o produto dot pode ser definido algebricamente ou geometricamente. A definição geométrica é baseada nas noções de ângulo e distância (magnitude dos vetores). A equivalência dessas duas definições depende de ter um sistema de coordenadas cartesianas para o espaço euclidiano.

em apresentações modernas da geometria euclidiana, os pontos do espaço são definidos em termos de suas coordenadas cartesianas, e o próprio espaço euclidiano é comumente identificado com o espaço de coordenadas real Rn. Em tal apresentação, as noções de comprimento e ângulos são definidos por meio do produto Ponto., O comprimento de um vetor é definido como a raiz quadrada do produto Ponto Do Vetor por si só, e o cosseno do ângulo (não orientado) de dois vetores de comprimento um é definido como seu produto Ponto. Assim, a equivalência das duas definições do produto dot é uma parte da equivalência das formulações clássicas e modernas da geometria euclidiana.,ou {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4 a 6+5\\&=3\end{alinhado}}}

Se os vetores são identificados com a linha de matrizes, o produto escalar também pode ser escrito como um produto de matriz

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

onde b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} denota a transposta de b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

Expressando o exemplo acima desta forma, um 1 × 3 matriz (linha do vetor) é multiplicado por 3 × 1 matriz (vetor coluna) para obter um 1 × 1 matriz que é identificado com a sua única entrada:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {roxo}3} .,

Geométricas definitionEdit

No espaço Euclidiano, um Euclidiana do vetor é um objeto geométrico que possui uma magnitude e uma direção. Um vector pode ser imaginado como uma seta. Sua magnitude é o seu comprimento, e sua direção é a direção para a qual a seta aponta., A magnitude de um vector a é denotada por ‖ a ‖ {\displaystyle \left\ / \ mathbf {a} \right\/} . O produto escalar de dois Euclidiana vetores a e b é definida por

a ⋅ b = ‖ um ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

, onde θ é o ângulo entre a e b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0.,t a outro extremo, se eles são codirectional, então o ângulo entre eles é zero com o cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} e a ⋅ b = ‖ um ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Isto implica que o produto escalar de um vetor a com o si é

a ⋅ a = ‖ a ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

o que dá

‖ um ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

a fórmula para Euclidiana comprimento do vetor.,

Escalar a projeção e a primeira propertiesEdit

O escalar de projeção (ou componente escalar) de um Euclidiana do vetor a na direção de um Euclidiana do vetor b é dada por

a b = ‖ um ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}

, onde θ é o ângulo entre a e b.,

Em termos de definição geométrica do produto escalar, isto pode ser reescrito

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

onde b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} é o vetor unitário na direção de b.

O produto escalar é, portanto, caracterizada geometricamente por

a ⋅ b = a b ‖ b ‖, a = b-b ‖ um ‖ ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}

O produto Ponto, definido desta forma, é homogêneo sob escala em cada variável, o que significa que para qualquer escalar α,

( α a ) ⋅ b = α ( A ⋅ b ) = A a ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ). também satisfaz uma lei distributiva, o que significa que A ⋅ ( b + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}

O produto Ponto é assim equivalente a multiplicar a norma (comprimento) de b pela norma da projeção de A sobre B.

equivalência da definição

Se e1,…, en são os vetores de base padrão em Rn, então podemos escrever

a = = ∑ i a i e i b = = ∑ i b i e I. {\displaystyle {\begin{alinhado}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\end{alinhado}}}

os vectores ei são uma base ortonormal, o que significa que têm um comprimento unitário e estão em ângulos rectos um para o outro. Assim, uma vez que estes vetores têm comprimento de unidade

E I ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {E} _{I}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

e uma vez que formam ângulos retos uns com os outros, se i ≠ j,

e i ≠ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {E} _{I}\cdot \mathbf {E} _{j}=0. assim, em geral, podemos dizer que: e i ⋅ e j = δ i J. {\displaystyle \mathbf {E} _{I} \ cdot \mathbf {E} _{j}=\delta _{ij}. onde δ ij é o delta de Kronecker.,

Também, por definição geométrica, para qualquer vector de intervenção precoce e de um vetor a, nota-se

a ⋅ e i = ‖ um ‖ ‖ e eu ‖ cos ⁡ θ i = ‖ um ‖ cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

, onde ai é o componente de um vetor na direção do ei. O último passo na igualdade pode ser visto pela figura.,

Agora aplicando o distributivity geométricas versão do produto do ponto dá

a ⋅ b = a ⋅ ∑ b i e i = ∑ b i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ i a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

, que é precisamente o algébrica definição de produto escalar. Então o produto de ponto geométrico é igual ao produto de ponto algébrico.