kilka filmów temu Wein wprowadził pojęcie długości wektora. To równa się długości. I to był fajny pomysł, ponieważ jesteśmy przyzwyczajeni do długości rzeczy w dwu – ortree-wymiarowej przestrzeni, ale staje się bardzo abstrakcyjny, gdy dostajemy się do n wymiarów. Jeśli to ma sto składników, przynajmniej dla mnie, trudno wyobrazić sobie wektor wielkości setnej. Ale właściwie zdefiniowaliśmy pojęcie długości. I widzieliśmy, że jest to w rzeczywistości wartość skalarna. To tylko liczba., W tym filmie chcę spróbować zdefiniować pojęcie kąta między wektorami. Jak widzisz, budujemy matematykę wektorów od podstaw i nie możemy powiedzieć, Och, wiem, co to jest kąt, ponieważ wszystko, co wiemy o kątach i parzystych długościach, odnosi się tylko do tego, co kojarzymy z dwu – ortree-wymiarową przestrzenią. Ale całe badanie linearyalgebra jest abstrakcji tych idei w przestrzeni wielowymiarowej. I nawet nie zdefiniowałem jeszcze, czym jest wymiar, ale myślę, że rozumiesz, że ideato już w pewnym stopniu. Kiedy ludzie mówią o jednym lub dwóch lub trzech wymiarach., Powiedzmy, że mam jakiś wektor … powiedzmy, że mam dwa wektory, wektory a I B. są niezerowe i są członkami Rn. Jeszcze nie wiem, co się między nimi dzieje, ale pozwól mi je wyciągnąć. Pozwól, że narysuję je tak, jakbym mógł narysować je w dwóch wymiarach. Więc to będzie vectora tutaj. Może to vectorb. I wtedy ten wektor będzie wektorem a minus b. i można sprawdzić, że właśnie nauczyliśmy się dodawać i odejmować wektory. Albo wiesz, to jest do reszka. Więc b plus a minus B to oczywiście wektor A., I to wszystko działa. Aby pomóc nam zdefiniować pojęcie kąta, pozwól mi skonstruować kolejny trójkąt, który będzie wyglądał bardzo podobnie do tego. Ale pamiętaj, robię to tylko dla naszych prostych umysłów, aby wyobrazić sobie to w dwóch wymiarach. Ale to nie są niezbędne dwuwymiarowe bestie. Każdy z nich może mieć sto elementów. Ale pozwól mi zrobić jeszcze jedną podróż. Powinno wyglądać podobnie. Powiedz, że tak to wygląda. I zdefiniuję te Trójkąty jako długości każdego z tych wektorów., Pamiętaj, długości każdego z tych wektorów, nie obchodzi mnie, ile ich Jest, będą tylko twoimi liczbami. Więc długość tej strony w prawo będzie tylko długością a. długość tej strony w prawo będzie tylko długością wektora aminusa wektora b. A Długość tej strony w prawo będzie długością wektora B. teraz pierwszą rzeczą, którą chcemy być pewni, jest to, że zawsze możemy zbudować Trójkąt. A więc w jakich okolicznościach nie moglibyśmy zbudować trójkąta?, Cóż, nie bylibyśmy w stanie zbudować takiego trójkąta, gdyby ta strona. jeśli b, Jeśli wielkość — solet me zapisz to. To subtelny punkt, ale chcę to wyjaśnić. Aby określić kąt, chcę być wygodny, że zawsze mogę zrobić tę konstrukcję. I muszę się upewnić, że … pozwól, że napiszę powody, dla których nie mogłem tego zrobić. A gdyby wielkość B była większa niż, albo długość wektora b była większa niż długość wektora a plus długość wektora A minus b?, W dwóch wymiarach nigdy nie mógłbym narysować takiego trójkąta, ponieważ miałbyś tę długość plus ta długość byłaby krótsza niż ta rzecz tutaj. Żebyś nigdy nie mógł tego zrobić. I przydałyby mi się wszystkie strony. Co jeśli ta długość była większa niż jedna z tych dwóch stron? Albo co, jeśli ta długość była większa niż jedna z tych dwóch stron? Nigdy bym nie narysował w ten sposób dwuwymiarowego trójkąta. Użyję trójkąta – wektorowego trójkąta nierównościowego, aby udowodnić, że każdy z tych boków jest mniejszy lub równy sumie pozostałych boków., Mógłbym zrobić to samo. Wyjaśnijmy to sobie. Mógłbym pokazać, że gdyby a, z jakiegokolwiek powodu, było większe niż pozostałe boki plus b, to nie byłbym w stanie utworzyć trójkąta. A ostatni z nich jest oczywiście większy niż a minus b, z jakiegokolwiek powodu, niż pozostałe dwie strony, po prostu nie byłbym w stanie narysować trójkąta w A PLUS B. więc muszę pokazać, że dla dowolnych wektorów, dowolnych rzeczywistych wektorów, niezerowych, rzeczywistych wektorów będących członkami Rn, że żaden z nich nigdy się nie wydarzy. Muszę udowodnić, że nic z tych rzeczy nie może się zdarzyć. Co nam mówi trójkątna równość?, Nierówność trójkąta mówi, że jeśli mam sumę dwóch wektorów, to jeśli wezmę sumę dwóch wektorów, to zawsze jest to mniej niż– i są to wektory niezerowe. Zawsze będzie to mniejsze lub równe sumie każdej z ich indywidualnych długości. Więc zobaczmy, czy możemy zastosować to do tego trójkąta tutaj. Więc jaka jest wielkość, Długość a? Cóż, mogę przepisać wektor A. co jest równe wektorowi a? Wektor a jest równy wektorowi B plus wektorowi a minus B. Przepisuję tutaj jako sumę dwóch pozostałych wektorów., Nic ciekawego. Nie użyłem triangleinequality ani nic takiego. Właśnie użyłem definicji dodawania wektora. Ale teraz, jeśli umieszczę tu małe parentezy, teraz mogę zastosować nierówność trójkąta. A ja mówię, wiesz co? To będzie, przez nierówność liniową, którą udowodniliśmy, będzie ona równa lub równa długości każdego z tych wektorów. Wektor b plus długość wektora A minus B. wiemy więc, że długość ais jest mniejsza od sumy tego i tamtego. Więc nie musimy się martwić, że to jest nasz problem. Wiemy, że to nieprawda., Teraz spójrzmy na b. Czy Jest jakiś sposób, aby zapisać b jako sumę dwóch innych wektorów? Pewnie. Mogę to zapisać jako sumę APlusa, ujmę to tak. Jeśli ten wektor to aminus b, to ten sam wektor w odwrotnym kierunku ma być wektorem B minus a. więc a plus wektor B minus a. to to samo co b. i widać to tutaj. „A” anuluje się, a ty zostajesz z „b”. Dzięki nierówności trójkąta wiemy, że jest ona mniejsza lub równa długości wektora a plus długości wektora B minus A., Teraz mówisz, Sal, masz do czynienia z b minus A. to jest długość a minus B. i mogę zostawić to dla Ciebie, abyś udowodnił to na podstawie naszej definicji długości wektorów, ale długość B minus a jest równa minus 1 Raza minus B. I zostawię to tobie, abyś powiedział, że spójrz, te długości są równe. Ponieważ zasadniczo — mógłbym to zrobić, ale myślę, że można to wziąć na podstawie tylko wizualnego ich przedstawienia, że są dokładnie tymi samymi odbiorcami, tylko w różnych kierunkach. I muszę być ostrożny z długością, ponieważ nie jest tylko w dwóch wymiarach., Ale myślę, że masz pomysł i zostawię to dla ciebie, aby udowodnić, że te długości są takie same. Więc wiemy, że b jest mniejsza niż długość tych dwóch rzeczy. Więc nie musimy się o to martwić. Wreszcie, A minus B. wielkość lub długość wektora A minus B. Cóż, mogę napisać, że jako długość-lub mogę napisać, że jako wektor a plus minus B. jeśli po prostu umieścić minus B w prawo i iść w innych kierunkach, możemy powiedzieć minusb, który byłby w tym kierunku plus a dałby nasz wektor a minus B. właściwie, nie mam nawet iść tam., To oczywiste. Po prostu w nawiasach umieściłem negatyw. Cóż nierówność trójkąta, i może to wydawać się trochę przyziemne dla ciebie, ale to naprawdę pokazuje nam, że zawsze możemy zdefiniować regularny Trójkąt planarny oparty na tych wektorach w ten sposób. Mówi nam, że jest to mniej niż orequal do długości naszego wektora a plus długość minus b. i właśnie powiedziałem i możesz to sobie wyjaśnić, że jest to to samo, co Długość B. więc właśnie zobaczyliśmy, że jest to zdecydowanie mniej niż te dwa. To zdecydowanie mniej od tych dwóch. I to zdecydowanie bez znaczenia., Żaden z powodów, które mogłyby nam przeszkodzić w konstruowaniu trójkąta, nie jest prawidłowy. Tak więc zawsze możemy konstruować atriangle w ten sposób z dowolnych dowolnych niezerowektorów w Rn. Zawsze możemy to skonstruować. Teraz, aby zdefiniować kąt, pozwól mi go ponownie narysować tutaj. Pozwól, że przerysuję wektory, może trochę większe. To jest wektor A. To jest wektor B. i pozwól mi to narysować w ten sposób. Tu vectorright. To jest wektor a minus B., Powiedzieliśmy, że zdefiniujemy odpowiedni regularny, przebieg trójkąta młyńskiego, którego długości są określone długościami wektorów, długościami wektorów. Więc to jest długość b, ta strona. To jest długość a minus B. i to jest długość a. teraz, kiedy Wiem, że zawsze mogę skonstruować Trójkąt W ten sposób, mogę spróbować zdefiniować — a właściwie, zdefiniuję moją definicję kąta między dwoma wektorami. Więc wiemy, co anglemeans w tym kontekście. To tylko regularny, przebieg młyna, geometryczny Trójkąt., Teraz, moja definicja kąta między dwoma wektorami powiem — więc to jest to, co próbuję zdefiniować. To właśnie zamierzam zdefiniować. Mogą one mieć dowolną liczbę komponentów, więc trudno jest to zwizualizować. Ale zdefiniuję ten kąt jako odpowiedni kąt w regularnym, ciągłym trójkącie, gdzie boki ciągu trójkąta Milla są dwoma wektorami, a przeciwległa strona jest odejmowaniem, jest długością różnicy między dwoma wektorami. To tylko definicja., Definiuję to, kąt pomiędzy dwoma wektorami w Rn, które mogą mieć dowolną liczbę składników, definiuję ten kąt jako ten sam kąt, kąt między dwoma bokami, dwie długości tych wektorów w regularnym trójkącie. Co mogę z tym zrobić? Czy możemy znaleźć związek między tymi wszystkimi rzeczami tutaj? Pewnie. Jeśli pamiętasz z zajęć z podstawonometrii, a jeśli nie, udowodniłem to w playliście. Masz prawo cosinusów. I zrobię to z arbitralnym argumentem tutaj, tylko dlatego, że nie chcę cię mylić., Więc jeśli to jest strona A, b i cand to jest theta, prawo cosinusów mówi nam, że C kwadrat jest równy a kwadrat plus B kwadrat minus 2abkozyna theta. Zawsze uważam to za rodzaj szerszego twierdzenia Pitagorasa, ponieważ to nie musi być kąt prosty. To odpowiada wszystkim kątom. Jeśli to stanie się kątem prostym, to termin ten znika i zostaje tylko twierdzenie Pitagorasa. Ale udowodniliśmy to. Dotyczy to tylko regularnych, przebiegających trójkątów młyńskich. I na szczęście mamy tu duży, okrągły trójkąt młyński., Zastosujmy prawo cosinusów do tego trójkąta. I sposób, w jaki to narysowałem, odpowiadają. Długość tej strony do kwadratu. Czyli długość a minus b do kwadratu. Długość wektora A minus wektorb, to tylko długość tego boku. Więc po prostu wyrównuję tę stronę. Jest równa długości wektora B do kwadratu plus długości wektora a do kwadratu minus 2 razy długość … napiszę tylko 2 razy długość wektora razy długość wektora B razy cosinus tego kąta. Razy cosinusa tego kąta., I definiuję ten kąt pomiędzy tymi dwoma wektorami, aby był taki sam jak ten kąt tutaj. Więc jeśli znamy ten kąt, przez zdefiniowanie, znamy ten kąt tutaj. Cóż, wiemy, że kwadrat naszych długości wektora, gdy użyjemy naszej faktordefinicji długości, to jest to dokładnie to samo co wektor. Więc to jest kropka minusb a minus B. wszystko będzie równe temu całemu rzeczowi po prawej stronie. Ale pozwolę sobie uprościć lewą stronę tego równania. a minus B kropka a minus B, to to samo co kropka a– te dwa pojęcia–minus kropka B., I mam minus b do A. Te dwa terminy tutaj. A potem masz ich b kropka minus B. to jest to samo co a plus B kropka b. pamiętaj, że to jest tak samo odwzorowanie lewej strony. I mogę to przepisać. kropka a, wiemy, że to tylko długość kwadratu. kropka b i kropka a to to samo, więc mamy dwa takie. Więc to tutaj, ten termin tutaj uprości do minus 2 razy kropkę b. i na koniec, kropkę B. wiemy, że to tylko długość B do kwadratu. Uprościłem, a może tylko rozszerzyłem … to lepsze słowo., Kiedy przechodzisz od jednego terminu do trzech terminów, nie możesz powiedzieć, że go uprościłeś. Ale rozszerzyłem tylko stronę lewą i tak musi to być równe prawej stronie przez prawo cosinusów. Więc to jest równe … prawie jak zamiast przepisywać, pozwól mi tylko skopiować i wkleić. Co ja właśnie zrobiłem? Kopiuj, edytuj. Kopiuj i wklej. Proszę bardzo. Nie wiem, czy było warto. Ale może zaoszczędziłem trochę czasu. Więc to jest równe temu tutaj. A potem możemy uprościć. Mamy długość kwadratu tutaj, Długość kwadratu tam. Odejmij go z obu stron., Długość b do kwadratu tutaj, Długość b do kwadratu tam. Odejmij go z obu stron. A potem, co możemy zrobić? Możemy podzielić obie strony przez minus 2, ponieważ wszystko inne zniknęło. I tak ten termin i ten termin staną się 1. i wszystko, co nam zostało, to wektor a kropka wektor B. i to jest interesujące, ponieważ nagle otrzymujemy zależność między produktami kropkowymi dwóch wektorów. Oddaliliśmy się od ich definicji długością. Jednak iloczyn punktowy dwóch wektorów jest równy iloczynowi ich długości,ich długości wektorowych., I mogą mieć dowolnąliczba składników. Czasy cosinusa między nimi. Pamiętaj, ta theta, powiedziałem, że to jest to samo, jak kiedy rysujesz ten rodzaj analogicznego, regularnego trójkąta. / Align = „left” / Więc mogę powiedzieć, że to jest kąt między nimi. I oczywiście, idea połączenia dwóch wektorów, jest trudna do wizualizacji, jeśli przekroczysz trzy wymiary. Ale teraz mamy to przynajmniej, matematycznie zdefiniowane., Więc jeśli dasz mi teraz dwa wektory, używając tego wzoru, który udowodniliśmy używając tej definicji tutaj, możemy teraz obliczyć kąt między dwoma wektorami używając tego tutaj. I żeby było jasne, co się dzieje, jeśli a jest a– i może nie jest to jasne z tej definicji, więc wyjaśnię tutaj, że z definicji,jeśli a jest równe pewnej wielokrotności skalarnej b, gdzie jest większe niż 0, zdefiniujemy, że to jest równe 0. A jeśli c jest mniejsze niż 0, więc a jest zbieżne, ale idzie w dokładnie przeciwnym kierunku, zdefiniujemy theta jako równą 180 stopni., I to jest zgodne z tym, co rozumiemy o tylko dwuwymiarowych wektorach. Jeśli są kolinearne i są wielokrotnościami skalarnymi to samo. To znaczy, że a wygląda jak to, a b wygląda jak to. Więc mówimy: Och, to jest 0 kąt. A jeśli idą w drugą stronę, jeśli a wygląda jak … to jest przypadek, gdy a podąża w przeciwnym kierunku od b. A idzie w ten sposób, a b idzie w ten sposób, definiujemy kąt między nimi na 180 stopni. Ale wszystko inne jest ładnie zdefiniowane przez przykład trójkąta., Musiałem zrobić specjalny przypadek z tych, bo nie jest jasne, że naprawdę dostajesz trójkąt w tych przypadkach, ponieważ rodzaj trójkąta znika. Spłaszcza się, jeśli a i b są na szczycie siebie lub jeśli zmierzają w dokładnym kierunku. Dlatego chciałem zrobić trochę na marginesie. Teraz, używając tej definicji kąta między wektorami, możemy teraz zdefiniować ideę wektorów prostopadłych., Więc możemy teraz powiedzieć prostopadle do wektorów – to jest inna definicja-i to nie będzie rozbicie ziemi, ale to tak jakby jest, ponieważ uogólniliśmy to na wektory, które mają dużą liczbę składników. Definiujemy prostopadle do Teta między dwoma wektorami a i b, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni. I możemy to zdefiniować. Możemy wziąć dwa wektory. Weź ich produkt dot. Oblicz ich dwie długości, a potem możesz ustalić kąt między nimi. I jeśli jest 90 stopni. można powiedzieć, że sąprzekątki poprzeczne., I chcę tu być bardzo jasne, że w rzeczywistości nie jest to zdefiniowane dla 0 vectorright tutaj. Więc ta sytuacja nie jest zdefiniowana dla wektora 0. Ponieważ jeśli masz 0vector, to ta ilość tutaj będzie równa 0, a teraz ta ilość tutaj będzie równa 0. I nie ma jasnej definicji Twojego punktu widzenia. Jeśli tu jest 0, to 0 jest równe 0 razy cosinusowi theta. Więc jeśli chcesz rozwiązać theta, dostaniesz cosinus theta równy 0/0, który jest niezdefiniowany. Ale to, co możemy zrobić, to stworzyć nieco bardziej ogólne słowo niż słowo prostopadłe., Więc trzeba mieć określony kąt, aby nawet mówić o prostopadłościanie. Jeśli kąt między dwoma wektorami wynosi 90 stopni, mówimy z definicji, że te dwa wektory są prostopadłe. Ale co, jeśli zrobiliśmy to i możemy … jeśli spojrzymy na nie, jeśli kąt między dwoma wektorami wynosi 90 stopni, co to znaczy? Więc powiedzmy, że jest 90 stopni. Pozwól mi narysować linię. Powiedzmy, że jest 90 stopni. Theta jest równa 90 stopni. Co to za formuła? Mówi nam, że kropka b jest równa długości a razy długości B razy cosinof 90 stopni., Co to jest cosinus 90 stopni? Jest 0. Możesz przejrzeć swój okrąg, jeśli to nie ma sensu. Ale to jest równe 0, więc ten cały termin będzie równy 0. Jeśli więc theta jest równa 90 stopni, to kropka b jest równa 0. A więc jest to kolejny interesujący posiłek na wynos. Jeśli a i b są prostopadłe, to ich iloczyn punktowy będzie równy 0. Teraz, jeśli ich produkt dot jest równy 0, Czy możemy koniecznie powiedzieć, że sąprzedmiotowe? A co jeśli A lub bis wektor 0? Wektor 0 — pozwól mi callit z dla wektora 0. Albo mogę po prostu rysować., Kropka wektora 0 jest zawsze równa 0. Czy to oznacza, że 0vector jest prostopadły do wszystkiego? Nie. Ponieważ wektor 0, o którym mówiłem, musimy mieć pojęcie kąta między rzeczami, aby użyć słowa prostopadły. Więc nie możemy użyć wektora 0. Nie możemy powiedzieć tylko dlatego, że dwa produkty kropkowe są równe 0, że sąprzedmiotowe. A to dlatego, że wektor 0 mógłby to zepsuć, ponieważ wektor 0 nie jest zdefiniowany., Ale jeśli mówimy, i mamy beensay, że a i b są niezerowe, jeśli są niezerowymi, to możemy powiedzieć, że jeśli a i b są niezerowe, a ich iloczyn jest równy 0, to a i b są niezerowe. Więc teraz idzie w obie strony. Ale co, jeśli po prostu mamy ten stan tutaj? Co jeśli mamy tylko warunek, że kropka b jest równa 0? Wygląda na to, że to prosty, czysty stan. I możemy za to napisać słowo. I te słowa są często używane w sposób anonimowy, ale mam nadzieję, że teraz rozumiesz tę sugestię., Możemy powiedzieć, że jeśli dwa wektory są równe 0, to nazywamy je ortogonalnymi. Jak zawsze powtarzam, pisownia to nie jest mój najlepszy temat. Ale to całkiem fajny pomysł. To nam mówi, że wszystkie prostopadłe wektory są ortogonalne. A także mówi nam, że wektor 0 jest ortogonalny do wszystkiego innego. Wszystkim, nawet sobie. Wektor 0 dot 0 wciąż masz 0. Więc z definicji jest to ortogonalne., Więc po raz pierwszy prawdopodobnie w Twojej matematycznej karierze, widzisz, że słowa … Wiesz, za każdym razem, gdy po raz pierwszy zetknąłeś się ze słowami „imperdendicular” i „orthogonal” w geometrii, a może w fizyce, gdziekolwiek indziej, zawsze były w rodzaju tych samych słów. Ale teraz wprowadzam tu miłe, małe rozróżnienie i możesz być trochę sprytny w stosunku do nauczycieli. Prostopadle jest to, że wektory nie są — jeśli nie są wektorami 0. W przeciwnym razie, jeśli ich kropka wynosi 0, można tylko powiedzieć, że są ortogonalne., Ale jeśli są niezerowe, można powiedzieć, że są prostopadłe i prostopadłe. Ale w każdym razie, pomyślałem, że przedstawię ci to małe wyróżnienie na wypadek, gdybyś miał kogoś, kto lubi podrywać Cię słowami. Ale myślę też, że budujemy matematykę od podstaw i musimy uważać na słowa, których używamy. I musimy być bardzo precyzyjni co do naszych definicji., Bo jeśli nie jesteśmy dokładni w naszych definicjach i zbudujemy masę matematycznych dowodów i zrobimy kilka dowodów, pewnego dnia będziemy się drapać po głowach i czytać jakieś dwuznaczności. I mogło to wynikać z faktu, że nie byliśmy wystarczająco precyzyjni w określaniu, co niektóre z tych terminów oznaczają. W każdym razie, mam nadzieję, że uznałeś to za przydatne. Możemy teraz przyjąć kąt lub możemy teraz wyznaczyć kąt między wektorami z pewną liczbą elementów.