Vor ein paar Videos haben wir die Idee der Länge eines Vektors eingeführt. Das entspricht der Länge. Und das war eine nette Idee, weilWir sind an die Länge der Dinge im zweidimensionalen Raum gewöhnt, aber es wird sehr abstrakt, wenn wir zu n Dimensionen kommen. Wenn dies zumindest für mich Hundertkomponenten hat, ist es schwierig, einen hundertdimensionalen Vektor zu visualisieren. Aber wir haben eigentlich den Begriff der Länge definiert. Und wir haben gesehen, dass dies tatsächlich istein skalarer Wert. Es ist nur eine Zahl., In diesem Video möchte ich versuchenum den Begriff eines Winkels zwischen Vektoren zu definieren. Wie Sie sehen können, bauen wir diese Mathematik der Vektoren von Grund auf auf auf, und wir können nicht einfach sagen, oh, ich weiß, was ein Winkel ist, weil alles, was wir über Winkel und sogar Längen wissen, nur für das gilt, was wir mit zwei – oder dreidimensionalem Raum assoziieren. Aber das ganze Studium der Linearalgebra abstrahiert diese Ideen in den mehrdimensionalen Raum. Und ich habe noch nicht einmal definiert, was Dimension ist, aber ich denke, Sie verstehen diese Idee bereits in gewissem Maße. Wenn Leute über eine oder zwei oder drei Dimensionen sprechen., Nehmen wir also an, ich habe somevector – sagen wir, ich habe zwei Vektoren, Vektoren a und b. Sie sind ungleich Null und erinnern sich an Rn. Und ich habe noch keine Vorstellung vom Winkel zwischen ihnen, aber lassen Sie mich sie einfach herausziehen. Lassen Sie mich sie einfach zeichnen, als ob ich sie in zwei Dimensionen zeichnen könnte. Das wäre also Vectora genau dort. Vielleicht ist das Vectorb genau dort. Und dann dieser Vektor rightthere wäre der Vektor a minus b. Und Sie können überprüfen, ob wir gerade gelernt haben, Vektoren zu addieren und zu subtrahieren. Oder Sie wissen schon, das führt zu Schwänzen. Also ist b plus a minus b natürlich Vektor a., Und das alles funktioniert einfach da draußen. Um uns zu helfen, diesen Begriff von Winkel zu definieren, lassen Sie mich ein anderes Dreieck konstruieren, das diesem sehr ähnlich aussehen wird. Aber denken Sie daran, ich mache das nur für unsere einfachen Köpfe, um es sich in zwei Dimensionen vorzustellen. Aber das sind nicht unbedingt zweidimensionale Tiere. Diese könnten jeweils eine Komponente haben. Aber lassen Sie mich noch einen drauflegen. Nun, es sollte ähnlich aussehen. Sag, es sieht so aus. Und ich werde thesides der Dreiecke definieren, um die Längen von eachof diese Vektoren zu sein., Denken Sie daran, die Längen jedes dieser Vektoren, es ist mir egal, wie viele Komponenten es gibt, sie werden nur Ihre Zahlen sein. Die Länge dieser Seite nach rechts wird also nur die Länge von a sein. Die Länge dieser Seite nach rechts wird nur die Länge des Vektors aminus Vektor b sein. Und die Länge dieses Seitenlichts wird hier die Länge des Vektors b sein. Jetzt wollen wir als erstes sichergehen, dass wir immer einen Trianglelike konstruieren können. Und unter welchen Umständen könnten wir nicht einen Dreiklang wie diesen konstruieren?, Nun, wir wären nicht in der Lage, ein Dreieck wie dieses zu konstruieren, wenn diese Seite. wenn b, wenn die Größe– solet mich das aufschreiben. Es ist eine Art Subtilität, aber ich möchte das sehr deutlich machen. Um einen Winkel zu definieren, Ich möchte bequem sein, dass ich immer diese Konstruktion machen kann. Und ich muss dafür sorgen, dass–lassen Sie mich Gründe schreiben, warum ich diese Konstruktion nicht machen konnte. Was wäre, wenn die Größe vonb größer als oder die Länge von Vektor b größer wäre als die Länge von Vektor a plus die Länge vonvektor a minus b?, In zwei Dimensionen könnte ich dann nie ein solches Dreieck zeichnen, weil du diese Länge plus diese Länge kürzer hättest als dieses Ding hier. Sie konnten es also nie zerstören. Und ich könnte mit allen Seiten auskommen. Was wäre, wenn diese Länge größer wäre als eine dieser beiden Seiten? Oder was, wenn diese Länge größer war als eine dieser beiden Seiten? Ich könnte einfach nie ein zweidimensionales Dreieck so zeichnen. Was ich also tun werde, ist, dass ich das Dreieck benutze – die Vektor-Dreieck-Ungleichung, um zu beweisen, dass jede dieser Seiten kleiner oder gleich istdie Summe der anderen Seiten., Ich könnte dasselbe tun. Lassen Sie mich den Punkt klarstellen. Ich könnte zeigen, dass, wenn a, aus welchem Grund auch immer, größer als die anderen Seiten plus b wäre, ich kein Dreieck erstellen könnte. Und das letzte ist natürlich, wenn a minus b aus irgendeinem Grund größer als die beiden anderen Seiten wäre, wäre ich einfach nicht in der Lage, ein Dreieck in a plus b zu zeichnen. Also muss ich zeigen, dass für anyvectors, alle realen Vektoren-ungleich Null, echte Vektoren, die sich an Rn erinnern-dass nichts davon jemals passieren kann. Ich muss beweisen, dass so etwas nicht passieren kann. Was sagt uns die Triangleinequalität?, Die Dreiecksungleichheit sagt mir, dass, wenn ich die Summe von zwei Vektoren habe, wenn ich die Länge der Summe von zwei Vektoren nehme, dass das immer kleiner ist als-und das sind Vektoren ungleich Null. Dies wird immer weniger oder gleich der Summe ihrer einzelnen Längen sein. Also mal sehen, ob wir das hier auf dieses Dreieck anwenden können. Also, was ist die Größe,die Länge eines? Nun, ich kann Vektor a umschreiben. Worauf ist Vektor a gleich? Vektor a ist gleich vectorb plus Vektor a minus b. Ich meine, ich schreibe hier nur den Vektor neu. Ich schreibe hier nur einen asum der beiden anderen Vektoren um., Nichts Besonderes dort. Ich habe die Triangleinequality oder so nicht benutzt. Ich habe gerade meine definitionof Vektoraddition verwendet. Aber hier jetzt, wenn ich hier kleine Klammern setze, kann ich jetzt die Dreiecksungleichheit anwenden. Und ich sage, nun, weißt du was? Dies wird durch die Triangle-Ungleichung sein, die wir bewiesen haben, dass sie größer oder gleich der Länge jedes dieser Vektoren sein wird. Vektor b plus die Längenvon Vektor a minus b. Wir wissen also, dass die Länge von ais kleiner ist als die Summe von diesem und jenem. Wir müssen uns also keine Sorgen machen, dass das unser Problem ist. Wir wissen, dass das nicht stimmt., Schauen wir uns nun b an. Gibt es eine Möglichkeit, b als Summe von zwei anderen Vektoren zu schreiben? Nun sicher. Ich kann es als eine Summe von aplus schreiben, lassen Sie es mich so sagen. Wenn dieser Vektor genau dort aminus b ist, wird derselbe Vektor in umgekehrter Richtung der Vektor b minus a. Also a plus der Vektorb minus a. Das ist das gleiche wie b. Und Sie können es hier sehen. Die a ‚ s würden abbrechen und du bist nur mit dem b dort links. Durch die Dreiecksungleichheit wissen wir nun, dass dies kleiner oder gleich istLänge des Vektors a plus die Länge des Vektors b minus a., Jetzt sagst du hey, Sal, du hast es mit b minus a zu tun. Dies ist die Länge von a minus b. Und ich kann dies für dich belassen, um es basierend auf unserer Definition von Vektorlängen zu beweisen,aber die Länge von b minus a ist gleich minus 1 Mala minus b. Und ich überlasse es dirzu sagen, dass diese Längen gleich sind. Denn im Wesentlichen — ich könnte das lassen, aber ich denke, Sie können das nur auf der Grundlage dervisuellen Darstellung von ihnen nehmen, dass sie genau samevectors sind, nur in verschiedene Richtungen. Und ich muss vorsichtig sein mitLänge, weil es nicht nur in zwei Dimensionen ist., Aber ich denke, du kommst auf die Idee und ich überlasse dir das, um zu beweisen, dass diese Längen dasselbe sind. Wir wissen also, dass b weniger als die Länge dieser beiden Dinge ist. Wir müssen uns also keine Gedanken darüber machen. Schließlich a minus b. Die Größe oder die Länge des Vektors a minus b. Nun, ich kann das als thelength of schreiben – oder ich kann das als Vektor a plusvector minus b schreiben. Wenn wir einfach ein minus b nach rechts setzen und in die anderen Richtungen gehen, könnten wir sagen minusb, was in dieser Richtung plus a wäre, würde unserem Vektor a minus b geben. Eigentlich muss ich nicht einmal dorthin gehen., Das ist offensichtlich daraus. Ich habe nur irgendwie das Negative in die Klammern gesetzt. Nun, die Dreiecksungleichheit, und das mag Ihnen ein wenig banal erscheinen, aber es zeigt uns wirklich, dass wir auf diese Weise immer einen regulären planaren Dreiklang definieren können, der auf diesen Vektoren basiert. Es sagt uns, dass dies weniger als oder gleich der Länge unseres Vektors a plus der Länge von minus b. Und ich habe gerade gesagt, und Sie könnten es sich selbst beweisen, dass dies dasselbe ist wie die Länge von b. Also haben wir gerade gesehen, dass dies definitiv weniger ist als diese beiden. Das ist definitiv weniger als die beiden. Und das ist definitiv besser als die beiden., Keiner der Gründe, die uns davon abhalten würden, ein Dreieck zu konstruieren, ist gültig. So können wir Atriangle immer auf diese Weise aus beliebigen nonzerovectors in Rn konstruieren. Wir können das immer konstruieren. Um einen Winkel zu definieren, zeichnen wir ihn hier unten neu. Lassen Sie mich die Vektoren neu zeichnen, maybea etwas größer. Das ist Vektor a. Das ist Vektor b. Und dann lass es mich einfach so zeichnen. Dies ist der Vectorright dort. Das ist der Vektor a minus b., Und wir sagten, wir werden einen entsprechenden regulären Lauf der Mühle definieren, ein Dreieck, dessen Längen durch die Längen der Vektoren, durch die Vektorlängen definiert sind. Das ist also die lengthof b, diese Seite. Dies ist die Länge von a minus b. Und dann ist dies die Länge von a. Jetzt, da ich weiß, dass ich immer ein Dreieck wie dieses konstruieren kann, kann ich versuchen zu definieren-oder tatsächlich werde ich meine Definition eines Winkels definierenzwischen zwei Vektoren. Wir wissen also, was ein Angler in diesem Zusammenhang ist. Dies ist nur ein regelmäßiges, laufendes, geometrisches Dreieck., Nun, meine Definition eines Anglebetween zwei Vektoren werde ich sagen – also versuche ich das zu definieren. Das werde ich definieren. Diese können beliebig viele Komponenten haben, daher ist es schwer zu visualisieren. Aber ich werde diesen Winkel als den entsprechenden Winkel in einem regulären Lauf des Dreiecks definieren, wobei die Seiten des Laufs des Dreiecks die beiden Vektoren sind und dann die gegenüberliegende Seite istdie Subtraktion, ist die Länge der Differenz betweenthe zwei Vektoren. Dies ist nur die Definition., Ich definiere dies, den Winkel zwischen zwei Vektoren in Rn, der eine beliebige Anzahl von Komponenten haben könnte, ich definiere diesen Winkel als den gleichen Asthiswinkel, den Winkel zwischen den beiden Seiten, die beiden Längen dieser Vektoren in nur einem regulären Lauf von themill Dreieck. Nun, was kann ich damit machen? Nun, können wir hier eine Beziehung zwischen all diesen Dingen finden? Nun sicher. Wenn Sie sich an Ihre Strigonometrie-Klasse erinnern und wenn nicht, habe ich es in der Wiedergabeliste bewiesen. Sie haben das Gesetz der Kosinus. Und ich mache das mit einem willkürlichen Trick, nur weil ich dich nicht verwirren will., Wenn dies also Seite a, b und cund dies ist Theta, sagt uns das Gesetz der Kosinus, dass c quadritist gleich einem Quadrat plus b Quadrat minus 2abkosin von Theta. Ich betrachte es immer als eine Art eines breiteren Satzes von Pythagoras, weil dies kein richtiger Winkel sein muss. Es macht alle Winkel aus. Wenn dies ein rechter Winkel wird, verschwindet dieser Begriff und Sie bleiben nur mit dempythagorischen Satz. Aber wir haben das bewiesen. Dies gilt nur für regelmäßige, Lauf der Mühle Dreiecke. Und zum Glück haben wir hier einen Mühlendreiecklauf., Wenden wir also das Gesetz der Kosinus auf dieses Dreieck hier an. Und so wie ich es gezeichnet habe, entsprechen sie. Die Länge dieses Quadrats. Das bedeutet also die Länge von a minus b im Quadrat. Länge des Vektors a minus Vectorb, das ist nur die Länge dieser Seite. Also bin ich nur auf dieser Seite. Es entspricht der Länge des Vektors im Quadrat plus der Länge des Vektors a im Quadrat minus 2 Maldie Länge von– Ich schreibe einfach zwei Mal die Länge des Vektors mal die Länge des Vektors b mal den Kosinus dieses Winkels hier. Mal der Kosinus dieses Winkels., Und ich definiere diesen anglebetween diesen beiden Vektoren so, dass er genau dort mit thisangle identisch ist. Also, wenn wir diesen Winkel kennen, bydefinition, wir kennen diesen Winkel genau dort. Nun, wir wissen, dass das Quadratvon unseren Längen eines Vektors, wenn wir unsere Faktordefinition der Länge verwenden, dass dies genau das Gleiche ist wie ein Vektor, der mit sich selbst punktiert ist. Das ist also ein minusb Punkt a minus b. Es wird alles gleich seinsein ganzes Zeug auf der rechten Seite. Aber lassen Sie mich die linke Seite dieser Gleichung vereinfachen. a minus b Punkt a minus b, das istdas Gleiche wie ein Punkt a – diese beiden Begriffe-minus ein Punkt b., Und dann habe ich minus b Punkt a. Diese beiden Begriffe genau dort. Und dann haben Sie sie: b Punkt minus b. Das ist das gleiche thingas a plus b Punkt b. Denken Sie daran, dies ist nur asimplification der linken Seite. Und ich kann das umschreiben. ein Punkt a, wir wissen, das ist nurdie Länge eines Quadrats. a Punkt b und b Punkt a sinddie gleiche Sache, also haben wir zwei davon. Also genau hier, dieser Begriff von dort wird auf minus 2 mal ein Punkt b. Und dann schließlich, b Punkt b. Wir wissen, dass das nur die Länge von b im Quadrat ist. Ich habe einfach vereinfacht oder vielleicht Ijust erweitert – das ist ein besseres Wort., Wenn Sie von einem Begriff zu drei Begriffen wechseln, können Sie nicht sagen, dass Sie es vereinfacht haben. Aber ich habe nur die linke Seite erweitert und so muss dies nach dem Gesetz der Kosinus gleich der rechten sein. Das ist also gleich – ich fühle mich fast wie anstatt es neu zu schreiben, lass es mich einfach kopieren und einfügen. Was habe ich gerade getan? Kopieren, bearbeiten. Kopieren und einfügen. Da gehst du hin. Ich weiß nicht, dass es sich gelohnt hat. Aber vielleicht habe ich ein bisschen Zeit gespart. Das ist also genau das Richtige. Und dann können wir vereinfachen. Wir haben hier eine Länge von asquared, Länge eines Quadrats dort. Subtrahiere es von beiden Seiten., Die Länge von b im Quadrat hier, Länge von b im Quadrat dort. Subtrahiere es von beiden Seiten. Und was können wir dann tun? Wir können beide Seiten durch zwei Teile teilen, weil alles andere verschwunden ist. Und so werden dieser Begriff und dieser Term beide zu Einsen. Und alles, was uns bleibt, ist der Vektor a Punkt der Vektor b. Und das ist interessant, weil wir plötzlich eine Beziehung zwischen den Punktprodukten zweier Vektoren bekommen. Wir sind irgendwie von ihrer Definition durch Längen weggegangen. Aber das Punktprodukt von zweivektoren ist gleich dem Produkt ihrer Längen, ihrer Vektorlängen., Und sie können beliebig seinAnzahl der Komponenten. Mal der Kosinus des Satzes zwischen ihnen. Denken Sie daran, dieses Theta,sagte ichdas ist das gleiche wie wenn Sie diese Art von analogem, regelmäßigem Dreieck zeichnen. Aber ich definiere den Anglebetween so, dass er derselbe ist. So kann ich sagen, dass dies istder Winkel zwischen ihnen. Und offensichtlich ist die Idee vonzwischen zwei Vektoren ist es schwer zu visualisieren, wenn Sie über drei Dimensionen hinausgehen. Aber jetzt haben wir es zumindest mathematisch definiert., Wenn Sie mir also jetzt zwei Vektoren geben, können wir mit dieser Formel, die wir mit dieser Definition hier oben bewiesen haben, jetzt den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren berechnen, indem wir dies hier verwenden. Und nur um es klar zu machen, was passiert, wenn a a ist-und vielleicht ist es aus dieser Definition nicht klar, also werde ich hier klarer machen, dass per Definition,wenn a gleich einem skalaren Vielfachen von b ist, wo a größer als 0 ist, wir definieren thetato gleich 0. Und wenn c kleiner als 0 ist, also a istkollinear, geht aber genau in die entgegengesetzte Richtung, wir werden Theta so definieren, dass es gleich 180 Grad ist., Und das stimmt mit dem überein, was wir über nur zweidimensionale Vektoren verstehen. Wenn sie kollinear und unabhängig vom Skalar vielfach gleich sind. Das bedeutet, a sieht so etwas aus und b sieht so etwas aus. Also sagen wir oh, das ist ein 0 Winkel. Und wenn sie in die andere Richtung gehen, wenn a ungefähr so aussieht – dies ist der Fall, wo a gerade in die andere Richtung von b. a geht so und b geht so, definieren wir den Winkel zwischen ihnen zu be180 Grad. Aber alles andere ist durch das Dreiecksbeispiel ziemlich gut definiert., Ich musste den Sonderfall von diesen machen, weil es nicht klar ist, dass Sie wirklich einen Trianglein diesen Fällen bekommen, weil das Trianglekind verschwindet. Es wird abgeflacht, wenn a und b übereinander liegen oder wenn sie in die Exactopposite-Richtung gehen. Deshalb wollte ich genau dort eine kleine Randnotiz machen. Mit dieser Definition des Winkels zwischen den Vektoren können wir nun die Idee der senkrechten Vektoren definieren., Wir können jetzt also sagen, dass perpendicularvectors – dies ist eine andere Definition – unddas wird nicht die Erde erschüttern, aber es ist eine Art, weil wir dies auf Vektoren verallgemeinert haben, die eine unendliche Anzahl von Komponenten haben. Wir definieren perpendicularto den Theta zwischen — zwei Vektoren a und b sindperpendikulär, wenn der Winkel zwischen ihnen 90 Grad beträgt. Und das können wir definieren. Wir können zwei Vektoren nehmen, sie punktieren. Nehmen Sie ihr eigenes Produkt. Finde ihre beiden Längen heraus unddann könntest du den Winkel zwischen ihnen herausfinden. Und wenn es 90 Grad ist. sie können sagen, dass sie sindperpendikuläre Winkel., Und ich möchte hier sehr klar sein, dass dies hier eigentlich nicht für das 0 vectorright definiert ist. Diese Situation hier ist also nicht für den 0-Vektor definiert. Denn wenn Sie den 0vector haben, dann wird diese Menge hier 0 unddann wird diese Menge hier 0 sein. Und es gibt keine klare Definitionfür Ihren Winkel. Wenn dies hier 0 ist, ist youdid 0 gleich dem 0-fachen Kosinus von Theta. Und wenn Sie also für Theta lösen wollten, würden Sie den Kosinus von Theta gleich 0/0 bekommen, was undefiniert ist. Aber was wir tun können, ist ein viel allgemeineres Wort als das Wort senkrecht zu erstellen., Sie müssen also ein definiertes Habenwinkel, um überhaupt darüber zu sprechen. Wenn der Winkel zwischen zwei Vektorenist 90 Grad, sagen wir per Definition, diese Zweivektoren sind senkrecht. Aber was ist, wenn wir die Entscheidung getroffen haben und wir können-wenn Sie sie betrachten, wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren 90 Grad beträgt, was bedeutet das? Also sagen wir, dass thetais 90 Grad. Lassen Sie mich hier eine Linie ziehen. Nehmen wir an, die Temperatur liegt bei 90 Grad. Theta ist gleich 90 Grad. Was sagt uns diese Formel? Es sagt uns, dass ein Punkt b gleich der Länge von a mal der Länge von b mal Cosinus istvon 90 Grad., Was ist Kosinus von 90 Grad? Es ist 0. Sie können Ihren Einheitskreis überprüfen, aber das macht nicht viel Sinn. Aber das ist gleich 0, also wird thiswhole term gleich 0 sein. Wenn also Theta gleich ist90 Grad, dann ist ein Punkt b gleich 0. Und so ist dies ein weiteres interessantes Mitnehmen. Wenn a und b senkrecht stehen,ist ihr Punktprodukt gleich 0. Wenn ihr Punktprodukt gleich 0 ist, können wir dann unbedingt sagen, dass sie perpendikulär sind? Nun, was ist, wenn a oder bis der 0-Vektor? Der 0-Vektor – lassen Sie mich z für den 0-Vektor aufrufen. Oder ich könnte einfach zeichnen., Der 0-Vektor für irgendetwas ist immer gleich 0. Bedeutet das, dass der 0vektor senkrecht zu allem steht? Nun, Nein. Weil der 0-Vektor, den ich gesagt habe, den Begriff eines Winkels zwischen den Dingen haben muss, um das Wort senkrecht zu verwenden. Wir können also den 0-Vektor nicht verwenden. Wir können nicht sagen, nur weil twovectors Dot-Produkte gleich 0 sind, dass sieperpendikulär sind. Und das liegt daran, dass der 0-Vektor das durcheinander bringen würde, weil der 0-Vektor nicht definiert ist., Aber wenn wir sagen, und wir habensagen, dass a und b ungleich Null sind, wenn sie Nichtzerovektoren sind, dann können wir sagen, dass, wenn a und b ungleich Null sind und ihresnichtprodukt gleich 0 ist, dann a und b sindperpendikulär. Jetzt geht es also in beide Richtungen. Aber was ist, wenn wir gerade diese Bedingung hier haben? Was ist, wenn wir nur thecondition haben, dass ein Punkt b gleich 0 ist? Es scheint, als wäre das nur ein einfacher, reiner Zustand. Und dafür können wir ein Buch schreiben. Und diese Worte werden oft synonym verwendet, aber hoffentlich verstehst du thedistinction jetzt., Wir können sagen, dass, wenn zwei Vektorsot Produkt gleich 0 ist, werden wir sie orthogonal nennen. Wie ich immer sage, Buchstabieren ist nicht mein bestes Thema. Aber das ist eine nette Idee. Dies sagt uns, dass — nun, dassalle senkrechten Vektoren orthogonal sind. Und es sagt uns auch, dass der Vektor orthogonal zu allem anderen ist. Zu allem, sogar zu sich selbst. Der 0-0-Vektorsie erhalten immer noch 0. Per Definition ist es orthogonal., Also zum ersten Mal wahrscheinlich in Ihrer mathematischen Karriere, Sie sehen, dass die Wörter–Sie wissen, jedes Mal, wenn Sie zum ersten Mal den Wörtern ausgesetzt wurdenperpendikulär und orthogonal in der Geometrie oder vielleicht in physicsoder wo auch immer, sie waren immer irgendwie die gleichen Worte. Aber jetzt stelle ich hier eine nette,kleine Unterscheidung vor und du kannst ein bisschen schlau mit Lehrern sein. Oh, weißt du, es ist rechtwinklig, dass die Vektoren nicht sind-wenn neitherof ihnen 0 Vektor sind. Andernfalls, wenn ihr Punktproduktist 0, Sie können nur sagen, dass sie orthogonal sind., Aber wenn sie ungleich Null sind, können Sie sagen, dass sie orthogonal und senkrecht sind. Aber wie auch immer, Ich dachte, dass ich diese kleine Unterscheidung für Sie einführen würde, falls Sie jemanden haben, der Sie gerne mit Worten stolpert. Aber ich denke auch, dass wir eine Mathematik von Grund auf aufbauen und vorsichtig mit den Wörtern sein müssen, die wir verwenden. Und wir müssen sehr genau seinüber unsere Definitionen., Denn wenn wir nicht genau über unsere Definitionen sind und ein paar Mathematiker darüber aufbauen und eine Reihe von Beweisen machen, werden wir eines Tages am Kopf kratzen und eine Art dritte Mehrdeutigkeit lesen. Und es könnte alles aus der Tatsache herausgekommen sein, dass wir nicht genau genug definiert haben, was einige dieser Begriffe bedeuten. Nun, wie auch immer, hoffentlich haben Sie das nützlich gefunden. Wir können jetzt den Winkel nehmen oder wecan jetzt den Winkel zwischen Vektoren mit einer unspiträren Anzahl von Komponenten bestimmen.