P 대 NP,문제에 전체 대한 다항식 비결정적인 문제를 다항식,전산 복잡성(는 하위 필드의 이론적인 컴퓨터 과학과 수학),문제의 여부를 모든 소위 NP 문제는 실제로 P 문제입니다. P 에 문제가 해결할 수 있습니”다항식 시간,”것을 의미하는 알고리즘이 존재에 대한 솔루션이 같은 것의 단계 번호를 알고리즘에 의해 제한된 다항식의 기능 n,n 에 해당하의 길이를 입력해 문제입니다., 따라서 P 문제는 쉽거나 다루기 쉽다고합니다. 문제가 NP 라는다면 그것의 솔루션이 될 수 있습니다 추측하고 검증한 다항식 시간,그리고 비결정적인 의미는 특별한 규칙은 다음을 추측한다.

선형 프로그래밍 문제가 NP,수로의 단계에서는 심플렉스 방법,발명 1947 년 미국의 수학자 조지 단트직,기하급수적으로 증가와 함께 크기의 입력이 있습니다. 그러나 1979 년 러시아 수학자 Leonid Khachian 은 다항식 시간 알고리즘을 발견했습니다., 의 수가 계산한 단계 성장으로 전력의 변수보다는 기하 급수적으로—그로 인하여 보여주는 선형 프로그래밍 문제는 실제로 P. 이 발견은 허용되는 해결책의 이전 다루기 힘든 문제입니다.

문제가 NP-하드는 경우는 알고리즘에 대한 솔루션을 수정할 수 있습을 해결하는 모든 NP 문제 또는 P,문제에 대한 문제로,P 는 문제의 일부 NP 문제입니다. (그러나 모든 NP-hard 문제는 np 문제 클래스의 구성원이 아닙니다.)NP 와 NP-hard 모두 문제는 NP-complete 라고 말합니다., 따라서,찾는 효율적인 알고리즘에 대한 모든 NP-complete 문제를 의미하는 효율적인 알고리즘을 발견될 수 있는 모든 NP 문제 때문에,해결책에 대한 모든 문제에 속하는 이 클래스가 될 수 있습니다 개주 해결책으로 어떠한 다른 회원의 클래스입니다., 1971 년 미국의 컴퓨터 과학자 스티븐 요리는 것을 증명 satisfiability problem(문제가 할당하는 변수에 값을에서는 수식이 부울대수학는 문 true)은 NP-complete,는 첫 번째 문제는 다음과 같이 될 NP-complete 고 열 방법을 보여주는 기타 문제가 있는 클래스의 구성원의 NP-complete 문제입니다. NP-complete 문제의 유명한 예는 운송 일정의 최적화에 광범위한 응용 프로그램을 가지고있는 여행 세일즈맨 문제입니다., 그것은 알려지지 않았는지 다항식 시간 알고리즘을 것입니다 찾을 위한 NP-complete 문제,그리고 여부를 결정하는 이러한 문제는 온순하거나 어려운 중 하나 남아 있는 가장 중요한 질문에는 이론적인 컴퓨터 과학. 이 같은 발음을 증명하는 것 P=NP=NP 완전하고 혁신 많은 분야에서 컴퓨터 과학과 수학.

예를 들어,현대적인 암호화에 의존하는 가정을 고려해 이 제품은 두 개의 큰 소수하지 않은 P., 두 소수의 곱을 확인하는 것은 쉽지만(다항식 시간)두 소수 요인을 계산하는 것은 어렵습니다. 많은 수의 인수 분해를위한 효율적인 알고리즘의 발견은 대부분의 현대 암호화 체계를 깨뜨릴 것입니다.

2000 년에는 미국의 수학자 스티븐 Smale 고안하는 영향력 있는 목록은 18 의 중요한 수학적 문제에 대한 해결하는 21 세기. 그의 목록에있는 세 번째 문제는 P 대 NP 문제였습니다., 또한 2000 년에 지정되었다 천년 문제 중 하나는 일곱의 수학적 문제들에 의해 선택된 점토를 수학연구소의 캠브리지,매사추세츠,미국에 대한 특별한 상을 수상했다. 각 밀레니엄 문제에 대한 해결책은 1 백만 달러의 가치가 있습니다.