for et par videoer siden introducerede vi ideen om længden af en vektor. Det svarer til længden. Og det var en pæn id., fordi vi er vant til længden af ting i to – orthree-dimensionelle rum, men det bliver meget abstrakt, når vi kommer til n dimensioner. Hvis dette har et hundredekomponenter, i hvert fald for mig, er det svært at visualisere et hundrededimensionsvektor. Men vi har faktisk defineret det begrebet længde. Og vi så, at dette er faktisken skalar værdi. Det er bare et tal., I denne video vil jeg forsøgeat definere begrebet vinkel mellem vektorer. Som du kan se, vi er buildingup denne matematik af vektorer fra jorden op, og vi kan’tjust sige, åh, jeg ved, hvad en vinkel er becauseeverything vi ved om vinkler og lige længder, itjust gælder for, hvad vi forbinder med to – orthree-dimensionelle rum. Men hele undersøgelsen af lineæralgebra abstraherer disse ideer til multi-dimensionalspace. Og jeg har ikke engang defineret hvaddimension er endnu, men jeg tror, du forstår det ideato en vis grad allerede. Når folk taler om en ellerto eller tre dimensioner., Så lad os sige, at jeg har somevector– lad os sige, at jeg har to vektorer, vektorer a og b. De er ikke nul, og de’remembers af Rn. Og jeg har ikke en forestilling om vinklen mellem dem endnu, men lad mig bare trække dem ud. Lad mig bare tegne dem som ifI kunne tegne dem i to dimensioner. Så det ville være vectora lige der. Måske er det vectorb lige der. Og så denne vektor højre der ville være vektoren a minus b. og du kan kontrollere, at netop den måde, vi har lært at tilføje og trække vektorer. Eller du ved, det er heads to tails. Så B plus A minus b er selvfølgelig, bliver vektor a., Og det hele fungerer bare derude. For at hjælpe os med at definere denne notionof vinkel, lad mig konstruere en anden trekant, der går for at se meget ud som denne. Men husk, jeg gør bare dette for vores enkle sind at forestille sig det i to dimensioner. Men det er ikke nødvendigvisto-dimensionelle dyr. Disse hver kunne have ahundred komponenter. Men lad mig lave en andentrekant. Nå, det skal se ens ud. Sig det ser sådan ud. Og jeg har tænkt mig at definere thesider af trekanter til at være længderne af hver af disse vektorer., Husk, længderne af hver af disse vektorer, jeg er ligeglad med hvor mange komponenter der er, de bliver bare dine tal. Så længden af denne side righthere er bare at være længden af en. Længden af denne side righthere er bare at være længden af vektor aminus vektor b. Og længden af denne sideright her kommer til at være længden af vektor b. Nu er den første ting, vi vil have tomake sikker på, er, at vi altid kan konstruere en trianglelike der. Og så under hvilke omstændighederkunne vi ikke konstruere en trekantligesom dette?, Nå ville vi ikke være i stand til at konstruere en trekant som denne, hvis denne side. hvis B, hvis størrelsen-så mig skrive dette ned. Det er lidt af en subtilitet, men jeg vil gerne gøre dette meget klart. For at definere en vinkel, Jegønsker at være komfortabel, at jeg altid kan gøre dettekonstruktion. Og jeg skal sørge for, at-Lad mig skrive grunde til, at jeg ikke kunne gøre thisconstruction. Nå hvad nu hvis størrelsen ofb var større end, eller længden af vektor b var greaterthan længden af vektor a plus længden ofvector a minus B?, I to dimensioner kunne jeg aldrig tegne en trekant som den, fordi du ville have denne længde plus Denne længde ville være kortere end denne ting lige her. Så du kunne aldrigkonstruere det. Og jeg kunne gøre med alle sider. Hvad hvis denne længde var størreend en af disse to sider? Eller hvad hvis den længde var større end en af de to sider? Jeg kunne bare aldrig tegne en todimensionel trekant på den måde. Så hvad jeg har tænkt mig at gøre, er jeg kommer til at bruge trekanten — vektor trekant ulighed at bevise, at hver af disse sider er mindre end eller lig med summen af de andre sider., Jeg kunne gøre det samme. Lad mig gøre det klart. Jeg kunne vise, at hvis a, uanset grund, var større end de andre sider plus b, så ville jeg ikke være i stand til at oprette en trekant. Og det sidste man selvfølgelig isif a minus b, uanset af hvilken grund, var større end theother to sider, jeg ville bare ikke være i stand til at drawa trekant i a plus b. Så jeg har brug for at vise, at for anyvectors, nogen reel vektorer– nul, egentlige vektorer, der aremembers af Rn– at ingen af disse nogensinde kan ske. Jeg må bevise, at ingen af dem kan ske. Så hvad fortæller triangleinekvaliteten os?, Trekanten ulighed fortælleros, at hvis jeg har summen af to vektorer, hvis jeg tager længden af summen af to vektorer, at det altid vil være mindre end-og det er ikke-nul vektorer. Dette vil altid være mindre end eller lig med summen af hver af deres individuallengths. Så lad os se, om vi kan anvende det på denne trekant lige her. Så hvad er størrelsen, længden af en? Hvad er vektor a lig med? Vektor a er lig med vectorb plus vektor a minus b. Jeg mener, at jeg bare omskriver vektoren her. Jeg omskriver bare en her som en sum af de to andre vektorer., Intet fancy der. Jeg har ikke brugt triangleine .uality eller noget. Jeg har lige brugt min definitionof Vector addition. Men her nu, hvis jeg sætter lidtparenteser her, nu Kan jeg anvende trekanten ulighed. Og jeg siger, Tja, ved du hvad? Dette vil ske, ved trekantse inequalityuality, som vi har bevist, vil det være mindre end eller lig med længden af hver af disse vektorer. Vektor B plus lengthof vector a minus b. så vi ved, at længden af ais mindre end summen af den ene og den ene. Så vi behøver ikke bekymre os om, at dette er vores problem. Vi ved, at det ikke er sandt., Lad os nu se på b. så er der nogen måde, jeg kanomskrive b som en sum af to andre vektorer? Ja, selvfølgelig. Jeg kan skrive det som en sum af aplus, lad mig sige det på denne måde. Hvis den vektor lige der er aminus b, går den samme vektor i omvendt retning at være vektoren B minus a. Så a plus vektorb minus A. Det er det samme som b. og du kan se det lige her. A ‘ erne ville annullere, og du er lige tilbage med b der. Nu ved trekanten ulighed ved vi, at dette er mindre end eller lig medlængden af vektor a plus længden af vektor b minus a., Nu du siger hey, Sal,du beskæftiger sig med b-minus. Dette er lengthof et minus b. Og jeg kan forlade denne for youto bevise det baseret på vores definition af vektor længder,men længden af b minus a er lig med minus 1 timesa minus b. Og jeg vil overlade det til duat sige, at se, at disse længder er ens. Fordi i det væsentlige – jeg kunne forlade det, men jeg tror, du kan tage det baseret på bare den visuelle skildring af dem, at de er de nøjagtige samevektorer, bare i forskellige retninger. Og jeg skal være forsigtig medlængde, fordi det ikke kun er i to dimensioner., Men jeg tror, du får ideen, og jeg vil overlade det til dig at bevise, at disse længder er de samme ting. Så vi ved, at b er mindreend længden af disse to ting. Så vi behøver ikke bekymre os om den der lige der. Endelig er der et minus b. Omfanget eller lengthof vektor a minus b. Jamen jeg kan skrive, at som thelength af– eller jeg kan skrive, at som en vektor plusvector minus b. Hvis vi bare sætte et minus b rightthere og gå i andre retninger, vi kan sige, minusb, der ville være i den retning, plus en ville giveus vores vektor a minus b. Faktisk, jeg ved ikke evenhave til at gå der., Det er indlysende fra dette. Jeg sætter bare det negativei parenteserne. Nå trekant ulighed, og det kan virke lidt dagligdags for dig, men det virkeligviser os, at vi altid kan definere en regelmæssig plan trianglebaseret på disse vektorer på denne måde. Det fortæller os, at dette er mindre end orequal til længden af vores vector et plus lengthof minus b. Og jeg sagde bare, og du couldprove den til dig selv, at det er den samme thingas længden af b. Så vi har lige set, atdet er helt sikkert mindre end de to. Dette er absolut mindre end de to. Og det er helt klart mindre end de to., Ingen af de grunde, der ville holde os fra at konstruere en trekant er gyldige. Så vi kan altid konstruere atriangle på denne måde fra enhver vilkårlig non .erovectors i Rn. Vi kan altid konstruere dette. Nu, for at definere en vinkel, letme gentegne det hernede. Lad mig omdrage vektorerne, måskeen smule større. Det er vektor a. Dette er vektor b. og så lad mig bare tegne det på denne måde. Dette er vektorenret der. Det er vektoren a minus b., Og vi sagde, at vi skal definere en tilsvarende regelmæssig kørsel af møllen,vaniljetrekant, hvis længder er defineret af vektorernes længder, af vektorlængderne. Så dette er længden af b, den side. Nu da jeg ved, at jeg altid kan konstruere en trekant som denne, kan jeg forsøge at definere-eller faktisk vil jeg definere min definition af en vinkel mellem to vektorer. Så vi ved, hvad en vinkelbetyder i denne sammenhæng. Dette er bare en regelmæssig, køre afføllen, geometrisk trekant., Nu, min definition af en vinkel mellem to vektorer, vil jeg sige-så det er hvad jeg forsøger at definere. Dette er hvad jeg vil definere. Disse kan have vilkårligt antalaf komponenter, så det er svært at visualisere. Men jeg har tænkt mig at definere thisangle som den tilsvarende vinkel i en regelmæssig, skal du køre af themill trekant, hvor siderne af køre af møllen triangleare de to vektorer, og derefter den modsatte side isthe subtraktion, er længden af forskellen mellem de to vektorer. Dette er bare definitionen., Jeg definerer dette, vinklen mellem to vektorer i Rn, der kunne have et vilkårligt antal komponenter, jeg definerer denne vinkel for at være den samme som denne vinkel, vinklen mellem de to sider, de to længder af disse vektorer i bare en regelmæssig, løb af demill trekant. Hvad kan jeg gøre med det her? Nå, kan vi finde et forhold mellem alle disse ting lige her? Ja, selvfølgelig. Hvis du husker fra dintrigonometri klasse, og hvis du ikke gør det, har jeg bevist det i afspilningslisten. Du har cosinus ‘ lov. Og jeg vil gøre det med et vilkårligt træk lige her, bare fordi jeg ikke vil forvirre dig., Så hvis dette er side a, b, og cand dette er theta, loven af hygge fortæller os, at c squaredis svarende til en firkant plus b i anden potens minus 2abcosine af theta. Jeg tænker altid på det som en slags bredere Pythagoras sætning, fordi det her ikke behøver at være en ret vinkel. Det tegner sig for alle vinkler. Hvis dette bliver en ret vinkel, forsvinder dette udtryk, og du er lige tilbage medpythagoras sætning. Men vi har bevist dette. Dette gælder for bare regelmæssig, køre af møllen trekanter. Og heldig for os, vi har aregular, køre af møllen trekant her., Så lad os anvende loven af cosinus til denne trekant lige her. Og den måde, jeg tegnede det på, svarer de. Længden af detteside kvadreret. Så det betyder længden af en minus b kvadreret. Længde af vektor a minus vectorb, det er bare længden af den side. Så jeg kvadrerer bare den side. Det er lig med længden af vectorb squared plus længden af en vektor squared minus 2 timesthe længde af– jeg vil bare skrive to gange længden af vectora gange længden af vektor b gange cosinus ofthis vinkel lige her. Gange den vinkel., Og jeg definerer denne vinkel mellem disse to vektorer for at være den samme som denne vinkel lige der. Så hvis vi kender denne vinkel, veddefinition, ved vi, at vinklen lige der. Nå, vi ved, at kvadratet af vores længder af en vektor, når vi bruger vores factordefinition af Længde, at dette er lige det samme som en vektor prikket med sig selv. Så det er en minusb dot A minus b. det hele kommer til at være lig med disse hele ting på højre side. Men lad mig simplifythe venstre side af denne ligning. a minus b dot A minus b, Dette er det samme som en dot a — disse to udtryk — minus en dot b., Og så har jeg minus B dot a. de to udtryk lige der. Og så har du minus B dot minus b. Det er det samme som A plus b dot b. husk, dette er bare en forenkling af venstre side. Og jeg kan omskrive det. en prik a, vi ved, det er bare længden af en kvadreret. a dot b og b dot a er det samme, så vi har to af disse. Så dette lige her, denne term right der vil forenkle til minus 2 gange en prik b. og så endelig, b dot b. Vi ved, at det bare er længden af B kvadreret. Jeg har lige forenklet eller måske bare udvidet-det er et bedre ord., Når du går fra et udtryk hertil tre vilkår, kan du ikke sige, at du forenklede det. Men jeg udvidede lige den venstre side, og så skal dette være lig med højre side af cosinus lov. Så det er lig med-Jeg føler mig næsten som i stedet for at omskrive det, lad mig bare copyand indsætte det. Hvad har jeg lige gjort? Kopier, Rediger. Kopier og indsæt. Sådan. Jeg ved ikke, det var det værd. Men måske sparede jeg lidt tid. Så det er lig med det lige der. Og så kan vi forenkle. Vi har en længde af AS .uared her, længden af en kvadreret der. Træk det fra begge sider., Længden af B kvadreret her, længden af b kvadreret der. Træk det fra begge sider. Og hvad kan vi så gøre? Vi kan opdele begge sider vedminus 2, fordi alt andet er forsvundet. Og så det udtryk og det udtryk bliver begge 1 ‘ er. og alt, hvad vi er tilbage med, ervektor a prik vektoren B. og det er interessant, fordi vi pludselig får et forhold mellem dot-produkterne fra to vektorer. Vi er lidt gået væk fra deres definition efter længder. Men dot-produktet af tovektorer er lig med produktet af deres længder, deres vektorlængder., Og de kan have en vilkårligantal komponenter. Gange Kosinus afvinkel mellem dem. Husk, denne theta, sagde jegdette er det samme som når du tegner denne slags analog,regelmæssig trekant. Men jeg definerer vinklen mellem dem for at være den samme som den. Så jeg kan sige, at dette ervinklen mellem dem. Og selvfølgelig ideen ommellem to vektorer er det svært at visualisere, hvis du går ud overtre dimensioner. Men nu har vi det i det mindste matematisk defineret., Så hvis du giver mig to vektorer, kan vi nu bruge denne formel, som vi har bevist at bruge denne definition heroppe, vi kan nu beregne vinklen mellem to vektorer ved hjælp af denne lige her. Og bare for at gøre det klart, whathappens hvis en en– og måske er det ikke klart ud fra thatdefinition, så jeg vil gøre det klarere her, at ved definition,hvis a er lig med nogle skalar flere af b wherec er større end 0, vil vi definere thetato være lig med 0. Og hvis c er mindre end 0, så a iscollinear, men går i den modsatte retning, vil vi definere theta at være lig med 180 grader., Og det er i overensstemmelse med hvadvi forstår om kun todimensionelle vektorer. Hvis de er collinear ogslags af de skalære multipler det samme. Det betyder, at a ser sådan ud, og b ser sådan ud. Så vi siger Åh, det er 0 vinkel. Og hvis de går den anden vej,Hvis a ser sådan ud – det er tilfældet, hvor a bare går i den anden retning fra b. A går sådan, og b går som om vi definerer vinklen mellem dem til at være 180 grader. Men alt andet er smuktgodt defineret af trekanteksemplet., Jeg var nødt til at lave det specielle tilfælde af disse, fordi det ikke er klart, at du virkelig får en trekant i disse tilfælde, fordi trianglekind forsvinder. Det flader ud, hvis a og b er oven på hinanden, eller hvis de går i den nøjagtige modsatte retning. Så derfor ønskede jeg at laveen lille side note lige der. Ved hjælp af denne definition af vinklen mellem vektorerne kan vi nu definere ideen om vinkelrette vektorer., Så vi kan nu sige perpendicularvectors – dette er en anden definition-andthis vil ikke være jorden rystende, men det slags isbecause vi har generaliseret dette til vektorer, der har anarbitrære antal komponenter. Vi definerer perpendiculart at betyde theta mellem — to vektorer a og b er perpendicular hvis vinklen mellem dem er 90 grader. Og det kan vi definere. Vi kan tage to vektorer,dot dem. Tag deres dot produkt. Find ud af deres to længder også kunne du finde ud af vinklen mellem dem. Og hvis det er 90 grader. du kan sige, at de ervinkelrette vinkler., Og jeg vil gerne være meget klar Herat dette faktisk ikke er defineret for 0 vectorright her. Så denne situation lige her, ikke defineret for 0 vektoren. Fordi hvis du har 0vector, så er denne mængde lige her vil være 0 ogderefter denne mængde lige her vil være 0. Og der er ingen klar definition for din vinkel. Hvis dette er 0 lige her, youdid 0 er lig med 0 gange cosinus af theta. Og så hvis du ønskede at solvefor theta du ville få cosinus af theta er lig med 0/0,som er udefineret. Men hvad vi kan gøre er at skabe enlidt mere generelt ord end ordet vinkelret., Så du skal have en defineretvinkel til endda at tale om vinkelret. Hvis vinklen mellem to vektorerer 90 grader, siger vi pr. Men hvad nu hvis vi lavede erklæringen, og vi kan– hvis du ser på dem, hvis vinklen mellem to vektorer er 90 grader, hvad betyder det? Så lad os sige dettaer 90 grader. Lad mig trække en linje her. Lad os sige attaer 90 grader. Theta er lig med 90 grader. Hvad betyder denne formelfortæl os? Det fortæller os, at en prik b er lig med længden af A gange længden af b gange cosinof 90 grader., Hvad er cosinus på 90 grader? Det er 0. Du kan gennemgå din enhedcirkelhvis det ikke giver meget mening. Men det er lig med 0, så dettehele sigt vil være lig med 0. Så hvis theta er lig med90 grader, så er en prik b lig med 0. Og så er dette en andeninteressant takea .ay. Hvis a og b er vinkelret,så deres dot produkt vil være lig med 0. Nu, hvis deres dot produkt erlig med 0, kan vi nødvendigvis sige, at de erendikulære? Hvad nu hvis A eller bis 0 vektoren? 0 vektoren-lad mig kalde z for 0 vektor. Eller jeg kunne bare tegne., 0 vector dot noget ervil altid være lig med 0. Så betyder det, at 0vektoren er vinkelret på alt? Nå nej. Fordi 0-vektoren jeg sagde, Skal vi have forestillingen om en vinkel mellem ting for at bruge ordet vinkelret. Så vi kan ikke bruge 0-vektoren. Vi kan ikke sige, bare fordi tovektorer dot produkter er lig med 0, at de arependicular. Og det er fordi 0 vectorwouldould rod det op, fordi 0 vectoris ikke er defineret., Men hvis vi siger, og vi har beensaying, at a og b er nul, hvis de er nonzerovectors, så kan vi sige, at hvis a og b er nul, og theirdot produkt er lig 0, så a og b areperpendicular. Så nu går det begge veje. Men hvad nu hvis vi bare har denne tilstand lige her? Hvad hvis vi bare har den betingelse, at en prik b er lig med 0? Det ser ud til, at det bare er en simpel, ren tilstand. Og det kan vi skrive A .ord for. Og disse ord bruges oftesynonymt, men forhåbentlig forstår du forskel nu., Vi kan sige, at hvis to vectorsdot-produkt er lig med 0, kalder vi dem ortogonale. Som jeg altid siger, er stavning ikke mit bedste emne. Men det er en god id.. Det fortæller os, at alle vinkelrette vektorer er ortogonale. Og det fortæller os også, AT0-vektoren er ortogonal for alt andet. Til alt, selv til sig selv. 0 dot 0 vectordu får stadig 0. Så per definition er det ortogonalt., Så for første gang sandsynligtI din matematiske karriere, du ser, at ordene–Du ved, hver gang du først blev udsat for ordspendikulære og ortogonale i geometri eller måske i fysikeller hvor ellers, de var altid slags de samme ord. Men nu introducerer jeg en dejlig, lille skelnen her, og du kan slags være lidt smart aleck med lærere. Åh, du ved, det er vinkelret, men vektorerne er ikke – hvis ingen af dem er 0 vektor. Ellers, hvis deres dot productis 0, kan du kun sige, at de er ortogonale., Men hvis de ikke er nul, kan du sige, at de er ortogonale og vinkelrette. Men alligevel, jeg troede, at jeg ville introducere denne lille forskel for dig, hvis du har nogen, der kan lide at rejse dig op med ord. Men det tror jeg også højdepunkterat vi bygger en matematik fra bunden, og vi skal være forsigtige med de ord, vi bruger. Og vi skal være meget præciseom vores definitioner., For hvis vi ikke er præcis om vores definitioner, og vi opbygger en masse matematikere oven på dette og laver en masse bevis, en dag kan vi ridse vores hoveder og læse en slags uklarhed. Og det kunne have alle kom ud af det faktum, at vi ikke var præcise nok til at definere, hvad nogle af disse udtryk betyder. Nå alligevel, forhåbentlig digfundet dette nyttigt. Vi kan nu tage vinklen eller Vikan nu bestemme vinklen mellem vektorer med anarbitrært antal komponenter.