před několika videi jsme představili myšlenku délky vektoru. To se rovná délce. A byl to pěkný nápad barvou, protože jsi zvyklý na délku věcí v dvou – nebo tří-dimenzionální prostor, ale to se stává velmi abstraktním, když se do n rozměrů. Pokud to má stokomponenty, alespoň pro mě, je těžké vizualizovat stadimenzion vektor. Ale vlastně jsme definovali pojem délky. A viděli jsme, že je to skutečněkalární hodnota. Je to jen číslo., V tomto videu se chci pokusitdefinovat pojem úhlu mezi vektory. Jak můžete vidět, jsme buildingup této matematiky vektorů od základů, a nemůžeme jen tak říct, oh, já vím, co je to úhel becauseeverything víme o tom, úhlů a i délek, a to se vztahuje k tomu, co si spojujeme s dvou – nebo tří-dimenzionální prostor. Ale celá studie linearalgebry abstrahuje tyto myšlenky do vícerozměrného prostoru. A ještě jsem ani nedefinoval, co to je, ale myslím, že už tomu nápadu rozumíte. Když lidé mluví o jednom nebodva nebo tři rozměry., Takže řekněme, že mám nějaké vektory-řekněme, že mám dva vektory, vektory a A b. jsou nenulové a jsou členy Rn. A ještě nemám představu o úhlu mezi nimi, ale dovolte mi, abych je nakreslil. Nakreslím je, jako bych je mohl nakreslit ve dvou rozměrech. Takže by to byla vectora. Možná je to právě vectorb. A pak tento vektor půjde by vektoru a mínus b. A můžete si ověřit, že právě, jak jsme se naučili sčítat a odčítat vektory. Nebo víte, tohle je na orel. Takže b plus mínus b je samozřejmě vektor a., A to všechno prostě funguje. Abychom nám pomohli definovat tento úhel pohledu, dovolte mi vytvořit další trojúhelník, který bude vypadat podobně jako tento. Ale pamatuj, dělám to jen proto, aby si to naše prostá mysl představovala ve dvou dimenzích. Ale to nemusí být nutně dvourozměrná zvířata. Každý z nich může mít ahundred komponenty. Ale dovolte mi udělat ještě jednu věc. No, mělo by to vypadat podobně. Řekni, že to tak vypadá. A budu definovat trojúhelníky jako délky každého z těchto vektorů., Nezapomeňte, že délky každého z těchto vektorů, je mi jedno, kolik komponent tam jsou, budou to jen vaše čísla. Takže délka této strany přímo tady, to je délka. Délka této strany přímo tady bude délka vektoru aminus vektor b. A délka této strana tady bude délka vektoru b. Nyní první věc, kterou chceme, aby jistý, že můžeme vždy postavit trianglelike. A tak za jakých okolnostínemohli bychom postavit trianglelike to?, No, nebyli bychom schopni vytvořit takový trojúhelník, kdyby tato strana. pokud b, pokud velikost — solet mi to zapsat. Je to trochu subtilní bod, ale chci to vyjasnit. Abych definoval úhel, Chtěl bych být spokojený, že to vždycky zvládnu. A musím se ujistit, že … napíšu důvody, proč jsem to nemohl udělat. Co kdyby velikost vektoru b byla větší, nebo délka vektoru b byla větší než délka vektoru a plus délka vektoru a minus b?, Ve dvou dimenzích bych takový trojúhelník nikdy nevytvořil, protože byste měli tuto délku plus tato délka by byla kratší než tato věc tady. Takže to nikdy nešlo. A mohl bych to udělat se všemi stranami. Co když byla tato délka většínež jedna z těchto dvou stran? Nebo co když ta délka je větší než jedna z těch dvou stran? Nikdy bych takhle nemohl nakreslit dvojrozměrný trojúhelník. Takže to, co udělám, je, že budu používat trojúhelník– nerovnost vektorového trojúhelníku, abych dokázal, že každá z těchto stran je menší nebo rovna součtu ostatních stran., Mohl bych udělat to samé. Vysvětlím vám to. Mohl bych ukázat, že kdyby a, forwhatever důvod, byl větší než ostatní strany plus b, pak bych nebyl schopen vytvořit trojúhelník. A poslední samozřejmě jepokud a mínus b, z nějakého důvodu, byl větší než ostatní dvě strany, jen jsem nechtěla být schopen drawa trojúhelníku v a plus b. Tak musím ukázat, že pro anyvectors, žádné skutečné vektory– nenulová, reálné vektory, které aremembers z Rn–, že žádný z těchto může někdy stát. Musím dokázat, že se nic takového nemůže stát. Co nám tedy říká triangleinekvalita?, Trojúhelníková nerovnost říká, že pokud mám součet dvou vektorů, když vezmu délku součtu dvou vektorů, je to vždy menší než-a to jsou nenulové vektory. To bude vždy menší nebo rovno součtu každého z jejich individuálníchdélky. Takže se podíváme, jestli to můžemaplikovat na tento trojúhelník přímo tady. Takže jaká je velikost, délka a? No, můžu přepsat vektor a. co je vektor a rovno? Vektor a se rovná vektorb plus vektor a minus b. myslím, že jsem jen přepsání vektor zde. Přepisuji tu jako součet ostatních dvou vektorů., Nic nóbl. Nepoužil jsem triangleinekvalitu nebo tak něco. Právě jsem použil svou definici vektorového sčítání. Ale teď, když sem položím málo, teď mohu použít nerovnost trojúhelníku. A já říkám, No, víš co? Bude to tím, že se nerovnost, kterou jsme dokázali, bude rovnat délkám každého z těchto vektorů. Vektor b plus délka vektoru a mínus b. Takže víme, že délka ais méně, než je součet jedna a jedna. Takže se nemusíme bát, že je to náš problém. Víme, že to není pravda., Nyní se podívejme na b. existuje nějaký způsob, jak můžemezapsat b jako součet dvou dalších vektorů? No jistě. Můžu to napsat jako součet aplus, řeknu to takhle. Pokud tento vektor je aminus b, tentýž vektor v opačném směru bude vektor b mínus a. Takže plus vectorb minus. To je stejná věc, jako b. A můžete to vidět tady. Jedničky by se zrušily a ty tam prostě zůstaneš s béčkem. Nyní podle nerovnosti trojúhelníku víme, že je to menší nebo rovnédélka vektoru a plus délka vektoru b mínus a., Teď říkáte, hej, Sal,máte co do činění s b minus. Tohle je délka a minus b. A mohu to pro vás to dokázat na základě naší definice vektoru délek,ale délka b minus a se rovná mínus 1 krát mínus b. A nechám to na vás říci, že vzhled, tyto délky jsou stejné. Protože v podstatě … to bych si mohl nechat, ale myslím, že to můžete vzít na základě pouhého zobrazení toho, že jsou přesně stejní, jen v různých směrech. A musím být opatrný, protože to není jen ve dvou rozměrech., Ale myslím, že máte nápad a nechám to na vás, abyste dokázali, že tyto délky jsou stejné. Takže víme, že b je méněnež délka těchto dvou věcí. Takže se toho nemusíme bát. Konečně, a mínus b. Velikost nebo délka vektoru a mínus b. Dobře můžu napsat, že jako doba … nebo můžu napsat, že jako vektor plusvector mínus b. Pokud budeme jen dát mínus b půjde a jít v jiných směrech, mohli bychom říci, minusb, které by v tomto směru plus by giveus naše vektoru a mínus b. Vlastně, nemám evenhave jít tam., To je z toho zřejmé. Jen jsem dal negativnív závorkách. No trojúhelníková nerovnost,a to se může zdát trochu všední, ale to reallyshows nás, že vždy můžeme definovat pravidelné rovinné trianglebased na těchto vektorů tímto způsobem. To nám říká, že to je méně než nebo rovno délce vektoru plus délka minus b. A jen jsem řekl, a vy couldprove to pro sebe, že tohle je totéž jako délka b. Tak právě jsme viděli, tohle je určitě menší než tyto dva. To je rozhodně méněne tyto dva. A to rozhodně ne., Žádný z důvodů, které by nám zabránily vytvořit trojúhelník, není platný. Takže můžeme vždy postavit atriangle tímto způsobem z libovolných nonzerovectors v Rn. Vždycky to můžeme postavit. Nyní, abychom definovali úhel, pojďme to překreslit sem dolů. Překreslím vektory, možná trochu větší. To je vektor a. toto je vektor b. a pak mi dovolte, abych to nakreslil tímto způsobem. Tady je vektor. To je vektor a minus b., A řekli jsme si, že vytvoříme odpovídající pravidelný,běh mlýna, vanilkový trojúhelník, jehož délky jsou definovány délkami vektorů, vektorovými délkami. Takže tohle je délka b, ta strana. Toto je délka mínus b. a pak toto je délka a. nyní, když vím, že mohu vždy vytvořit takový trojúhelník, mohu se pokusit definovat-nebo vlastně definuji svou definici úhlmezi dvěma vektory. Takže víme, co anglemeans v této souvislosti. To je jen pravidelný, běhmill, geometrický trojúhelník., Teď, moje definice úhlu mezi dvěma vektory, které řeknu… takže tohle se snažím definovat. To je to, co budu definovat. Ty mohou mít libovolný počet komponentů, takže je těžké je vizualizovat. Ale budu definovat tento úhel jako odpovídající úhel v pravidelném, běh themill trojúhelník, kde strany tuctovou triangleare dva vektory a pak na opačné straně je odčítání, je délka rozdíl mezi dvěma vektory. To je jen definice., Definuji toto, úhlmezi dvěma vektory v Rn, které by mohly mít libovolný počet komponent, definuji tento úhel jako stejný úhel, úhel mezi oběma stranami, dvě délky těchto vektorů v pravidelném běhu themill trojúhelníku. Co s tím můžu dělat? Můžeme najít vztah mezi těmito věcmi? No jistě. Pokud si vzpomenete ze své trigonometrické třídy, a pokud ne, dokázal jsem to v playlistu. Máte zákon kosinů. A udělám to svévolně právě tady, jen proto, že tě nechci zmást., Takže pokud je tohle strana a, b, a cand to je, theta‘, kosinová věta nám říká, že c na druhou se rovná a na druhou plus b na druhou mínus 2abcosine theta. Vždy to považuji za druh širší Pythagorovy věty, protože to nemusí být pravý úhel. To odpovídá za všechny úhly. Pokud se to stane pravým úhlem, pak tento termín zmizí a vy jste právě odešel s thepythagorean věta. Ale dokázali jsme to. To platí jen pro pravidelné, běh mlýnských trojúhelníků. A máme štěstí, že tu máme mlýn., Takže použijme zákon cosines na tento trojúhelník přímo tady. A jak jsem to nakreslil,odpovídají. Délka tohoto snímku na druhou. To znamená délku minus b na druhou. Délka vektoru a mínus vektorb, to je jen délka této strany. Takže tu stranu jen srovnávám. Rovná se délka vektorb na druhou plus délka vektoru a na druhou mínus 2 krát délka — napíšu dvakrát délku vektoru krát délku vektoru B krát kosinus tohoto úhlu. Krát kosinus tohoto úhlu., A definuji tento úhel mezi těmito dvěma vektory tak, aby byl stejný jako tento. Takže pokud známe tento úhel, podle definice, víme, že úhel přímo tam. No, víme, že čtverecz našich délek vektoru, když používáme náš faktordefinice délky, že je to stejná věc jakovektor posetý sám sebou. Takže to je minusbová tečka a mínus b. všechno se bude rovnat celé té věci na pravé straně. Ale dovolte mi zjednodušit levou stranu této rovnice. a mínus B tečka a mínus b, to je totéž jako tečka a — tyto dva pojmy — mínus tečka b., A pak mám minus B tečku a. tyto dva pojmy tady. A pak máte theminus b dot mínus b. Je to totéž jako a plus b dot b. Pamatujte si, že je to jen asimplification levé straně. A můžu to přepsat. tečka a, víme, že je to jendélka na druhou. tečka b A B tečka a jsou to samé, takže máme dvě z nich. Takže tohle tady, tento termín přímo se zjednoduší na mínus 2 krát tečka b. a nakonec, B tečka b. víme, že to je jen délka B na druhou. Zjednodušil jsem to, nebo jsem se možná jen rozšířil … to je lepší slovo., Když jdete z jednoho semestru na tři termíny, nemůžete říct, že jste to zjednodušili. Ale rozšířil jsem se jen na druhou stranu, a tak se to musí podle zákona kosinů rovnat pravici. Takže to je rovno — skoro se cítím jako místo přepisování, dovolte mi to zkopírovat a vložit. Co jsem právě udělal? Kopírovat, upravovat. Kopírování a vkládání. Tady máš. Nevím, že to stálo za to. Ale možná jsem trochu ušetřil čas. Takže to se rovná tomu, co je tady. A pak můžeme zjednodušit. Máme tu délku čtverečkovanou, délku čtvercovou. Odečtěte ji z obou stran., Délka b na druhou zde, délka B na druhou tam. Odečtěte ji z obou stran. A pak, co můžeme dělat? Obě strany můžeme dělitminus 2, protože všechno ostatní zmizelo. A to tak, že termín, a to termwill jak se stal 1. A všechno, co nám zbývá, je thevector tečka vektor b. A to je zajímavé důvoduvšechny najednou dostáváme tedy vztah mezi, dot produkty, dvou vektorů. Tak nějak jsme se od jejich definice odklonili podle délky. Ale bodový produkt dvouvektorů se rovná součinu jejich délek, jejich vektorových délek., A mohou mít libovolnépočet komponent. Krát kosinus spleti mezi nimi. Pamatujte si, že tato theta, řekl jsemto je stejné, jako když kreslíte tento druh analogického, pravidelného trojúhelníku. Ale já definuji úhel mezi nimi, aby byly stejné jako to. Takže mohu říci, že toto je úhel mezi nimi. A samozřejmě, myšlenkamezi dvěma vektory, je těžké si představit, jestli jdete nad rámec tří dimenzí. Ale teď to máme alespoň matematicky definované., Takže pokud mi teď dáte dva vektory, pomocí tohoto vzorce, který jsme prokázali pomocí této definice, můžeme nyní vypočítat úhel mezi dvěma vektory pomocí tohoto přímo zde. A jen aby bylo jasné, co se stane, pokud je-a možná to není jasné z thatdefinition, takže budu dělat to jasnější, že zde podle definice,pokud a je rovno nějaký skalární násobek b wherec je větší než 0, budeme definovat thetato být rovna 0. A pokud je c menší než 0, tak iscollinear, ale jde přesně opačným směrem, budeme definovat thetu tak, aby se rovnala 180 stupňům., A to je v souladu s tím, co chápeme o dvourozměrných vektorech. Pokud jsou kolineární a skalární násobky stejné. To znamená, že vypadá něco podobného, že A b vypadá něco takového. Takže říkáme oh, to je úhel 0. A pokud jdou opačným směrem,pokud to vypadá něco jako– to je případ, kdy je bude v opačném směru, z b. to jde takhle a b jde tak, definujeme úhel mezi nimi, aby be180 stupňů. Ale všechno ostatní je hezkédobře definované příkladem trojúhelníku., Musel jsem udělat zvláštní případ z nich, protože není jasné, že opravdu dostanete trianglev těchto případech, protože trianglekind zmizí. To zplošťuje, pokud a A b areon na sebe nebo pokud jdou v přesném směru. Proto jsem chtěl udělat trochu vedlejší poznámku. Nyní pomocí této definice úhlu mezi vektory můžeme nyní definovat ideu kolmých vektorů., Takže nyní můžeme říci kolmice-to je jiná definice – a to nebude rozbití země, ale je to tak trochu proto, že jsme to zobecnili na vektory, které mají anarbitrační počet složek. Definujeme kolmo na theta mezi — dva vektory a A b areperpendikulární, pokud je úhel mezi nimi 90 stupňů. A to můžeme definovat. Můžeme vzít dva vektory, bodovat je. Vezměte si jejich bodový produkt. Zjistěte jejich dvě délky apak byste mohli zjistit úhel mezi nimi. A pokud je to 90 stupňů. můžete říci, že jsouperpendikulární úhly., A já chci být velmi jasné, že to ve skutečnosti není definováno pro 0 vectorright zde. Takže tato situace není definována pro vektor 0. Protože pokud máte 0vektor, pak toto množství bude 0 a toto množství bude 0. A neexistuje žádná jasná definicepro váš úhel. Pokud je to 0 tady, youdid 0 se rovná 0 krát kosinus theta. A pokud byste chtěli vyřešit thetu, dostanete kosinus theta se rovná 0/0, což je nedefinované. Ale co můžeme udělat, je vytvořit jakomírně obecnější slovo než slovo kolmé., Takže musíte mít definovanéúhel dokonce mluvit o kolmici. Pokud je úhel mezi dvěma vektoryje 90 stupňů, říkáme podle definice, tyto dva vektory jsou kolmé. Ale co když jsme to udělali a můžeme … když se na ně podíváte, pokud je úhel mezi dvěma vektory 90 stupňů, co to znamená? Takže řekněme, žeje 90 stupňů. Nakreslím tu čáru. Řekněme, žeje 90 stupňů. Theta se rovná 90 stupňům. Co nám to formulatell? Říká nám, že tečka b je rovná délce a krát délce B krát cosineof 90 stupňů., Co je kosinus 90 stupňů? Je 0. Můžete zkontrolovat obvod jednotky, pokud to nedává velký smysl. Ale to se rovná 0, takže tohlecelý termín se bude rovnat 0. Takže pokud se theta rovná 90 stupňům, pak tečka b se rovná 0. A tak je to dalšízajímavé jídlo. Pokud jsou A A b kolmé, pak se jejich bodový produkt bude rovnat 0. Nyní, pokud je jejich bodový produkt rovný 0, můžeme nutně říci, že jsouperpendikulární? Co když a nebo bis 0 vektor? Vektor 0-volám z pro vektor 0. Nebo bych mohl jen kreslit., 0 vektorová tečka cokoliv jevždy se bude rovnat 0. Znamená to tedy, že 0vektor je kolmý na všechno? No ne. Protože vektor 0, který jsem řekl, Musíme mít představu o úhlu mezi věcmi, abychom použili slovo kolmo. Takže nemůžeme použít vektor 0. Nemůžeme říci, jen proto, že twovectors dot produkty jsou rovny 0, že jsouperpendicular. A to proto, že vektor 0 by to pokazil, protože 0 vectoris není definován., Ale pokud říkáme a máme beensaying, že a a b jsou nenulová, pokud jsou nonzerovectors, pak můžeme říci, že pokud a a b jsou nenulová a theirdot produktu je rovna 0, pak a a b areperpendicular. Takže teď to jde oběma směry. Ale co když to máme právě tady? Co když máme jen podmínku, že tečka b se rovná 0? Vypadá to, že je to jen jednoduchý, čistý stav. A za to můžeme psát. A tato slova jsou často používánasynonymously, ale doufejme, že pochopíte thedistinction nyní., Můžeme říci, že pokud dva vektorydot produkt se rovná 0, budeme je nazývat ortogonální. Jak vždycky říkám, hláskování není moje nejlepší téma. Ale to je docela dobrý nápad. To nám říká, že všechny kolmé vektory jsou ortogonální. A také nám říká, že vektor 0 je ortogonální vůči všemu ostatnímu. Na všechno, dokonce i na sebe. 0 tečka 0 vectoryou stále dostanete 0. Takže podle definice je ortogonální., Takže poprvé probablyin své matematické kariéry, vidíte že, slova … víš, pokaždé, když jste se poprvé dostal vystaveny wordsperpendicular a ortogonální v geometrii, nebo možná v physicsor kdekoliv jinde, byly vždy tak trochu ze stejného slova. Ale teď tu představuji pěkný, malý rozdíl a Vy můžete být trochu chytří aleck s učiteli. Oh, víte, je to kolmo, vektory nejsou-Pokud ani jeden z nich nemá vektor 0. V opačném případě, pokud jejich Dot produktje 0, můžete jen říci, že jsou ortogonální., Ale pokud jsou nenulové, můžete říct, že jsou ortogonální a kolmé. Ale stejně, myslel jsem, že bych vám představil tento malý rozdíl v případě, že máte někoho, kdo vás rád zakopne slovy. Ale také si myslím, že zdůrazňujeme, že budujeme matematiku od základů a musíme si dávat pozor na slova, která používáme. A musíme být velmi přesnío našich definicích., Protože pokud nemáme přesné definice a budujeme spoustu matematiků a děláme spoustu důkazů, jednoho dne si poškrábáme hlavy a přečteme si nějaký druh nejasnosti. A mohlo to vyjít z toho, že jsme nebyli dostatečně přesní v definování toho, co tyto pojmy znamenají. No, tak jako tak, doufejme, že youfound to užitečné. Nyní můžeme vzít úhel nebo můžeme nyní určit úhel mezi vektory s anarbitrary počet komponent.