Dot product (Svenska)
dot-produkten kan definieras algebraiskt eller geometriskt. Den geometriska definitionen är baserad på begreppen vinkel och avstånd (vektorns storlek). Likvärdigheten av dessa två definitioner bygger på att ha ett kartesiskt koordinatsystem för euklidiskt utrymme.
i moderna presentationer av euklidisk geometri definieras rymdpunkterna i termer av deras kartesiska koordinater, och euklidiskt utrymme i sig identifieras vanligen med det verkliga koordinatutrymmet Rn. I en sådan presentation definieras begreppen längd och vinklar med hjälp av punktprodukten., Vektorns längd definieras som kvadratroten av vektorns punktprodukt av sig själv, och cosinus för den (icke orienterade) vinkeln för två vektorer av Längd en definieras som deras punktprodukt. Så likvärdigheten av de två definitionerna av dot-produkten är en del av likvärdigheten hos de klassiska och moderna formuleringarna av euklidisk geometri.,or {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}
om vektorer identifieras med radmatriser, kommer pricken att identifieras med en Produkten kan också skrivas som en matrisprodukt
a b = a b t , {\displaystyle \mathbf {\color {red}A} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {t}},}
där b t {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {t}} anger transponeringen av b {\displaystyle \mathbf {\color {blue} b}}.,
som uttrycker ovanstående exempel på detta sätt multipliceras en 1 × 3-matris (radvektor) med en 3 × 1-matris (kolumnvektor) för att få en 1 × 1-matris som identifieras med sin unika post:
= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{Red} bmatrix}} {\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue} -1\end{bmatrix}}=\color {purple} 3}.,
Geometriska definitionEdit
Illustration som visar hur man hittar den vinkel mellan vektorer med hjälp av skalärprodukten
Beräkning bond vinklar av en symmetrisk tetraedrisk geometri med hjälp av en skalärprodukten
I den Euklidiska rymden, en Euklidisk vektor är ett geometriskt objekt som besitter både en storlek och en riktning. En vektor kan avbildas som en pil. Dess storlek är dess längd, och dess riktning är den riktning som pilen pekar på., Storleken på en vektor a betecknas med ett uttalande {\displaystyle \ left| / \ mathbf {a} \right|/} . Skalärprodukten av två Euklidiska vektorer a och b definieras med
a ⋅ b = ‖ en ‖ ‖ b ‖ cos θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}
där θ är vinkeln mellan a och b.
a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.,t den andra ytterligheten, om de är codirectional, då vinkeln mellan dem är noll med cos 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} och a ⋅ b = ‖ en ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}
Detta innebär att skalärprodukten av en vektor med sig själv är
a ⋅ a = ‖ en ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}
ger
‖ en ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {en} \höger\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}
formeln för den Euklidiska längden av vektorn.,
Scalar projektion och första propertiesEdit
Scalar projektion
scalar projektion (eller scalar komponent) av en euklidisk vektor a i riktning mot en euklidisk vektor b ges av
a b = a cos θ , {\displaystyle a_{b}=\left\/\mathbf {a} \right\|\cos \theta,}
där θ är vinkeln mellan A och B.,
I form av geometriska definition av skalärprodukt, detta kan skrivas
b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}
där b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} är den enhet som vektor i riktning b.
Distributiva lagen för skalärprodukten
skalärprodukten är således kännetecknas geometriskt
a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b a ‖ en ‖ ., {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}
punktprodukten, definierad på detta sätt, är homogen under skalning i varje variabel, vilket innebär att för varje skalär α,
( α a) b = α ( a b ) = a ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}
det uppfyller också en distributiv lag, vilket innebär att
a (b + c) = a b + a c ., {\displaystyle \ mathbf {a} \ cdot (\mathbf {b} +\mathbf {C}) =\mathbf {a} \cdot\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \ mathbf {C} .}
dot-produkten motsvarar således att multiplicera normen (längd) för b med normen för projektionen av A över b.
likvärdighet av definitionsEdit
om e1, …, SV är standardgrundsvektorerna i Rn, då kan vi skriva
a = = i A i e i b = = i b i e i . {\displaystyle {\begin{aligned} \ mathbf {a} &= = \ sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _ {i}\ \ mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\ end{aligned}}}
vektorerna ei är en ortonormal grund, vilket innebär att de har enhetslängd och är i rät vinkel mot varandra. Därför eftersom dessa vektorer har enhetslängd
e i e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}
och eftersom de bildar rät vinkel med varandra, om jag j,
E i j e j = 0 . {\displaystyle \mathbf {e} _{jag}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}
således kan vi i allmänhet säga det:
e i e j = δ I J . {\displaystyle \mathbf {e} _{jag}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}
där δ IJ är Kroneckerdeltat.,
Vektor komponenter i en orthonormal basis
Dessutom, genom att de geometriska definition, för varje vektor-ei och en vektor a, vi notera
a ⋅ e jag = ‖ en ‖ ‖ e jag ‖ cos θ i = ‖ en ‖ cos θ i = ett jag , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{jag}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}
där ai är den del av en vektor i riktning av ei. Det sista steget i jämlikheten kan ses från figuren.,
Nu tillämpa distributivitet av geometriska version av skalärprodukten ger
a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ n i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ i i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \summan _{i}b_{jag}\mathbf {e} _{i}=\summan _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\summan _{i}b_{i}a_{i}=\summan _{i}a_{i}b_{i},}
som är just den algebraiska definition av skalärprodukt. Så den geometriska skalärprodukten är lika med den algebraiska skalärprodukten.
