hace un par de videos introdujimos la idea de la longitud de un vector. Eso es igual a la longitud. Y esta fue una buena idea porque estamos acostumbrados a la longitud de las cosas en el espacio de dos o tres dimensiones, pero se vuelve muy abstracto cuando llegamos a n Dimensiones. Si esto tiene un hundredcomponents, al menos para mí, es difícil visualizar un vector hundreddimension. Pero en realidad hemos definedit noción de longitud. Y vimos que esto es actualmenteun valor escalar. Es sólo un número., En este video, quiero intentar definir la noción de un ángulo entre vectores. Como pueden ver, estamos construyendo esta matemática de vectores desde cero, y no podemos decir, Oh, sé lo que es un ángulo porque todo lo que sabemos sobre ángulos e incluso longitudes, se aplica a lo que asociamos con el espacio bidimensional. Pero todo el estudio de la linearálgebra está abstrayendo estas ideas en el espacio multidimensional. Y ni siquiera he definido lo que es la dimensión todavía, pero creo que ya entiendes ese ideato en cierto grado. Cuando la gente habla de una o dos o tres dimensiones., Así que vamos a decir que tengo somevector say vamos a decir que tengo dos vectores, vectores A y B. son distintos de cero y they’remembers de Rn. Y aún no tengo idea del ángulo entre ellos, pero déjenme dibujarlos. Permítanme dibujarlos como si pudiera dibujarlos en dos dimensiones. Por lo que sería vectora allí. Quizá sea vectorb. Y, a continuación, este vector derecha sería el vector a menos b. y se puede verificar que sólo la forma en que hemos aprendido a sumar y restar vectores. O ya sabes, esto es de cabeza a Cruz. Así que b más a menos b es por supuesto, va a ser vector a., Y todo eso funciona. Para ayudarnos a definir esta notionof ángulo, permítanme construir otro triángulo que va a parecerse mucho a este. Pero recuerden, solo estoy haciendo esto para que nuestras mentes simples lo imaginen en dos dimensiones. Pero estas no son necesariamente bestias bidimensionales. Cada uno de estos podría tener componentes ahundred. Pero déjame hacer otro triángulo. Bueno, debería ser similar. Di que se ve así. Y voy a definir los lados de los triángulos para que sean las longitudes de cada uno de estos vectores., Recuerde, las longitudes de cada uno de estos vectores, no me importa cuántos componentes hay, sólo van a ser sus números. La longitud de este lado righthere es sólo va a ser la longitud de la una. La longitud de este lado righthere es sólo va a ser la longitud del vector aminus vector b. Y la longitud de este sideright aquí va a ser la longitud del vector b. Ahora, la primera cosa que queremos introducir seguro es que siempre podemos construir un trianglelike que. ¿Y bajo qué circunstancias no podríamos construir un triángulo como este?, Bueno, no seríamos capaces de construir un triángulo como este si este lado. si b, si la magnitud sol solo me escriba esto. Es una especie de punto sutil, pero quiero dejar esto muy claro. Para definir un ángulo, quiero estar cómodo de que siempre puedo hacer esta construcción. Y necesito asegurarme de que let déjame escribir razones por las que no pude hacer esta construcción. Bueno, ¿qué pasa si la magnitud ofb era mayor que, o la longitud del vector b era mayor que la longitud del vector a más la longitud ofvector a menos b?, En dos dimensiones, nunca podría dibujar un triángulo como ese entonces porque tendrías esta longitud más esta longitud sería más corta que esta cosa aquí. Así que nunca podrías construirlo. Y podría hacerlo con todos los lados. ¿Y si esta longitud fuera mayor que uno de estos dos lados? ¿O si esa lengthwas más grande que uno de esos dos lados? Nunca podría dibujar un triángulo bidimensional de esa manera. Así que lo que voy a hacer es que voy a usar el triángulo inequ la desigualdad del triángulo vectorial para probar que cada uno de estos lados es menor o igual a la suma de los otros lados., Yo podría hacer lo mismo. Permítanme aclarar el punto. Podría demostrar que si a, por cualquier razón, era mayor que los otros lados más b, entonces no sería capaz de crear un triángulo. Y el último por supuesto isif a menos b, por cualquier razón, era mayor que los otros dos lados, simplemente no sería capaz de dibujar un triángulo en un plus b. así que necesito mostrar que para anyvectors, cualquier vector real NON distinto de cero, vectores reales que son miembros de Rn that que ninguno de estos puede suceder. Tengo que probar que nada de eso puede pasar. Entonces, ¿qué nos dice la igualdad del triángulo?, La desigualdad del triángulo dice que si tengo la suma de dos vectores, si tomo la longitud de la suma de dos vectores, que siempre va a ser menor que these y estos son vectores distintos de cero. Esto siempre va a ser menor o igual a la suma de cada uno de sus esfuerzos individuales. Así que vamos a ver si podemos aplicarlo a este triángulo de aquí. Entonces, ¿cuál es la magnitud, la longitud de a? Bueno, puedo reescribir el vector a. ¿qué es el vector a igual a? Vector A es igual a vectorb más vector a menos b. quiero decir que sólo estoy reescribiendo el vector aquí. Sólo estoy reescribiendo un aquí como asum de los otros dos vectores., Nada elegante allí. No he usado la igualdad triangular ni nada. Acabo de usar mi definición de adición de vector. Pero aquí ahora, si pongo littleparentheses aquí, Ahora puedo aplicar la desigualdad triángulo. Y yo digo, bueno, ¿sabes? Esto va a ser, por la desigualdad triangle, que hemos demostrado, va a beless que o igual a la longitud de cada uno de estos vectores. Vector b plus el lengthof vector a menos b. así que sabemos que la longitud de ais menor que la suma de que uno y que uno. Así que no tenemos que preocuparnos de que este sea nuestro problema. Sabemos que eso no es cierto., Ahora veamos b. ¿hay alguna manera de que pueda escribir b como una suma de otros dos vectores? Bueno, seguro. Puedo escribirlo como una suma de aplus, déjame ponerlo de esta manera. Si ese vector es aminus b, el mismo vector en la dirección inversa va a ser el vector b menos a. así que a más el vectorb menos a. eso es lo mismo que b. y puedes verlo aquí. Las a se cancelarían y te quedarías con la b ahí. Ahora por la desigualdad del triángulo,sabemos que esto es menor o igual a la longitud del vector a más la longitud del vector b menos a., Ahora usted está diciendo hey, Sal, usted está tratando con b menos a. esta es la longitud de a menos b. y puedo dejar esto para usted para probarlo basado en nuestra definición de longitudes de vector, pero la longitud de b menos a es igual a menos 1 timesa menos b. y voy a dejar a usted para decir que mira, estas longitudes son iguales. Porque esencialmente cou podría dejar eso, pero creo que puedes tomarlo basado en la representación visual de ellos que son los mismos evectores exactos, solo en diferentes direcciones. Y tengo que tener cuidado con la longitud porque no es solo en dos dimensiones., Pero creo que tienes la idea y voy a dejar que para que pruebes que estas longitudes son la misma cosa. Así que sabemos que b es menor que la longitud de esas dos cosas. Así que no tenemos que preocuparnos por ese de ahí. Finalmente, a menos b. la magnitud o la longitud del vector a menos b. Bueno, puedo escribir eso como la longitud de th o puedo escribir eso como vector a plusvector menos b. Si ponemos a menos B aquí y vamos en las otras direcciones, podríamos decir minusb, que estaría en esa dirección más a daría a nuestro vector a menos b. en realidad, no tengo que ir allí., Eso es obvio de esto. Solo puse el negativo entre paréntesis. Bueno, la desigualdad del triángulo, y esto puede parecer un poco mundano para usted, pero realmente nos muestra que siempre podemos definir un triángulo plano regular basado en estos vectores de esta manera. Nos dice que esto es menor que orequial a la longitud de nuestro vector a más la longitud de menos b. y acabo de decir y usted couldprove a ti mismo, que esto es la misma cosa como la longitud de b. así que acabamos de ver thatthis es definitivamente menor que esos dos. Esto es definitivamente menos que esos dos. Y eso es definitivamente menos que esos dos., Ninguna de las razones que nos impedirían construir un triángulo son válidas. Así que siempre podemos construir atriangle de esta manera a partir de cualquier arbitrario nonzerovectors en Rn. Siempre podemos construir esto. Ahora, para definir un ángulo, déjame volver a dibujarlo aquí abajo. Permítanme volver a dibujar los vectores, maybea un poco más grande. Este es el vector A. Este es el vector B. y luego permítanme dibujarlo de esta manera. Este es el vectorright allí. Ese es el vector a menos b., Y dijimos que vamos a definir un regular correspondiente, Ejecutar del molino, triángulo de vainilla cuyas longitudes se definen por las longitudes de los vectores, por las longitudes de vectores. Así que esta es la longitud de b, ese lado. Esta es la longitud de a menos b. y luego esta es la longitud de a. Ahora que sé que siempre puedo construir un triángulo como este, Puedo intentar definir tod o en realidad, definiré mi definición de un ángulo entre dos vectores. Así que sabemos lo que significa un inglés en este contexto. Esto es un triángulo geométrico normal., Ahora, mi definición de un angloentre dos vectores voy a decir this así que esto es lo que estoy tratando de definir. Esto es lo que voy a definir. Estos pueden tener un número arbitrario de componentes, por lo que es difícil de visualizar. Pero voy a definir este ángulo como el ángulo correspondiente en un regular, ejecutar de themill triángulo donde los lados de la ejecución del triángulo mill son los dos vectores y, a continuación, el lado opuesto es la resta, es la longitud de la diferencia entre los dos vectores. Esta es solo la definición., Estoy definiendo esto, el ángulo entre dos vectores en Rn que podría tener un número arbitrario de componentes, estoy definiendo este ángulo para ser el mismo como este ángulo, el ángulo entre los dos lados, las dos longitudes de esos vectores en sólo un regular, ejecutar de themill triángulo. ¿Qué puedo hacer con esto? Bueno, ¿podemos encontrar una relación entre todas estas cosas aquí? Bueno, seguro. Si recuerdas de tu clase de rigonometría, y si no, lo he probado en la lista de reproducción. Tienes la Ley de los cosenos. Y lo haré con un triángulo arbitrario justo aquí solo porque no quiero confundirte., Así que si este es el lado a, b, y cand esto es theta, la Ley de cosenos nos dice que c squaredis igual a un cuadrado más b cuadrado menos 2abcosina de theta. Siempre lo pienso como un teorema de Pitágoras más amplio porque esto no tiene que ser un ángulo recto. Tiene en cuenta todos los ángulos. Si esto se convierte en un ángulo recto,entonces este término desaparece y te quedas con thepythagorean teorema. Pero hemos demostrado esto. Esto se aplica a la ejecución regular de los triángulos de molino. Y por suerte para nosotros, tenemos aregular, Ejecutar del triángulo molino aquí., Así que vamos a aplicar la Ley de cosenos a este triángulo aquí. Y la forma en que lo dibujé,corresponden. La longitud de este lado al cuadrado. Por lo que significa la longitud de a menos B al cuadrado. Longitud del vector a menos vectorb, que es sólo la longitud de ese lado. Así que estoy cuadrando ese lado. Es igual a la longitud del vectorb al cuadrado más la longitud del vector A al cuadrado menos 2 veces La longitud Dee voy a escribir dos veces La longitud del vectora veces La longitud del vector B veces el coseno de este ángulo aquí. Por el coseno de ese ángulo., Y estoy definiendo este anglebet between estos dos vectores para ser lo mismo que este ángulo allí. Así que si conocemos este ángulo, por definición, sabemos que el ángulo allí. Bueno, sabemos que el cuadrado de nuestras longitudes de un vector cuando utilizamos nuestra definición de factor de longitud, que esto es lo mismo vector asa punteado con sí mismo. Por lo que es un punto minusb a menos b. todo va a ser igual a todo esto cosas en el lado derecho. Pero permítanme simplificar el lado izquierdo de esta ecuación. a menos b punto a menos b, esto es lo mismo que un punto a those esos dos términos minus menos un punto b., Y luego tengo menos b punto a. esos dos términos de ahí. Y luego tienes theminus b punto menos b. eso es lo mismo thingas a plus B punto B. recuerde, esto es sólo una simplificación del lado izquierdo. Y puedo reescribir esto. un punto a, sabemos que es sólo la longitud de un cuadrado. un punto b y b punto a son la misma cosa, por lo que tenemos dos de estos. Así que esto aquí, este termright allí simplificará a menos 2 veces un punto b. y finalmente, b punto b. sabemos que eso es sólo thelength de B al cuadrado. Simplifiqué o quizás expandí that esa es una palabra mejor., Cuando pasas de un término a tres términos, no puedes decir que lo simplificaste. Pero expandí solo el lado izquierdo y así esto tiene que ser igual al lado derecho por la Ley de cosenos. Así que es igual a ALM casi me siento como en lugar de reescribirlo, déjame copiarlo y pegarlo. ¿Qué acabo de hacer? Copiado, editado. Copiar y pegar. Ahí lo tienes. No creo que valiera la pena. Pero tal vez ahorré un poco de tiempo. Así que eso es igual a eso de ahí. Y luego podemos simplificar. Tenemos una longitud de asquared aquí, longitud de un cuadrado allí. Resta de ambos lados., La longitud de b al cuadrado aquí, la longitud de B al cuadrado allí. Resta de ambos lados. Y entonces, ¿qué podemos hacer? Podemos dividir ambos lados por minus 2 porque todo lo demás ha desaparecido. Y entonces ese término y ese término se convertirán en 1. y todo lo que nos queda es el vector a punto el vector B. y esto es interesante porque de repente estamos obteniendo una relationshipbet between the dot products of two vectors. Nos hemos alejado de su definición por longitudes. Pero el producto escalar de dosvectores es igual al producto de sus longitudes,sus longitudes vectoriales., Y pueden tener un número arbitrario de componentes. Veces el coseno del ángulo entre ellos. Recuerde, este theta, dije que esto es lo mismo que cuando se dibuja este tipo de análogo,triángulo regular. Pero estoy definiendo el ángulo entre ellos para que sea el mismo. Así que puedo decir que este es el ángulo entre ellos. Y obviamente, la idea de entre dos vectores, es difícil de visualizar si vas más allá de tres dimensiones. Pero ahora lo tenemos al menos, matemáticamente definido., Así que si me das dos vectores podemos ahora, usando esta fórmula que hemos demostrado usando esta definición aquí, ahora podemos calcular el ángulo entre dos vectores usando esto aquí. Y sólo para que quede claro, lo que sucede si a es a maybe y tal vez no está claro de thatdefinition, así que voy a hacer más claro aquí que por definición,Si a es igual a algún múltiplo escalar de b wherec es mayor que 0, vamos a definir thetato ser igual a 0. Y si c es menor que 0, por lo que un iscollinear, pero va en la dirección exactamente opuesta, we’lldefine theta para ser igual a 180 grados., Y eso es consistente con lo que entendemos sobre vectores bidimensionales. Si son colineales y tipo de los múltiplos escalares lo mismo. Eso significa que a se ve algo así y b se ve algo así. Así que decimos oh, that’un ángulo 0. Y si van hacia el otro lado, si a se ve algo como this este es el caso donde a va en la otra dirección de b. A va así y b va como eso, definimos el ángulo entre ellos a 180 grados. Pero todo lo demás está bien definido por el ejemplo del triángulo., Tuve que hacer el caso especial de estos porque no está claro que realmente se obtiene un triángulo en estos casos porque el trianglekind de desaparece. Se aplana si a y b están uno encima del otro o si van en la dirección exacta. Así que es por eso que quería hacer un poco de una nota al margen allí. Ahora, usando esta definición del ángulo entre los vectores, ahora podemos definir el ideaof vectores perpendiculares., Así que ahora podemos decir perpendicularvectors this esta es otra definiciónthis y esto no será la tierra rompiendo, pero Tipo de isbecause hemos generalizado esto a vectores que tienen un número de componentes anarbitrary. Estamos definiendo perpendicularpara significar el theta entre two dos vectores A y b son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90 grados. Y podemos definir eso. Podemos tomar dos vectores, puntearlos. Tome su Producto punto. Averiguar sus dos longitudes y luego se podría averiguar el ángulo entre ellos. Y si es 90 grados. se puede decir que son ángulos perpendiculares., Y quiero ser muy claro herethat que esto realmente no se define para el 0 vectorright aquí. Así que esta situación aquí, No definido para el vector 0. Porque si tienes el 0vector, entonces esta cantidad aquí va a ser 0 y luego esta cantidad aquí va a ser 0. Y no hay una definición clara de tu ángulo. Si esto es 0 aquí, youdid 0 es igual a 0 veces coseno de theta. Y así que si quieres solvefor theta obtendrías coseno de theta es igual a 0/0, que es indefinido. Pero lo que podemos hacer es crear una palabra ligeramente más general que la palabra perpendicular., Así que tienes que tener un definedangle incluso hablar de perpendicular. Si el ángulo entre dos vectorsis 90 grados, estamos diciendo Por definición, esos dos sectores son perpendiculares. Pero, ¿qué pasa si hacemos la declaración y podemos look si nos fijamos en ellos, si el ángulo entre dos vectores es de 90 grados, ¿qué significa eso? Así que digamos que thetais 90 grados. Permítanme trazar una línea aquí. Digamos que el thetais 90 grados. Theta es igual a 90 grados. ¿Qué nos dice esta fórmula? Nos dice que un punto b es igual a la longitud de a veces La longitud de B veces coseno de 90 grados., ¿Qué es coseno de 90 grados? Es 0. Puede revisar el círculo de su unidad si eso no tiene mucho sentido. Pero eso es igual a 0, así que este término entero va a ser igual a 0. Así que si theta es igual a 90 grados, entonces un punto b es igual a 0. Y esta es otra comida para llevar interesante. Si a y b son perpendiculares, entonces su producto escalar va a ser igual a 0. Ahora, si su producto escalar es igual a 0, ¿podemos decir necesariamente que son perpendiculares? Bueno, ¿qué pasa si a O bis el vector 0? El vector 0 let permítanme callit z para 0 vector. O podría dibujar., El vector 0 punto nada isalways va a ser igual a 0. ¿Eso significa que el 0vector es perpendicular a todo? Bueno, no. Porque el vector 0 dije, tenemos que tener la noción de un ángulo entre las cosas para usar la palabra perpendicular. Así que no podemos utilizar el vector 0. No podemos decir solo porque los productos dot de dos sectores son iguales a 0 que son perpendiculares. Y eso es porque el vectorwould 0 estropear eso porque el vectoris 0 no está definido., Pero si decimos, y hemos estado diciendo, que a y b son distintos de cero, si son no-cero, entonces podemos decir que si a y b son distintos de cero y su producto es igual a 0, entonces a y b son perpendiculares. Así que ahora va en ambos sentidos. Pero, ¿y si tenemos esta condición aquí? ¿Qué pasa si sólo tenemos la condición de que un punto b es igual a 0? Parece que es una condición simple y pura. Y podemos escribir una palabra para eso. Y estas palabras se usan a menudo sinonímicamente, pero espero que entiendas la distinción ahora., Podemos decir que si dos vectorsdot producto es igual a 0, los llamaremos ortogonales. Como siempre digo, la ortografía no es mi mejor tema. Pero esta es una buena idea. Esto nos dice queall bueno, que todos los vectores perpendiculares son ortogonales. Y también nos dice que el vector 0 es ortogonal a todo lo demás. A todo, incluso a sí mismo. El 0 punto 0 vectoryou todavía obtener 0. Por definición, es ortogonal., Así que por primera vez, probablemente en tu Carrera Matemática, estás viendo que las palabras know ya sabes, cada vez que te expones a las palabras perpendicular y ortogonal en Geometría o tal vez en física o en cualquier otro lugar, siempre fueron como las mismas palabras. Pero ahora estoy introduciendo una pequeña distinción aquí y puedes ser un poco inteligente con los profesores. Oh, ya sabes, es perpendicular sólo es los vectores no son ne si neitherof ellos son 0 vector. De lo contrario, si su punto productis 0, sólo se puede decir que son ortogonales., Pero si son distintos de cero podrías decir que son ortogonales y perpendiculares. Pero de todos modos, pensé que debería introducir esta pequeña distinción para usted en caso de que tenga a alguien que le gusta tropezar con palabras. Pero también creo que destaca que estamos construyendo una matemática desde cero y tenemos que tener cuidado con las palabras que usamos. Y tenemos que ser muy precisos sobre nuestras definiciones., Porque si no somos precisos sobre nuestras definiciones y construimos un montón de matemáticas sobre esto y hacemos un montón de pruebas, un día podríamos rascarnos la cabeza y leer algún tipo de rara ambigüedad. Y todo podría haber salido del hecho de que no fuimos lo suficientemente precisos en la definición de cualquiera de estos Términos significa. Bueno de todos modos, espero que hayas encontrado esto útil. Ahora podemos tomar el ángulo o podemos ahora determinar el ángulo entre vectores con un número de componentes anarbitrary.