een paar video ‘ s geleden introduceerde we het idee van de lengte van een vector. Dat is gelijk aan de lengte. Dit was een leuk idee omdat we gewend zijn aan de lengte van dingen in twee – of driedimensionale ruimte, maar het wordt heel abstract als we naar n dimensies komen. Als dit honderdcomponenten heeft, is het voor mij in ieder geval moeilijk om een honderddimensievector te visualiseren. Maar we hebben eigenlijk definieerdit ‘ s notie van lengte. We zagen dat dit een scalaire waarde is. Het is maar een nummer., In deze video wil ik proberen de notie van een hoek tussen vectoren te definiëren. Zoals je kunt zien, bouwen we deze wiskunde van vectoren vanaf de grond op, en we kunnen niet zomaar zeggen, Oh, ik weet wat een hoek is, want alles wat we weten over hoeken en zelfs lengtes, is alleen van toepassing op wat we associëren met twee – of driedimensionale ruimte. Maar de hele studie van linearalgebra abstraheert deze ideeën in multi-dimensionalspace. En ik heb nog niet eens gedefinieerd watdimensie is, maar ik denk dat je dat idee al in zekere mate begrijpt. Als mensen praten over één of twee of drie dimensies., Dus laten we zeggen dat ik een vector heb — laten we zeggen dat ik twee vectoren heb, vectoren a en b. ze zijn niet nul en ze herinneren zich van Rn. En ik heb nog geen idee van de hoek tussen hen, maar laat me ze gewoon uit te lokken. Laat me ze gewoon tekenen alsof ik ze in twee dimensies kan tekenen. Dus dat is vectora daar. Misschien is dat vectorb. En dan is deze vector rechtser zou de vector a min b zijn. en je kunt verifiëren dat alleen de manier waarop we geleerd hebben om vectoren toe te voegen en af te trekken. Of je weet wel, Dit is van kop tot munt. Dus b plus a min b is natuurlijk vector a., En dat werkt allemaal. Om ons te helpen deze notitie van hoek te definiëren, laat me een andere driehoek construeren die veel op deze gaat lijken. Maar onthoud, ik doe dit alleen voor onze simpele geesten om het in twee dimensies voor te stellen. Maar dit zijn geen tweedimensionale beesten. Elk van deze kunnen componenten hebben. Maar laat me nog een Triangle maken. Het moet er hetzelfde uitzien. Zeg dat het er zo uitziet. En ik ga de sides van de driehoeken definiëren als de lengtes van elk van deze vectoren., Vergeet niet, de lengte van elk van deze vectoren, het kan me niet schelen hoeveel componenten er zijn, het zijn gewoon jullie nummers. Dus de lengte van deze zijde rechts is gewoon de lengte van a. de lengte van deze zijde rechts is gewoon de lengte van vector aminus vector b. en de lengte van dit zijlicht hier is de lengte van vector b. het eerste wat we zeker willen weten is dat we altijd een driehoek kunnen construeren zoals deze. En dus onder welke omstandigheden zouden we geen driehoekig kunnen construeren zoals dit?, We zouden niet in staat zijn om zo ‘ n driehoek te construeren als deze kant. als b, als de magnitude — schrijf me dit op. Het is een beetje een subtiel punt, maar Ik wil dit heel duidelijk maken. Om een hoek te definiëren, wil ik er gerust op zijn dat ik deze constructie altijd kan maken. En ik moet ervoor zorgen dat–laat me redenen schrijven waarom ik deze instructie niet kon maken. Wat als de magnitude van B groter was dan, of de lengte van vector b groter was dan de lengte van vector a plus de lengte van vector a min b?, In twee dimensies zou ik nooit zo ‘ n driehoek kunnen tekenen omdat je deze lengte zou hebben plus deze lengte zou korter zijn dan dit ding hier. Dus je kon het nooit construeren. En ik kan alle kanten gebruiken. Wat als deze lengte groter was dan een van deze twee zijden? Of wat als die lengte groter was dan één van die twee kanten? Ik zou nooit zo een tweedimensionale driehoek kunnen tekenen. Dus wat ik ga doen is de driehoek gebruiken– de ongelijkheid van de vectordriehoeken om te bewijzen dat elk van deze zijden kleiner is dan of gelijk is aan de som van de andere zijden., Ik zou hetzelfde kunnen doen. Laat ik duidelijk zijn. Ik kon laten zien dat als a, om wat voor reden dan ook, groter was dan de andere zijden plus b, dan zou ik geen driehoek kunnen maken. En de laatste is als a min b, om welke reden dan ook, groter was dan de andere twee zijden, dan zou ik gewoon niet in staat zijn om een driehoek te tekenen in a plus b. dus ik moet laten zien dat Voor alle vectoren, alle echte vectoren– niet nul, echte vectoren die lid zijn van Rn– dat geen van deze ooit kan gebeuren. Ik moet bewijzen dat dat niet kan gebeuren. Dus wat vertelt de driehoekigheid ons?, De driehoek ongelijkheid zegt dat als ik de som van twee vectoren heb, als ik de lengte van de som van twee vectoren neem, dat dat altijd kleiner is dan– en dit zijn niet nul vectoren. Dit zal altijd minder zijn dan of gelijk aan de som van elk van hun individuele uitdagingen. Laten we eens kijken of we dat kunnen toepassen op deze driehoek hier. Dus wat is de grootte,de lengte van a? Ik kan vector a herschrijven. waar is vector a gelijk aan? Vector a is gelijk aan vectorb plus vector a min b. ik bedoel, ik herschrijf de vector hier. Ik herschrijf een hier als een som van de andere twee vectoren., Niets bijzonders daar. Ik heb de driehoekigheid nog niet gebruikt. Ik heb net mijn definitie van vector optellen gebruikt. Maar hier nu, als ik kleine ouders hier zet, kan ik nu de driehoek ongelijkheid toepassen. En ik zeg, nou, weet je wat? Door de driehoekige ongelijkheid, die we hebben bewezen, zal het minder zijn dan of gelijk aan de lengte van elk van deze vectoren. Vector b plus de lengte van vector a min b. dus we weten dat de lengte van ais kleiner is dan de som van die en die. Dus we hoeven ons geen zorgen te maken dat dit ons probleem is. We weten dat dat niet waar is., Laten we nu eens kijken naar b. is er een manier waarop ik b kan herschrijven als een som van twee andere vectoren? Wel zeker. Ik kan het schrijven als een som van aplus, laat ik het zo zeggen. Als die vector hier aminus b is, zal dezelfde vector in de omgekeerde richting de vector b min a zijn. dus a plus de vectorb min a. dat is hetzelfde als b. en je kunt het hier zien. De a ‘ s zouden annuleren en je blijft gewoon achter met de b daar. Door de driehoek ongelijkheid, weten we dat dit kleiner is dan of gelijk is aan de lengte van vector a plus de lengte van vector b min a., Nu zeg je, Sal, je hebt te maken met b minus a Dit is de lengte van a minus b en ik kan dit aan jou overlaten om het te bewijzen gebaseerd op onze definitie van vectorlengtes,maar de lengte van b minus a is gelijk aan min 1 keeresa minus b en ik laat het aan jou over om te zeggen dat kijk, deze lengtes zijn gelijk Want in wezen– Ik kan dat laten, maar ik denk dat je dat kunt nemen op basis van alleen de visuele weergave van hen dat ze exact dezelfde evectoren zijn, gewoon in verschillende richtingen. En ik moet voorzichtig zijn metlengte, want het is niet alleen in twee dimensies., Maar ik denk dat je het idee begrijpt en ik laat dat aan jou over om te bewijzen dat deze lengtes hetzelfde zijn. Dus we weten dat b kleiner is dan de lengte van deze twee dingen. Dus daar hoeven we ons geen zorgen over te maken. Tot slot, a min b. de magnitude of de lengte van vector a min b. Nou, ik kan dat schrijven als de lengte van — of ik kan dat schrijven als vector een plusvector min b. Als we gewoon A Min b Hier zetten en in de andere richtingen gaan, zouden we minusb kunnen zeggen, die in die richting zou zijn plus a zou ons onze vector a min b geven. eigenlijk hoef ik daar niet eens heen te gaan., Dat is duidelijk uit dit. Ik heb het negativ tussen haakjes gezet. De driehoek ongelijkheid, en dit lijkt misschien een beetje alledaags voor je, maar het toont ons echt dat we altijd een regelmatige vlakke driehoek kunnen definiëren gebaseerd op deze vectoren op deze manier. Het vertelt ons dat dit minder is dan orequal tot de lengte van onze vector a plus de lengte van min b. en ik zei net en je zou het jezelf kunnen bewijzen, dat dit hetzelfde is als de lengte van b. dus we zagen net dat dit zeker minder is dan die twee. Dit is zeker minder dan die twee. En dat is definitelyless dan die twee., Geen van de redenen die ons ervan weerhouden om een driehoek te construeren zijn geldig. We kunnen atriangle dus altijd op deze manier construeren uit willekeurige niet -zerovectoren in Rn. We kunnen dit altijd construeren. Nu, om een hoek te definiëren, laat me het hier opnieuw tekenen. Laat me de vectoren hertekenen, misschien iets groter. Dat is vector A. Dit is vector b. en laat me het even op deze manier tekenen. Dit is de vector daar. Dat is de vector a min b., En we zeiden dat we een overeenkomstige regelmatige, loop van de molen,vanille driehoek gaan definiëren waarvan de lengtes worden bepaald door de lengte van de vectoren, door de vectorlengtes. Dus dit is de lengte van b, die kant. Dit is de lengte van A Min b. en dit is de lengte van a. Nu ik weet dat ik altijd zo ‘ n driehoek kan construeren, kan ik proberen om mijn definitie van een hoek tussen twee vectoren te definiëren. We weten dus wat een engel in deze context betekent. Dit is een gewone, geometrische driehoek., Nu, mijn definitie van een hoek tussen twee vectoren ga ik zeggen– dus dit is wat ik probeer te definiëren. Dit is wat ik ga definiëren. Deze kunnen willekeurig aantal componenten hebben, dus het is moeilijk te visualiseren. Maar ik ga deze hoek definiëren als de corresponderende hoek in een regelmatige, run van de moldriehoek waar de zijden van de run van de moldriehoek de twee vectoren zijn en dan is de tegenovergestelde kant de aftrekking, is de lengte van het verschil tussen de twee vectoren. Dit is slechts de definitie., Ik definieer dit, de hoek tussen twee vectoren in Rn die een willekeurig aantal componenten kunnen hebben, ik definieer deze hoek om dezelfde hoek te zijn als deze hoek, de hoek tussen de twee zijden, de twee lengten van deze vectoren in gewoon een regelmatige, run van de Mol driehoek. Wat kan ik hiermee doen? Kunnen we een relatie vinden tussen al deze dingen hier? Wel zeker. Als je je nog herinnert van je rigonometrie klas, en als je dat niet doet, heb ik het bewezen in de afspeellijst. Je hebt de wet van cosinus. En ik doe het met een willekeurige driehoek hier alleen maar omdat ik je niet in de war wil brengen., Dus als dit zijde a, b en c is en dit theta is, dan vertelt de wet van cosinus ons dat C squaredis gelijk aan A kwadraat plus B kwadraat min 2abcosine van theta. Ik zie het altijd als een bredere stelling van Pythagoras omdat dit niet een rechte hoek hoeft te zijn. Het is goed voor alle hoeken. Als dit een rechte hoek wordt,dan verdwijnt deze term en blijf je achter met de thagorese stelling. Maar we hebben dit bewezen. Dit geldt voor gewoon regelmatige, run van de molen driehoeken. En gelukkig voor ons, hebben we een regelmatige, run of the mill triangle hier., Dus laten we de wet van cosinus toepassen op deze driehoek hier. En de manier waarop ik het tekende,ze corresponderen. De lengte van deze zijde in het kwadraat. Dus dat betekent de lengte van A Min B kwadraat. Lengte van vector a min vectorb, dat is gewoon de lengte van die kant. Dus ik schoof die kant op. Het is gelijk aan de lengte van vectorb kwadraat plus de lengte van vector a kwadraat min 2 keer de lengte van — Ik schrijf gewoon twee keer de lengte van vectora keer de lengte van vector b keer de cosinus van deze hoek hier. Keer de cosinevan die hoek., Ik definieer deze hoek tussen deze twee vectoren om hetzelfde te zijn als deze hoek hier. Dus als we deze hoek kennen, door definitie, kennen we die hoek hier. Nou, we weten dat het kwadraat van onze lengtes van een vector als we onze factordefinitie van lengte gebruiken, dat dit precies hetzelfde is als een vector bezaaid met zichzelf. Dus dat is een minusb punt A Min b. Het zal allemaal gelijk zijn aan dit hele spul aan de rechterkant. Maar laat me de linkerkant van deze vergelijking vereenvoudigen. a min b punt A Min b, Dit is hetzelfde als een punt a–deze twee termen — min een punt b., En dan heb ik min b punt a. deze twee termen hier. En dan heb je de muis b punt min b. dat is hetzelfde als a plus b punt b. onthoud, dit is gewoon een vereenvoudiging van de linkerkant. En ik kan dit herschrijven. een punt a, we weten dat dat gewoon de lengte is van A kwadraat. een punt b en B punt a zijn hetzelfde, dus we hebben twee van deze. Dus dit hier, deze term daar zal vereenvoudigen tot min 2 keer een punt b en dan tot slot, B punt b we weten dat dat gewoon de lengte van b kwadraat is Ik heb het vereenvoudigd of misschien uitgebreid– dat is een beter woord., Als je van één term naar drie termen gaat, kun je niet zeggen dat je het vereenvoudigd hebt. Maar ik breidde alleen de linkerkant uit en dus moet dit gelijk zijn aan de rechterkant volgens de wet van cosinus. Dus dat is gelijk aan — Ik heb bijna het gevoel dat in plaats van het te herschrijven, ik het gewoon kopieer en plak. Wat heb ik net gedaan? Kopiëren, bewerken. Kopieer en plak. Daar ga je. Ik weet niet of dat het waard was. Maar misschien heb ik wat tijd bespaard. Dus dat is gelijk aan dat hier. En dan kunnen we vereenvoudigen. We hebben een lengte van asquared hier, lengte van A kwadraat daar. Trek het van beide kanten af., De lengte van B kwadraat hier, de lengte van b kwadraat daar. Trek het van beide kanten af. En wat kunnen we dan doen? We kunnen beide kanten delen doorminus 2 omdat al het andere is verdwenen. En dus worden die term en die term allebei 1 ‘ s. en alles wat we over hebben is de vector A punt de vector b. en dit is interessant omdat we plotseling een relatie krijgen tussen de producten van de punt van twee vectoren. We zijn een beetje van hun definitie afgeweken door lengtes. Maar het puntproduct van twovectoren is gelijk aan het product van hun lengtes,hun vectorlengtes., En ze kunnen een willekeurig aantal componenten hebben. Keer de cosinus van de hoek tussen hen. Onthoud, deze theta, ik zei dat dit hetzelfde is als wanneer je een analoge,regelmatige driehoek tekent. Maar ik definieer de hoek tussen hen om hetzelfde te zijn als dat. Dus ik kan zeggen dat dit de hoek tussen hen is. Het is duidelijk dat het idee van tussen twee vectoren moeilijk te visualiseren is als je verder gaat dan drie dimensies. Maar nu hebben we het tenminste,wiskundig gedefinieerd., Dus als je me nu twee vectoren geeft, met behulp van deze formule die we hebben bewezen met behulp van deze definitie hier, kunnen we nu de hoek berekenen tussen elke twee vectoren met behulp van deze hier. En om het duidelijk te maken, wat er gebeurt als a a is– en misschien is het niet duidelijk uit die definitie, dus Ik zal het hier duidelijker maken dat per definitie,als a gelijk is aan een scalair veelvoud van b waarec groter is dan 0, We zullen definiëren dat het gelijk is aan 0. En als c kleiner is dan 0, dus een iscollineair, maar in precies de tegenovergestelde richting gaat, zullen we theta gelijk stellen aan 180 graden., Dat komt overeen met wat we begrijpen over tweedimensionale vectoren. Als ze collineair zijn en soort scalaire veelvouden hetzelfde. Dat betekent dat a er ongeveer zo uitziet en b er ongeveer zo uitziet. Dus we zeggen oh, dat is een 0 hoek. En als ze de andere kant op gaan,als a er ongeveer zo uitziet– dit is het geval waar a gewoon de andere kant op gaat van b. a gaat zo en b gaat zo, we definiëren de hoek tussen hen 180 graden. Maar al het andere is mooi gedefinieerd door de driehoek voorbeeld., Ik moest de speciale casus maken omdat het niet duidelijk is dat je echt een driehoekje krijgt in deze cases omdat de driehoeksoort verdwijnt. Het wordt plat als a en b boven op elkaar liggen of als ze in de exacte richting gaan. Daarom wilde ik een kleine kanttekening maken. Nu, met behulp van deze definitie van de hoek tussen de vectoren, kunnen we nu het idee van loodrechte vectoren definiëren., Dus we kunnen nu zeggen loodrechte vectoren — dit is een andere definitie — en dit zal niet wereldschokkend zijn, maar het is een beetje omdat we dit hebben veralgemeend naar vectoren die een willekeurig aantal componenten hebben. We definiëren loodlijn om de theta tussen — twee vectoren a en b zijn nauwkeurig als de hoek tussen hen 90 graden is. En dat kunnen we definiëren. We kunnen twee vectoren nemen. Neem hun dot product. Zoek hun twee lengtes uit en dan kun je de hoek tussen hen vinden. En als het 90 graden is. je kunt zeggen dat zeperpendelhoeken zijn., En Ik wil hier heel duidelijk zijn dat dit eigenlijk niet gedefinieerd is voor de 0 Vector hier. Dus deze situatie hier, niet gedefinieerd voor de 0 vector. Want als je de 0vector hebt, dan is deze hoeveelheid hier 0 en dan is deze hoeveelheid hier 0. En er is geen duidelijke definitie voor jouw invalshoek. Als dit hier 0 is, is youdid 0 gelijk aan 0 keer cosinus van theta. En dus als je voor theta wilt oplossen dan krijg je cosinus van theta is gelijk aan 0/0, wat niet gedefinieerd is. Maar wat we wel kunnen doen is iets algemener maken dan het woord loodrecht., Dus je moet een definedangle hebben om zelfs over loodrecht te praten. Als de hoek tussen twee vectoris 90 graden, zeggen we per definitie, die tweeovectoren zijn loodrecht. Maar wat als we de verklaring maken en we kunnen — als je naar ze kijkt, als de hoek tussen twee vectoren 90 graden is, wat betekent dat dan? Laten we zeggen dat het 90 graden is. Laat me hier een lijn trekken. Laten we zeggen dat het 90 graden is. Theta is gelijk aan 90 graden. Wat zegt dit ons? Het vertelt ons dat een punt b gelijk is aan de lengte van a maal de lengte van b maal cosinvan 90 graden., Wat is cosinus van 90 graden? Het is 0. U kunt uw unit circleif dat niet veel zin. Maar dat is gelijk aan 0, dus deze hele term is gelijk aan 0. Dus als theta gelijk is aan90 graden, dan is punt b gelijk aan 0. Dit is een andere interessante afhaalmaaltijd. Als a en b loodrecht staan, dan is hun puntproduct gelijk aan 0. Als hun dotproduct gelijk is aan 0, kunnen we dan per se zeggen dat ze precies zijn? Wat als a of bis de 0 vector? De 0 vector — laat me z bellen voor 0 vector. Of ik kan gewoon tekenen., De 0 Vector punt alles is altijd gelijk aan 0. Dus betekent dat dat de 0vector loodrecht op alles staat? Nou Nee. Omdat de 0 vector die ik zei, moeten we de notie hebben van een hoek tussen de dingen om het woord loodrecht te gebruiken. Dus we kunnen de 0 vector niet gebruiken. We kunnen niet zeggen alleen omdat twovectors dot producten gelijk zijn aan 0 dat ze perpendicular zijn. En dat komt omdat de 0 Vector dat zou verpesten omdat de 0 Vector Niet gedefinieerd is., Maar als we zeggen, en we zeggen, dat a en b niet nul zijn, als ze niet-nul zijn, dan kunnen we zeggen dat als a en b niet nul zijn en hun dot product gelijk is aan 0, dan zijn a en b perpendicular. Dus nu gaat het van twee kanten. Maar wat als we deze voorwaarde hier hebben? Wat als we gewoon de voorwaarde hebben dat een punt b gelijk is aan 0? Het lijkt erop dat dat een simpele, pure voorwaarde is. En daar kunnen we een teken voor schrijven. Deze woorden worden vaak synoniem gebruikt, maar hopelijk begrijp je het verschil nu., We kunnen zeggen dat als twee vectorsdot product gelijk is aan 0, zullen we ze orthogonaal noemen. Zoals ik altijd zeg, spellen is niet mijn beste vak. Maar dit is een leuk idee. Dit vertelt ons dat alle loodrechte vectoren orthogonaal zijn. En het vertelt ons ook dat de 0 vector orthogonaal is voor al het andere. Voor alles, zelfs voor zichzelf. De 0 punt 0 vectorje krijgt nog steeds 0. Dus per definitie is het orthogonaal., Dus voor het eerst in je wiskundige carrière zie je dat de woorden–Weet je, elke keer dat je voor het eerst werd blootgesteld aan de woorden die specifiek en orthogonaal waren in de meetkunde of misschien in de fysica of waar dan ook, waren ze altijd dezelfde woorden. Maar nu introduceer ik een leuk,klein onderscheid hier en je kunt een beetje bijdehand zijn met leraren. Oh, weet je, het is loodrecht alleen de vectoren zijn niet– als er geen 0 vector is. Anders, als hun dot product is 0, kun je alleen maar zeggen dat ze orthogonaal zijn., Maar als ze niet nul zijn kun je zeggen dat ze loodrecht en loodrecht zijn. Maar goed, ik dacht dat ik dit kleine onderscheid voor je kon introduceren voor het geval je iemand hebt die je graag laat struikelen met woorden. Maar ik denk dat het ook benadrukt dat we wiskunde vanaf de grond opbouwen en dat we voorzichtig moeten zijn met de woorden die we gebruiken. En we moeten heel nauwkeurig zijn over onze definities., Want als we niet precies zijn over onze definities en we een hoop wiskundeopbouwen en een hoop bewijzen doen, zullen we op een dag onze hoofden krabben en een soort van weide ambiguïteit lezen. Het zou allemaal kunnen zijn voortgekomen uit het feit dat we niet nauwkeurig genoeg waren om te bepalen wat sommige van deze termen betekenen. Hoe dan ook, hopelijk vond je dit nuttig. We kunnen nu de hoek nemen of we kunnen nu de hoek bepalen tussen vectoren met een willekeurig aantal componenten.