produsul punct poate fi definit algebric sau geometric. Definiția geometrică se bazează pe noțiunile de unghi și distanță (magnitudinea vectorilor). Echivalența acestor două definiții se bazează pe existența unui sistem de coordonate carteziene pentru spațiul Euclidian.în prezentările moderne ale geometriei euclidiene, punctele spațiului sunt definite în termenii coordonatelor lor carteziene, iar spațiul Euclidian în sine este identificat în mod obișnuit cu spațiul real de coordonate Rn. Într-o astfel de prezentare, noțiunile de lungime și unghiuri sunt definite cu ajutorul produsului punct., Lungimea unui vector este definită ca rădăcina pătrată a produsului punct al vectorului în sine, iar cosinusul unghiului (neorientat) a doi vectori de lungime unul este definit ca produsul lor punct. Deci echivalența celor două definiții ale produsului dot face parte din echivalența formulărilor clasice și moderne ale geometriei euclidiene.,sau {red}1}\times {\color {albastru}4})+({\color {red}3}\times {\color {albastru}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {albastru}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aliniat}}}

Dacă vectorii sunt identificate cu rând matrici, produsul scalar poate fi, de asemenea, scris ca o matrice produs

a ⋅ b = a b T , {\displaystyle \mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {albastru}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {albastru}b} ^{\mathsf {T}},}

în cazul în care b T {\displaystyle \mathbf {\color {albastru}b} ^{\mathsf {T}}} reprezintă transpunerea b {\displaystyle \mathbf {\color {albastru}b} } .,

Exprimarea exemplul de mai sus, în acest fel, un 1 × 3 matrice (vector rând) este multiplicat de 3 × 1 matrice (vector coloană) pentru a obține un 1 × 1 matrice care este identificat cu sale unice de intrare:

= 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {albastru}4\\\color {albastru}-2\\\color {albastru}-1\end{bmatrix}}=\color {violet}3} .,

Geometrice definitionEdit

În spațiul Euclidian, un Euclidian vector este un geometrice obiect care posedă atât o magnitudine și direcție. Un vector poate fi reprezentat ca o săgeată. Magnitudinea sa este lungimea sa, iar direcția sa este direcția spre care indică săgeata., Mărimea unui vector a este notată cu ‖ a ‖ {\displaystyle \ left\ / \ mathbf {a} \ right\/} . Produsul scalar a doi Euclidian vectori a și b este definit prin

a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {o} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}

în cazul în care θ este unghiul dintre a și b.

a ⋅ b = 0. {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {b} =0.,t cealaltă extremă, dacă acestea sunt codirectional, atunci unghiul dintre ele este zero cu cos ⁡ 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1} și a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {o} \corect\|\,\left\|\mathbf {b} \corect\|}

Aceasta implică faptul că produsul scalar al unui vector cu sine este

a ⋅ a = ‖ a ‖ 2 , {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {o} =\left\|\mathbf {o} \corect\|^{2},}

care oferă

‖ a ‖ = a ⋅ a , {\displaystyle \stâng\|\mathbf {o} \corect\|={\sqrt {\mathbf {o} \cdot \mathbf {o} }},}

formula pentru Euclidian lungimea vectorului.,

Scalar proiecție și prima propertiesEdit

scalar de proiecție (sau componentă scalară) de un Euclidian vector-o în direcția de o Euclidian vectorul b este dat de

a b = ‖ a ‖ cos ⁡ θ , {\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {o} \corect\|\cos \theta ,}

în cazul în care θ este unghiul dintre a și b.,

În ceea ce privește geometrice definiție produsul scalar, acest lucru poate fi rescris

a b = a ⋅ b ^ , {\displaystyle a_{b}=\mathbf {o} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}

în cazul în care b ^ = b / ‖ b ‖ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\stâng\|\mathbf {b} \corect\|} este vectorul unitate pe direcția lui b.

produsul scalar este astfel caracterizat din punct de vedere geometric prin

a ⋅ b = a b ‖ b ‖ = b ‖ a ‖ ., {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \corect\|=b_{o}\left\|\mathbf {o} \corect\|.}

produsul punct, definit în acest mod, este omogen sub scalare în fiecare variabilă, ceea ce înseamnă că pentru orice scalar α,

( α a ) ⋅ B = α ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( α b ) . {\displaystyle (\alpha \mathbf {o} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {o} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {o} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}

de asemenea, satisface o lege distributivă, ceea ce înseamnă că

a ⋅ ( b + c ) = A ⋅ b + A ⋅ c ., {\displaystyle \mathbf {o} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {o} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {o} \cdot \mathbf {c} .}

produsul punct este astfel echivalent cu înmulțirea normei (lungimii) lui b cu norma proiecției lui a peste b.

echivalența definițiiloredit

dacă e1, …, RO sunt vectorii de bază standard în Rn, atunci putem scrie

a = = ∑ i a i e i b = = ∑ i b i e i . {\displaystyle {\begin{aliniat}\mathbf {o} &==\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &==\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.,vectorii ei sunt o bază ortonormală, ceea ce înseamnă că au o lungime unitară și sunt în unghi drept unul față de celălalt. Prin urmare, deoarece acești vectori au unitate de lungime e i ⋅ e i = 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}

și deoarece ele formează unghiuri drepte cu fiecare alte, dacă i ≠ j,

e i ⋅ e j = 0. {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}

astfel, în general, putem spune că:

e i ⋅ e j = δ i j . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.}

unde δ ij este Delta Kronecker.,

de Asemenea, prin geometrice definiție, pentru orice vector ei și un vector a, vom nota

a ⋅ e i = ‖ a ‖ ‖ e i ‖ cos ⁡ θ i = ‖ a ‖ cos ⁡ θ i = a i , {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {o} \corect\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\corect\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {o} \corect\|\cos \theta _{i}=a_{i},}

în cazul în care ai-ul este componenta de vector-o în direcția ei. Ultimul pas în egalitate poate fi văzut din figură.,

Acum aplicarea distributivity geometrice versiune de produs scalar oferă

a ⋅ b = a ⋅ ∑ m b i e i = ∑ i b i ( a ⋅ e i ) = ∑ i b i a i = ∑ mi a i b i , {\displaystyle \mathbf {o} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {o} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {o} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}

care este tocmai algebrice definiția de produs scalar. Deci, produsul punct geometric este egal cu produsul punct algebric.