Il y a quelques vidéos, nous avons introduit l’idée de la longueur d’un vecteur. Cela équivaut à la longueur. Et c’était une idée géniale parce que nous sommes habitués à la longueur des choses dans un espace à deux ou trois dimensions, mais cela devient très abstrait Quand nous arrivons à n dimensions. Si cela a centcomposants, au moins pour moi, il est difficile de visualiser centcompector de dimension. Mais nous avons réellement défini la notion de longueur. Et nous avons vu que c’est actuellementune valeur scalaire. C’est juste un nombre., Dans cette vidéo, je veux tenterpour définir la notion d’angle entre les vecteurs. Comme vous pouvez le voir, nous construisons cette mathématique des vecteurs à partir de zéro, et nous ne pouvons pas simplement dire, oh, je sais ce qu’est un angle parce que tout ce que nous savons sur les angles et même les longueurs, cela s’applique simplement à ce que nous associons à un espace bi – orthrédimensionnel. Mais toute l’étude de linearalgebra fait abstraction de ces idées dans un espace multidimensionnel. Et je n’ai même pas encore défini ce qu’est la dimension, mais je pense que vous comprenez déjà cette idée à un certain degré. Quand les gens parlent d’un oudeux ou trois dimensions., Disons donc que j’ai somevector say disons que j’ai deux vecteurs, les vecteurs a et B. Ils sont non nuls et ils sont membres de Rn. Et je n’ai pas encore la notion de l’angle entre eux, mais laissez-moi juste les dessiner. Permettez-moi de les dessiner commei pourrait les dessiner en deux dimensions. Donc ce serait vectora juste là. Peut-être que c’est vectorb juste là. Et puis ce vecteur droitil y aurait le vecteur a moins B. et vous pouvez vérifier que juste la façon dont nous avons appris à ajouter et soustraire des vecteurs. Ou vous savez, ce isheads de queues. Donc, b Plus a moins b est bien sûr, va être le vecteur a., Et que tous les justworks là-bas. Pour nous aider à définir cette notion d’angle, permettez-moi de construire un autre triangle qui ressemblera beaucoup à celui-ci. Mais rappelez-vous, je fais juste cela pour que nos esprits simples l’imaginent en deux dimensions. Mais ce ne sont pas nécessairement des bêtes bidimensionnelles. Ceux-ci pourraient chacun avoir des composants ahundred. Mais laissez-moi faire un autrerriangle. Eh bien, il devrait ressembler. Dire que ça ressemble à ça. Et je vais définir les côtés des triangles pour être les longueurs de chacun de ces vecteurs., Rappelez-vous, les longueurs de chacun de ces vecteurs, Je ne me soucie pas du nombre de composants, ils vont juste être vos nombres. Donc, la longueur de ce côté rightthere va juste être la longueur de A. La longueur de ce côté rightthere va juste être la longueur du vecteur aminus vector B. et la longueur de ce sideright ici va être la longueur du vecteur B. Maintenant, la première chose que nous voulons être sûrs est que nous pouvons toujours construire un triangle comme ça. Et donc dans quelles circonstances ne pourrions-nous pas construire un triangle semblable à celui-ci?, Eh bien, nous ne serions pas capables de construire un triangle comme celui-ci si ce côté. si b, si la magnitude sol solet moi écrire ceci. C’est un peu un point subtil, mais je veux le dire très clairement. Afin de définir un angle, Je veux être à l’aise que je puisse toujours faire cette construction. Et je dois m’assurer que let laissez-moi écrire les raisons pour lesquelles je n’ai pas pu faire cette construction. Eh bien, que se passe – t-il si la magnitude ofb était supérieure à, ou si la longueur du vecteur b était plus grande que la longueur du vecteur a plus la longueur du vecteur a moins b?, En deux dimensions, Je ne pourrais jamais dessiner un triangle comme ça alors parce que vous auriez cette longueur plus cette longueur serait plus courte que cette chose ici. Donc, vous ne pourriez jamais le construire. Et je pourrais faire moyens les côtés. Et si cette longueur était plus grandeque l’un de ces deux côtés? Ou si cette longueur était plus grande que l’un de ces deux côtés? Je ne pourrais jamais dessiner un triangle bidimensionnel de cette façon. Donc, ce que je vais faire, c’est que je vais utiliser le triangle-l’inégalité du triangle vectoriel pour prouver que chacun de ces côtés est inférieur ou égal à la somme des autres côtés., Je pourrais faire la même chose. Permettez-moi de clarifier un point. Je pourrais montrer que si a, pour quelle que soit la raison, était plus grand que les autres côtés plus b, alors je ne serais pas en mesure de créer un triangle. Et le dernier bien sûr estsi a moins b, Pour une raison quelconque, était plus grand que les deux autres côtés, Je ne serais tout simplement pas en mesure de dessiner un triangle dans a plus b. J’ai donc besoin de montrer que pour tous les vecteurs, tous les vecteurs réels-non nuls, vecteurs réels qui sont membres de Rn-qu’aucun de Je dois prouver que noneof cela peut arriver. Alors, que nous dit le triangleinequality?, L’inégalité du triangle nous dit que si j’ai la somme de deux vecteurs, si je prends la longueur de la somme de deux vecteurs, cela va toujours être inférieur à– et ce sont des vecteurs non nuls. Cela sera toujours inférieur ou égal à la somme de chacune de leurs longueurs individuelles. Voyons donc si nous pouvons appliquer cela à ce triangle ici. Alors, quelle est l’amplitude,la longueur d’une? Eh bien, je peux réécrire le vecteur A. à quoi est égal le vecteur a? Le vecteur a est égal à vectorb plus le vecteur a moins B. Je veux dire que je suis juste en train de réécrire le vecteur ici. Je suis juste en train de réécrire un ici comme asum des deux autres vecteurs., Rien de compliqué, là. Je n’ai pas utilisé le triangleinequality ou quoi que ce soit. Je viens d’utiliser mon ajout de vecteur definitionof. Mais ici maintenant, si je mets peuparentheses ici, maintenant je peux appliquer l’inégalité du triangle. Et je dis, Eh bien, tu sais quoi? Cela va être, par l’inégalité de triangle, que nous avons prouvé, il va être inférieur ou égal aux longueurs de chacun de ces vecteurs. Vecteur b plus La lengthof vecteur a moins B. Nous savons donc que la longueur de ais inférieure à la somme de celui-ci et de celui-là. Nous n’avons donc pas à nous soucier de ce qui est notre problème. Nous savons que ce n’est pas vrai., Maintenant, regardons b. Donc, est-il possible que je canrewrite b comme une somme de deux autres vecteurs? Bien sûr. Je peux l’écrire comme une somme de aplus, permettez-moi de cette façon. Si ce vecteur là est aminus b, le même vecteur dans le sens inverse va être le vecteur b Moins A. Donc a plus le vectorb moins A. c’est la même chose que B. et vous pouvez le voir ici. Le a annulerait et vous êtes juste laissé avec le b là-bas. Maintenant, par l’inégalité du triangle, nous savons que cela est inférieur ou égal àlongueur du vecteur a plus la longueur du vecteur b Moins A., Maintenant, vous dites Hé, Sal, vous avez affaire à b Moins A. c’est la longueur de A moins B. Et je peux vous laisser cela pour le prouver sur la base de notre définition des longueurs de vecteur,mais la longueur de b Moins a est égale à moins 1 foisun moins B. Et je vais vous le laisser pour dire Parce qu’essentiellement I je pourrais le laisser, mais je pense que vous pouvez prendre cela en fonction de la représentation visuelle d’eux qu’ils sont exactement les mêmes vecteurs, juste dans des directions différentes. Et je dois faire attention aveclength car ce n’est pas seulement en deux dimensions., Mais je pense que vous avez l’idée et je vous laisserai cela pour prouver que ces longueurs sont la même chose. Nous savons donc que b est moinsque la longueur de ces deux choses. Donc, nous n’avons pas à nous soucier de celui-là. Enfin, a moins B. La magnitude ou la longueur du vecteur a moins B. Eh bien, je peux écrire cela comme la longueur de– ou je peux écrire cela comme vecteur a plusvector moins B. Si nous mettons juste un moins B à droite et allons dans les autres directions, nous pourrions dire minusb, qui serait dans cette direction plus a donnerait à notre vecteur Un moins B. En fait, je n’ai même pas à y aller. , C’est évident à partir de ce. J’ai juste mis le négatif entre parenthèses. Eh bien l’inégalité du triangle, et cela peut vous sembler un peu banal, mais cela nous montre vraiment que nous pouvons toujours définir un triangle plan régulier basé sur ces vecteurs de cette façon. Il nous dit que c’est moins que orequal à la longueur de notre Vecteur a plus la longueur de moins B. Et je viens de dire et vous pouvezprofitez-le à vous-même, que c’est la même chose que la longueur de B. Nous venons donc de voir que c’est certainement moins que ces deux-là. Ce n’est certainement lessthan ces deux-là. Et c’est definitelyless que ces deux-là., Aucune des raisons qui nous empêcheraient de construire un triangle n’est valide. Nous pouvons donc toujours construire atriangle de cette manière à partir de tout non-vecteur arbitraire dans Rn. Nous pouvons toujours construire cela. Maintenant, pour définir un angle, redessinons-le ici. Permettez-moi de redessiner les vecteurs, peut-être un peu plus gros. C’est le vecteur A. C’est le vecteur B. Et puis laissez-moi le dessiner de cette façon. C’est le vectorright là-bas. Qui est le vecteur d’un moins b., Et nous avons dit que nous allions définir un triangle de vanille régulier correspondant, dont les longueurs sont définies par les longueurs des vecteurs, par les longueurs des vecteurs. C’est donc la longueur de b, de ce côté. C’est la longueur de A moins B. Et puis c’est la longueur de a. Maintenant que je sais que je peux toujours construire un triangle comme celui-ci, je peux essayer de définirine ou en fait, je vais définir ma définition d’un angle entre deux vecteurs. Nous savons donc ce qu’est un anglesignifie dans ce contexte. Ceci est juste un régulier, run ofthe moulin, triangle géométrique., Maintenant, ma définition d’un anglebetween deux vecteurs je vais dire so donc c’est ce que j’essaie de définir. C’est ce que je suis goingto définir. Ceux-ci peuvent avoir un nombre arbitraire de composants, il est donc difficile à visualiser. Mais je vais définir thisangle comme l’angle correspondant dans un triangle régulier, run of themill où les côtés de la course du triangle mill sont les deux vecteurs, puis le côté opposé est la soustraction, est la longueur de la différence entre les deux vecteurs. C’est juste la définition., Je définis ceci, l’angle entre deux vecteurs dans Rn qui pourrait avoir un nombre arbitraire de composants, je définis cet angle comme étant le même angle que cet angle, l’angle entre les deux côtés, les deux longueurs de ces vecteurs dans juste un triangle régulier. Maintenant, Que puis-je faire avec ça? Peut – on trouver une relation entre toutes ces choses ici? Bien sûr. Si vous vous souvenez de votre cours de trigonométrie, et si vous ne le faites pas, je l’ai prouvé dans la playlist. Vous avez la loi des cosinus. Et je vais le faire avec un triangle arbitraire juste ici juste parce que je ne veux pas vous confondre., Donc, si c’est le côté a, b et cet c’est thêta, la loi des cosinus nous dit que c squareest égal à un carré plus B carré moins 2abcosine de thêta. Je pense toujours à cela comme un peu d’un théorème de Pythagore plus large parce que thisthing ne doit pas nécessairement être un angle droit. Il tient compte de tous les angles. Si cela devient un angle droit, alors ce terme disparaît et il vous reste le théorème pythagoricien. Mais nous avons prouvé que cette. Cela s’applique uniquement aux triangles réguliers et à la course des Moulins. Et heureusement pour nous, nous avons un triangle circulaire et circulaire ici., Appliquons donc la loi des cosinus à ce triangle ici. Et la façon dont je l’ai dessiné,ils correspondent. La longueur de cettecord carré. Cela signifie donc la longueurde a moins b au carré. Longueur du vecteur a moins vectorb, c’est juste la longueur de ce côté. Donc, je suis juste squaringthat côté. Il est égal à la longueur de vectorb au carré plus La longueur du vecteur a au carré moins 2 fois la longueur de I je vais juste écrire deux fois la longueur de vectora fois la longueur du vecteur b fois le cosinus de cet angle ici. Fois la cosineof cet angle., Et je définis cet anglebetween ces deux vecteurs pour être le même que thisangle juste là. Donc, si nous connaissons cet angle, par définition, nous connaissons cet angle là. Eh bien, nous savons que le carré de nos longueurs d’un vecteur lorsque nous utilisons notre factordefinition de la longueur, que c’est juste la même chose qu’un vecteur parsemé de lui-même. Donc, c’est un point minusb a moins B. Tout va être égal àcette substance entière sur le côté droit. Mais permettez-moi de simplifier le côté gauche de cette équation. a moins b point a moins b, c’est la même chose que le point un, de ces deux termes, moins un point b., Et puis j’ai moins b point A. Ces deux termes juste là. Et puis vous avez theminus B dot minus B. c’est la même chose que a PLUS B dot B. rappelez-vous, c’est juste une simplification du côté gauche. Et je peux réécrire ça. un point a, Nous savons que c’est justela longueur d’un carré. a point b et b point a sontla même chose, nous en avons donc deux. Donc, ici, ce termright il simplifiera à moins 2 fois un point B. Et puis enfin, B point B. Nous savons que c’est juste la longueur de b au carré. Je viens de simplifier ou peut-être j’ai juste élargi that c’est un meilleur mot., Lorsque vous passez d’un terme aux présentes trois termes, vous ne pouvez pas dire simplifié. Mais j’ai développé juste le côté gauche et donc cela doit être égal au côté droit par la loi des cosinus. Donc, c’est égal à I je me sens presque comme au lieu de le réécrire, laissez-moi simplement le copier et le coller. Est-ce que je viens de faire? Copier, modifier. Copier et coller. Là vous allez. Je ne sais pas il thatwas la peine. Mais peut-être que j’ai sauvé une littlebit de temps. Donc c’est égal à cela juste là. Et puis nous pouvons simplifier. Nous avons une longueur d’asquared ici, une longueur d’un carré là. Soustraire des deux côtés., La longueur de b au carré ici,la longueur de b au carré il. Soustraire des deux côtés. Et alors, que pouvons-nous faire? Nous pouvons diviser les deux côtés parminus 2 parce que tout le reste a disparu. Et donc ce terme et ce terme deviendront tous les deux 1. et tout ce qui nous reste, c’est le vecteur a point le vecteur B. et c’est intéressant car tout d’un coup, nous obtenons une relation entre les produits dotaux de deux vecteurs. Nous sommes en quelque sorte partis de leur définition par longueurs. Mais le produit dotal de deuxvecteurs est égal au produit de leurs longueurs,leurs longueurs vectorielles., Et ils peuvent avoir un arbitraire. nombre de composants. Fois le cosinus de theangle entre eux. Rappelez-vous, ce thêta,j’ai disc’est la même chose que lorsque vous dessinez ce genre de triangle analogue et régulier. Mais je définis l’angle entre eux pour être le même que ça. Donc, je peux dire que c’estl’angle entre eux. Et évidemment, l’idée deentre deux vecteurs, il est difficile de visualiser si vous allez au-delà de trois dimensions. Mais maintenant, nous l’avons au moins, mathématiquement défini., Donc, si vous me donnez deux vecteurs, nous pouvons maintenant, en utilisant cette formule que nous avons prouvée en utilisant thisdefinition ici, nous pouvons maintenant calculer l’angle entre deux vecteurs en utilisant ceci ici. Et juste pour que ce soit clair, whathappens si a est a a et peut-être que ce n’est pas clair à partir de thatdefinition, donc je vais clarifier ici que par définition,si a est égal à un multiple scalaire de b où est supérieur à 0, nous définirons thetato être égal à 0. Et si c est inférieur à 0, donc a estcollinéaire, mais va exactement dans la direction opposée, nous allons définir thêta pour être égal à 180 degrés., Et c’est cohérent avec ce qu’on comprend des vecteurs à deux dimensions. S’ils sont colinéaires Etkind des multiples scalaires la même chose. Cela signifie que a ressemble à quelque chose et que b ressemble à quelque chose comme ça. Alors on dit oh, c’est un angle 0. Et s’ils vont dans l’autre sens,si a ressemble à quelque chose– c’est le cas où a va juste dans l’autre direction de B. a va comme ça et b va comme ça, nous définissons l’angle entre eux à 180 degrés. Mais tout le reste est assezbien défini par l’exemple du triangle., J’ai dû faire le cas spécial de ceux-ci parce qu’il n’est pas clair que vous obtenez vraiment un triangledans ces cas parce que le trianglekind de disparaît. Il aplatit si a et b areon dessus de l’autre ou s’ils vont dans la direction exactopposite. C’est pourquoi je voulais faire une petite note de côté juste là. Maintenant, en utilisant cette définition de l’angle entre les vecteurs, nous pouvons maintenant définir l’idée des vecteurs perpendiculaires., Nous pouvons donc maintenant dire des vecteurs perpendiculaires this c’est une autre définition.et ce ne sera pas bouleversant, mais c’est en quelque sorte parce que nous avons généralisé cela aux vecteurs qui ont un nombre binaire de composants. Nous définissons perpendiculairepour signifier que le thêta entre two deux vecteurs a et b sontpendiculaire si l’angle entre eux est de 90 degrés. Et nous pouvons définir cela. On peut prendre deux vecteurs, les parsemer. Prendre leur produit scalaire. Déterminez leurs deux longueurs etpuis vous pouvez déterminer l’angle entre eux. Et si c’est 90 degrés. vous pouvez dire qu’ils sontangles supplementaires., Et je veux être très clair icique ce n’est en fait pas défini pour le 0 vectorright ici. Donc, cette situation ici, non définie pour le vecteur 0. Parce que si vous avez le 0vector, alors cette quantité ici va être 0 andthen cette quantité ici va être 0. Et il n’y a pas de définition claire pour votre angle. Si c’est 0, ici, youdid 0 est égal à 0 fois cosinus de thêta. Et donc si vous vouliez résoudre pour thêta, vous obtiendrez un cosinus de thêta égal à 0/0, ce qui n’est pas défini. Mais ce que nous pouvons faire, c’est créer un mot légèrement plus général que le mot perpendiculaire., Donc, vous devez avoir un definedangle pour parler même de perpendiculaire. Si l’angle entre deux vecteursest de 90 degrés, nous disons par définition, ces deuxvecteurs sont perpendiculaires. Mais que se passe-t-il si nous avons fait la déclaration et que nous pouvons them si vous les regardez, si l’angle entre deux vecteurs est de 90 degrés, qu’est-ce que cela signifie? Alors disons que letest de 90 degrés. Permettez-moi de tracer une ligne ici. Disons que letest de 90 degrés. Thêta est égal à 90 degrés. Qu’est-ce formulatell nous? Il nous dit qu’un point b est égal à la longueur de a fois la longueur de B fois le cosinus de 90 degrés., Qu’est-ce que le cosinus de 90 degrés? C’est 0. Vous pouvez revoir votre cercle d’unitési cela n’a pas beaucoup de sens. Mais c’est égal à 0, donc cettele terme entier va être égal à 0. Donc, si thêta est égal à90 degrés, alors un point b est égal à 0. Et donc c’est un autreintéressant à emporter. Si a et b sont perpendiculaires,alors leur produit dot sera égal à 0. Maintenant, si leur produit dot est égal à 0, pouvons-nous nécessairement dire qu’ils sontpendiculaire? Eh bien, que faire si a ou bis le vecteur 0? Le vecteur 0 let laissez-moi callit z pour le vecteur 0. Ou je pourrais juste attirer l’., Le point vectoriel 0 n’importe quoi va toujours être égal à 0. Cela signifie-t-il que le 0vector est perpendiculaire à tout? Et bien non. Parce que le vecteur 0 que j’ai dit, nous devons avoir la notion d’angle entre les choses pour utiliser le mot perpendiculaire. Nous ne pouvons donc pas utiliser le vecteur 0. Nous ne pouvons pas dire simplement parce que les produits dotaux twovectors sont égaux à 0 qu’ils sontperpendiculaire. Et c’est parce que le vecteur 0 serait gâcher cela parce que le vecteur 0 n’est pas défini., Mais si nous disons, et nous avons beensaying, que a et b sont non nuls, s’ils sont non nuls, alors nous pouvons dire que si A et b sont non nuls et leur produit nul est égal à 0, alors a et b sontperpendiculaire. Alors maintenant, ça va dans les deux sens. Mais si nous avons juste cette condition ici? Que faire si nous avons juste lecondition qu’un point b est égal à 0? Il semble que ce soit un peu juste une condition simple et pure. Et nous pouvons écrire un mot pour cela. Et ces mots sont souvent utilisésynonymiquement, mais j’espère que vous comprenez ledistinction maintenant., Nous pouvons dire que si deux vecteursle produit nul est égal à 0, nous les appellerons orthogonaux. Comme je dis toujours, l’orthographe n’est pas mon meilleur sujet. Mais c’est kindof une bonne idée. Cela nous dit que well Eh bien, que tous les vecteurs perpendiculaires sont orthogonaux. Et cela nous dit aussi que le vecteur 0 est orthogonal à tout le reste. À tout, même à lui-même. Le vecteur 0 point 0vous obtenez toujours 0. Donc, par définition,c’est orthogonale., Donc, pour la première fois probablement dans votre carrière mathématique, vous voyez que les mots you Vous savez, chaque fois que vous avez été exposé aux mots perpendiculaire et orthogonal en Géométrie ou peut-être en physique ou ailleurs, ils étaient toujours un peu les mêmes mots. Mais maintenant, je présente une belle petite distinction ici et vous pouvez être un peu intelligent avec les enseignants. Oh, vous savez, c’est perpendiculaireseulement les vecteurs ne le sont pas if si ni eux ne sont 0 vecteur. Sinon, si leur point produit 0, Vous pouvez seulement dire qu’ils sont orthogonaux., Mais s’ils sont non nuls, vous pourriez dire qu’ils sont orthogonaux et perpendiculaires. Mais quoi qu’il en soit, je pensais que je vous présenterais cette petite distinction au cas où vous auriez quelqu’un qui aime vous tripoter avec des mots. Mais je pense aussi que cela met en évidence que nous construisons une mathématique à partir du sol et que nous devons faire attention aux mots que nous utilisons. Et nous devons être très précissur nos définitions., Parce que si nous ne sommes pas précis sur nos définitions et que nous construisons un tas de mathématiques en haut de cela et faisons un tas de preuves, un jour, nous pouvons nous gratter la tête et lire une sorte d’ambiguïté étrange. Et tout est peut-être sorti du fait que nous n’étions pas assez précis dans la définition de ce que signifient ces termes. Eh bien de toute façon, j’espère que voustrouvé utile. Nous pouvons maintenant prendre l’angle ou nous pouvons maintenant déterminer l’angle entre les vecteurs avec un nombre binaire de composants.