdit

유클리드 공간에서,유클리드 벡터는 기하학적인 개체를 보이는 모두 크기와 방향이다. 벡터는 화살표로 그려질 수 있습니다. 그 크기는 길이이며 방향은 화살표가 가리키는 방향입니다., 벡터 a 의 크기는‖a‖{\displaystyle\left\|\mathbf{a}\right\|}로 표시됩니다. 점의 제품이 두 가지 유클리드 벡터는 a 와 b 의해 정의된

a⋅b=핚니핚핚 b 핚 cos⁡θ,{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\\|\mathbf{b}\|\cos\타,}

어디 θ 사이의 각 a 와 b.

a⋅b=0. {\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.,t 른 극단적인 경우,그들은 codirectional,그 사이의 각도 그들은 영과 cos⁡0=1{\displaystyle\cos0=1}

a⋅b=핚니핚핚 b 핚{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\,\left\|\mathbf{b}\right\|}

이 의미는 점의 제품 벡터 자체입니다.

a⋅a=핚니핚 2,{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=\left\|\mathbf{a}\right\|^{2},}

을 제공하는

핚니핚=a⋅a,{\displaystyle\left\|\mathbf{a} \right\|={\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}},}

에 대한 공식을 유클리드 길이의 벡터입니다.,

스칼라 프로젝션과 첫 propertiesEdit

스칼라 프로젝션(또는 스칼라 구성 요소)의 유클리드 벡터한 방향에서의 유클리드 b 벡터에 의해 주어집

b=핚니핚 cos⁡θ, {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\cos\타,}

어디 θ 사이의 각 a 와 b.,

측면에서의 기하학적인 정의의 점의 제품이 다시 쓸 수 있습니다.

b=a⋅b^,{\displaystyle a_{b}=\mathbf{a}\cdot{\widehat{\mathbf{b}}},}

b^=b/핚 b 핚{\displaystyle{\widehat{\mathbf{b}}}=\mathbf{b} /\left\|\mathbf{b}\right\|}단위 벡터의 방향으로 b.

dot 제품입니다 따라서 기하학적 특징에 의해

a⋅b=b 핚 b 핚=b a 핛 수 있고 동의합니다., {\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{b}\left\|\mathbf{b}\right\|=b_{a}\left\|\mathbf{a}\right\/.}

dot 제품 정의에 이 방법으로는 균일 배율에서 각 변수에서 의미하는 어떤 스칼라 α,

(α a)⋅b=α(a⋅b)=a⋅(α b). {\displaystyle(\alpha\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\alpha(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot(\alpha\mathbf{b}).}

또한 분배 법칙을 만족하며,이는

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c 를 의미한다., {\displaystyle\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}.}

점 곱은 따라서 b 의 법선(길이)에 b 를 통해 a 의 투영의 법선을 곱하는 것과 같습니다.

정의 sedit 의 등가

E1 인 경우…,en 은 rn 의 표준 기준 벡터이며,우리는

a==∑i a i e i b==∑i b i e i 를 쓸 수 있습니다. {\displaystyle{\begin{alliged}\mathbf{a}&==\sum_{i}a_{i}\mathbf{e}_{i}&==\sum_{i}b_{i}\mathbf{e}_{i}.,\end{aligned}}}

벡터 ei 는 직교 기준이며,이는 단위 길이를 가지며 서로 직각을 이루고 있음을 의미합니다. 따라서 이러한 벡터가 길이 단위

e 내⋅전자 i=1{\displaystyle\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{i}=1}

그 이후 그들은 그 양식을 직각으로 각각 다른 경우,i≠j

e 내⋅전자 j=0. {\displaystyle\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=0.}

따라서 일반적으로 다음과 같이 말할 수 있습니다.

e i⋅e j=δ i j. {\displaystyle\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=\delta_{ij}.}

여기서 δ ij 는 크로네커 델타입니다.,

또한 기하학적 정의,어떠한 벡터 ei 와 벡터,우리가 참고.

터⋅전자 i=핚니핚핚 e i 핚 cos⁡θ i=핚니핚 cos⁡θ i=i, {\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_{i}=\left\|\mathbf{a}\right\|\,\left\|\mathbf{e}_{i}\right\|\cos\타_{i}=\left\|\mathbf{a}\right\|\cos\타_{i}=a_{i},}

는 인공 지능의 구성 요소는 벡터의 방향으로 ei. 평등의 마지막 단계는 그림에서 볼 수있다.,

제 적용 distributivity 의 기하학적 버전 점의 제품을 제공

a⋅b=a⋅∑i b i e i=∑i b i(a⋅전자 i)=∑i b i a i=∑i i b i,{\displaystyle\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\sum_{i}b_{i}\mathbf{e} _{i}=\sum_{i}b_{i}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_{i})=\sum_{i}b_{i}a_{i}=\sum_{i}a_{i}b_{i},}

정확하게 대수적 정의의 점의 제품입니다. 따라서 기하학적 도트 곱은 대수 도트 곱과 같습니다.