prikk-produktet kan defineres algebraically eller geometrisk. Den geometriske definisjonen er basert på forestillinger om vinkel og avstand (omfanget av vektorer). Den ekvivalensen av disse to definisjonene er avhengig av å ha et Kartesisk koordinatsystem for Euclidean plass.

I moderne presentasjoner av Euclidean geometry, poeng av plass er definert i form av deres Kartesiske koordinater, og Euclidean plassen i seg selv er ofte identifisert med den virkelige koordinere plass Rn. I en slik presentasjon, forestillinger om lengde og vinkler er definert ved hjelp av prikk-produktet., Lengden av en vektor er definert som kvadratroten av prikk-produktet av en vektor av seg selv, og cosinus til (ikke orientert) vinkel på to vektorene av lengde er definert som sine prikk-produktet. Så ekvivalensen av de to definisjonene av prikk-produktet er en del av ekvivalensen av klassisk og moderne formuleringer av Euclidean geometry.,eller {red}1}\ganger {\color {blue}4})+({\color {red}3}\ganger {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\ganger {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{justert}}}

Hvis vektorer er identifisert med rad matriser, prikk-produktet kan også skrives som en matrise produktet

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}},}

hvor b T {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} ^{\mathsf {T}}} betegner transponere av b {\displaystyle \mathbf {\color {blue}b} } .,

å Uttrykke ovenfor eksempel på denne måten, en 1 × 3 matrise (rad vektor) er multiplisert med en 3 × 1-matrise (kolonne vektor) for å få en 1 × 1-matrise som er identifisert med sin unike oppføring:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {lilla}3} .,

Geometriske definitionEdit

I Euclidean plass, en Euclidean vector er en geometrisk objekt som innehar både en styrke og en retning. En vektor kan være avbildet som en pil. Dens styrke er dens lengde og retning er den retningen som pilen peker., Omfanget av en vektor a er merket med ‖ en ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|} . Prikk-produktet av to Euclidean vektorer a og b er definert med

a ⋅ b = ‖ en ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

hvor θ er vinkelen mellom a og b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.,t den andre ytterligheten, hvis de er codirectional, så vinkelen mellom dem er null med cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} og a ⋅ b = ‖ en ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}

Dette innebærer at prikk-produktet av en vektor a med seg selv er

a ⋅ a = ‖ en ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}

som gir

‖ en ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}

formelen for Euclidean lengden av vektoren.,

Skalar projeksjon og første propertiesEdit

skalar projeksjon (eller skalar-komponent) av en Euclidean en vektor i retning av en Euclidean vektor b er gitt ved

a b = ‖ en ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}

hvor θ er vinkelen mellom a og b.,

I form av den geometriske definisjonen av prikk-produktet, kan dette bli omskrevet

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

hvor b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|} er enheten som vektor i retning av b.

The dot produktet er således preget geometrisk av

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b a ‖ en ‖ ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}

Den prikk-produktet, som er definert på denne måten, er homogen under skalering i hver variabel, noe som betyr at for noen skalar α,

( α a ) ⋅ b = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

Det tilfredsstiller også en distributiv lov, noe som betyr at

a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ., {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}

Den prikk-produktet er dermed tilsvarende til å multiplisere norm (lengden) av b av norm for projeksjon av en over b.

Ekvivalensen av definitionsEdit

Hvis e1, … no er standard grunnlag vektorer i Rn, så vi kan skrive

a = = ∑ i i e i b = = ∑ i b i e jeg . {\displaystyle {\begin{justert}\mathbf {a} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,\end{justert}}}

vektorer ei er en orthonormal basis, noe som betyr at de har lengde enhet og er i rett vinkel til hverandre. Derfor ettersom disse vektorene har stykk lengde

e jeg ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

og siden de danner rett vinkel med hverandre, hvis jeg ≠ j,

e jeg ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}

Dermed generelt, kan vi si at:

e jeg ⋅ e j = δ jeg j . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}

Hvor δ ij er Kronecker deltaet.,

Også, av den geometriske definisjonen, for enhver vektor ei og en vektor a, vi merk

et ⋅ e i = ‖ en ‖ ‖ e jeg ‖ cos ⁡ θ i = ‖ en ‖ cos ⁡ θ i = jeg , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

hvor ai er del av en vektor i retning av ei. Det siste trinnet i likestilling kan sees fra figur.,

Nå søker distributivity av geometriske versjon av prikk-produktet gir

a ⋅ b = a ⋅ ∑ i b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ i a i b i , {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

som er nettopp den algebraiske definisjon av prikk-produktet. Så det geometriske prikk-produktet er lik den algebraiske prikk-produktet.