pari videota sitten esitimme ajatuksen vektorin pituudesta. Se vastaa pituutta. Ja tämä oli siisti idea, koska olemme tottuneet asioiden pituuteen kaksiulotteisessa avaruudessa, mutta siitä tulee hyvin abstrakti, kun pääsemme n-ulottuvuuksiin. Jos tässä on sadasosat, ainakin minulle, on vaikea kuvitella sadasosan vektoria. Mutta me määrittelimme sen pituuden. Ja näimme, että tämä on aktuallya skalaariarvo. Se on vain numero., Tässä videossa haluan yrittää määritellä käsitteen kulma vektorien välillä. Kuten näette, olemme buildingup tämä matematiikka vektorit maasta ylös, ja me emme voi vain sanoa, oh, tiedän, mitä kulma on becauseeverything tiedämme kulmat ja jopa pituudet, se koskee mitä liitämme kaksi – orthree-ulotteinen avaruus. Mutta koko linearalgebran tutkimus abstrahoi nämä ideat moniulotteiseksi avaruudeksi. En ole vielä edes määritellyt, mitä mahtaa olla, mutta taidat ymmärtää, että ideato on jo jossain määrin. Kun puhutaan yhdestä ortwosta tai kolmesta ulottuvuudesta., Sanotaan, että minulla on joku vektori– sanotaan, että minulla on kaksi vektoria, vektorit a ja b. he ovat nonzero ja he ovat RN: n jäseniä. Minulla ei ole vielä käsitystä heidän välisestään kulmasta, mutta Saanen vetää ne esiin. Piirrän ne ikään kuin voisin piirtää ne kahteen ulottuvuuteen. Se on siis vectora. Ehkä se on vectorb. Ja sitten tämä vektori rightthere olisi vektorin a miinus b. Ja voit tarkistaa, että juuri kuten olemme oppineet, lisätä ja vähentää vektoreita. Tai tämä on kuin klaava. B plus a miinus b on tietenkin vektori a., Ja se kaikki toimii tuolla. Auttaaksemme meitä määrittelemään tämän kuvakulman, anna minun rakentaa toinen kolmio, joka on menossa näyttämään paljon tältä. Mutta muista, että teen tämän vain, jotta mielemme kuvittelisivat sen kahdessa ulottuvuudessa. Mutta nämä eivät ole välttämättömiä kaksiulotteisia petoja. Näissä kaikissa saattoi olla runsaasti komponentteja. Mutta anna minun tehdä jotain uutta. Sen pitäisi näyttää samanlaiselta. Sano, että se näyttää tuolta. Ja aion määritellä thesides kolmiot olla pituudet kullakin näistä vektoreista., Muista, pituudet kunkin näistä vektoreista, en välitä kuinka monta komponenttia on, ne ovat vain sinun numerosi. Joten pituus tällä puolella righthere on vain pituus. Pituus puolella righthere on vain pituus vektori aminus vektori b. Ja pituus tämän sideright täällä on menossa olla pituus vektorin b. Nyt ensimmäinen asia, me haluamme tomake varma on, että emme voi aina rakentaa trianglelike, että. Millaisissa olosuhteissa emme voisi rakentaa kolmiomittausta?, No, me emme olisi ableconstruct kolmion näin, Jos tällä puolella. jos B, jos magnitudi … kirjoita tämä ylös. Se on hienovaraista, mutta haluan tehdä tämän selväksi. Jotta voidaan määritellä kulma, Haluan olla mukava, että voin aina tehdä tämänrakentamisen. Ja minun täytyy varmistaa, että–anna minun kirjoittaa syyt, miksi en voinut tehdä tätä rakentamista. No mitä jos suuruus ofb oli suurempi, kuin, tai pituus vektorin b oli suurempi kuin pituus vektori plus pituus ofvector miinus b?, Kaksi ulottuvuutta, voisin neverdraw kolmio, kuten että sitten, koska sinulla olisi tämä pituus plus tämä pituus olisi lyhyempi thanthis juttu täällä. Jotta et voisi koskaan jäsentää sitä. Voisin tehdä mitä tahansa. Mitä jos tämä pituus olisi suurempi kuin toinen näistä kahdesta puolesta? Tai entä jos tuo pituus on suurempi kuin toinen näistä kahdesta puolesta? En voisi koskaan piirtää kaksiulotteista kolmiota sillä tavalla. Joten mitä aion tehdä, on aion käyttää kolmio– vektori kolmio inequalityto todista, että kaikki nämä osapuolet on vähemmän kuin tai yhtä suuri tothe summa muut sivut., Voisin tehdä samoin. Haluan tehdä asian selväksi. En voisi näytä, että jos a, forwhatever syystä oli suurempi kuin muut sivut plus b,niin en voi luoda kolmio. Ja viimeisenä tietenkin isif miinus b, jostain syystä, oli suurempi kuin muut kaksi puolta, en voi drawa kolmio plus b. Minun täytyy näyttää, että anyvectors, mitään todellista vektorit– nollasta poikkeava, todellinen vektoreita, jotka aremembers Rn-että mikään näistä voi koskaan tapahtua. Minun on todistettava, ettei sellaista voi tapahtua. Mitä triangleinekvenssi kertoo?, Kolmio epätasa-arvo tellsus, että jos minulla on summa kahdesta vektorista, jos otan thelength summa kahdesta vektorista, että se on alwaysgoing olla alle– ja nämä ovat nollasta poikkeavia vektoreita. Tämä tulee aina olemaan vähemmän tai yhtä suuri kuin summa kunkin individuallengths. Katsotaan, saammeko sen tähän kolmioon. Joten mikä on suuruus, pituus a? Voin kirjoittaa vektori a: n uudelleen. Vektori on yhtä suuri kuin vectorb plus vektori a miinus b. Olen vain rewritingthe vektori täällä. Kirjoitan tämän uudelleen kahden muun vektorin asumiksi., Ei mitään hienoa. En ole käyttänyt triangleinekvaliteettia tai mitään. Käytin juuri vektorilisäykseni määritelmää. Mutta tässä nyt, jos laitan pikkuvanhemmat tähän, nyt voin soveltaa kolmion epätasa-arvoa. Ja minä sanon, että tiedätkö mitä? Tämä tulee olemaan, thetriangle epäyhtälö, jonka olemme osoittaneet, se tulee olemaan beless tai yhtä pitkä kunkin näistä vektoreista. Vektori b plus vektorin a pituus miinus B. joten tiedämme, että AIS: n pituus on pienempi kuin kyseisen Ja tämän summa. Joten meidän ei tarvitse huolehtia siitä, että tämä on meidän ongelmamme. Tiedämme, ettei se ole totta., Katsotaanpa nyt b. joten onko mitään keinoa, että voin kirjoittaa B summa kaksi muuta vektorit? Totta kai. Voin kirjoittaa sen aplusin summana. Jos vektori on aminus b, sama vektori vastakkaiseen suuntaan on tulossa vektori b miinus. Niin plus vectorb miinus. Se on sama asia kuin b. Ja voit nähdä sen täällä. A: t peruuttaisivat, ja sinä jätät b: n sinne. Nyt by kolmio epäyhtälö, tiedämme, että tämä on vähemmän tai yhtä pitkä kuin vektorin a plus pituus vektori B miinus a., Nyt sanot, että hei, Sal,olet tekemisissä b miinus. Tämä on lengthof miinus b. Ja en voi jättää tätä varten sinun todistaa se perustuu meidän määritelmä vektorin pituudet,mutta pituus b miinus on yhtä suuri kuin miinus 1 timesa miinus b. Ja jätän sen sinun sanoa, että katso, nämä pituudet ovat yhtä suuret. Koska periaatteessa-voisin hyväksyä sen, mutta uskon, että voit ottaa sen perustuen vain kuvaukseen, että he ovat täsmälleen samevektorit, eri suuntiin. Ja minun täytyy olla varovainen sen kanssa, koska se ei ole vain kahdessa ulottuvuudessa., Mutta luulen, että ymmärrät, että andI jättää sen todistaaksesi, että nämä pituudet ovat sama asia. Joten tiedämme, että b on vähemmän kuin pituus nämä kaksi asiaa. Meidän ei siis tarvitse huolehtia tuosta. Lopuksi, a miinus b. Suuruus tai lengthof vektori a miinus b. No en voi kirjoittaa, että thelength-tai voin kirjoittaa, että vektori a plusvector miinus b. Jos me vain laittaa miinus b rightthere ja mennä toiseen suuntaan, voisimme sanoa, minusb, joka olisi siihen suuntaan ja olisi giveus meidän vektori a miinus b. Oikeastaan, en evenhave mennä sinne., Se on selvää tästä. Laitoin negatiivit sulkeisiin. No kolmio epätasa-arvoa,ja tämä saattaa tuntua hieman arkipäiväinen, mutta se reallyshows meille, että voimme aina määritellä säännöllinen planar trianglebased nämä vektorit tällä tavalla. Se kertoo meille, että tämä on vähemmän kuin orequal pituus meidän vector plus lengthof miinus b. Ja minä vain sanoi ja couldprove itsellesi, että tämä on sama asia kuin pituus b. Joten me vain näki, että tämä on ehdottomasti vähemmän kuin nuo kaksi. Tämä on ehdottomasti vähemmän kuin nuo kaksi. Ja se on täysin mahdotonta kuin nuo kaksi., Mikään niistä syistä, jotka pitäisivät meitä rakentamasta kolmio ovat päteviä. Joten voimme aina rakentaa atriangle tällä tavalla mistä tahansa mielivaltaisesta nonzerovectors RN. Voimme aina rakentaa tämän. Määrittelen kulman uudelleen täällä. Laitan vektorit uusiksi, maybea vähän isompi. Vektori a, tässä vektori b, – ja anna minun tehdä se näin. Tämä on vectorright. Se on vektori a miinus b., Ja me sanoimme, että me määrittelemme vastaavan säännöllisen myllyn, vaniljakolmion, jonka pituudet määritellään vektorien pituuksien ja vektoripituuksien mukaan. Tämä on siis b: n pituus, tuo puoli. Tämä on lengthof miinus b. Ja sitten tämä on thelength on. Nyt tiedän, että en canalways rakentaa kolmio, kuten tämä, en voi yrittää todefine– tai oikeastaan, aion määritellä oma määritelmä anglebetween kaksi vektoria. Joten tiedämme, mitä anglemealaiset tässä yhteydessä. Tämä on vain tavallinen, juoksumylly, geometrinen kolmio., Määrittelen kahden vektorin välisen anglebetweenin, joten tätä minä yritän määritellä. Tätä minä lähden määrittelemään. Näissä voi olla mielivaltainen määrä komponentteja, joten se on vaikea visualisoida. Mutta aion määritellä thisangle kuin vastaava kulma säännöllisesti, ajaa themill kolmio, jossa puolin ajaa tehtaan triangleare kaksi vektorit ja sitten vastakkaiselle puolelle isthe vähennys -, pituus ero välinen kaksi vektoria. Tämä on vain määritelmä., Olen määritellään tämän, anglebetween kaksi vektorit Rn, joka voi olla mielivaltainen määrä osia, olen määritellään tämä kulma olla sama kutentämä kulma, kulma välillä kaksi puolta, kaksi lengthsof ne vektorit tavallinen, ajaa themill kolmio. Mitä voin tehdä tällä? Voimmeko löytää yhteyden kaikkien näiden asioiden välillä? Totta kai. Jos muistat tunniltasi, ja jos et muista, olen todistanut sen soittolistassa. Sinulla on cosinesin laki. Teen sen välimiehellä, koska en halua hämmentää sinua., Joten jos tämä on puolella a -, b -, ja cand tämä on theta, kosinilause kertoo meille, että c squaredis yhtä suuri kuin a toiseen plus b toiseen miinus 2abcosine theeta. Ajattelen sitä aina kindof laajemman Pythagoraan lause, koska thisthing ei tarvitse olla oikeassa kulmassa. Se selittää kaikki kulmat. Jos tästä tulee oikea kulma, niin tämä termi katoaa ja olet vain jäljellä thePythagorean lause. Mutta olemme todistaneet tämän. Tämä koskee vain säännöllistä, ajaa myllyn kolmiot. Onneksemme täällä on myllykolmio., Sovelletaanpa kosinien lakia tähän kolmioon. Ja miten piirsin sen, ne vastaavat. Pituus thisside neliö. Eli A miinus B: n pituus. Vektorin a pituus miinus vectorb, se on vain sen sivun pituus. Minä vain väännän sitä puolta. Se on yhtä suuri kuin pituus vectorb toiseen plus pituus vektorin a potenssiin miinus 2 timesthe pituus– kirjoitan kaksi kertaa pituus vectora kertaa pituus vektorilla b kertaa kosini tämä kulma juuri tänne. Ajat tuon kulman takana., Määrittelen, että näiden kahden vektorin välinen anglebet on sama kuin tässä. Jos tiedämme tämän kulman, bydefinition, tiedämme sen kulman. Tiedämme, että vektorin pituuksien neliö, – kun käytämme faktordefinitiotamme pituudesta, – että tämä on sama asia kuin vektori, joka on täynnä itseään. Niin, että on minusb piste a miinus b. Se on kaikki yhtä tämän koko jutun oikeassa reunassa. Mutta yksinkertaistan tämän yhtälön vasenta puolta. a miinus B piste A miinus B, Tämä on sama asia kuin piste a–nuo kaksi ehtoa — miinus piste b., Sitten minulla on miinus B piste a. Ja sitten on theminus b piste miinus b. Se on sama asia plus b piste b. Muista, että tämä on vain varten vasemman käden puolella. Voin kirjoittaa tämän uusiksi. piste a, tiedämme, että se on vain pituus neliö. piste b ja piste a ovat sama asia, joten näitä on kaksi. Joten tämä täällä, tämä termright on yksinkertaistaa miinus 2 kertaa piste b. Ja sitten lopuksi, b piste b. Me tiedämme, että se on vain thelength b potenssiin. Yksinkertaistin vain tai ehkä vain laajensin … se on parempi sana., Kun menet yhdestä termistä kolmeen termiin, et voi sanoa yksinkertaistanut sitä. Mutta laajensin vain kääntöpuolta, joten tämän on oltava cosinesin lain mukaan oikeanpuoleinen. Joten se on yhtä kuin — en tunne kuten sen sijaan, että kirjoittaisin sen uudelleen, anna minun vain kopioida ja liittää se. Mitä minä juuri tein? Kopioi, muokkaa. Kopioi ja liitä. Ole hyvä. En tiedä, oliko se sen arvoista. Mutta ehkä säästin vähän aikaa. Se on siis yhtä suuri kuin tuo tuossa. Ja sitten voimme yksinkertaistaa. Meillä on asquared täällä, pituus on neliö siellä. Vähennä se molemmilta puolilta., B: n pituus on tässä, B: n pituus on siinä. Vähennä se molemmilta puolilta. Mitä voimme sitten tehdä? Voimme jakaa molemmat puolet byminus 2, koska kaikki muu on kadonnut. Ja niin, että aikavälillä ja että termwill sekä tulla 1. Ja kaikki olemme jäljellä on thevector piste vektori b. Ja tämä on mielenkiintoista, koskakaikki yhtäkkiä saamme relationshipbetween piste tuotteet kaksi vektoria. Olemme tavallaan poistuneet niiden määritelmästä pituuksilla. Mutta twovektorien pistetuote on yhtä suuri kuin niiden pituuksien,niiden vektoripituuksien tuote., Ja heillä voi olla mielivaltainenmäärä komponentteja. Se on heidän välillään. Muista, tämä theta, minä saidthis on sama kuin kun piirrät tällaista analogista, säännöllistä kolmiota. Mutta määrittelen anglebetweenin samaksi. Joten voin sanoa, että tämä on niiden välinen kulma. Ja ilmeisesti, ajatus kahden vektorin välillä, on vaikea kuvitella, jos menet yli kolme ulottuvuutta. Mutta nyt se on ainakin matemaattisesti määritelty., Joten jos voit antaa minulle kaksi vektorit voimme nyt käyttää tätä kaavaa, että olemme osoittaneet, käyttäen thisdefinition täällä, voimme nyt laskea kulma betweenany kaksi vektorit käyttämällä tätä täällä. Ja vain tehdä selväksi, mitä tapahtuu, jos on … ja ehkä se ei ole selvää, thatdefinition, niin minä sen selventämiseksi, että täällä määritelmän,jos se on yhtä suuri joidenkin skalaari useita b-wherec on suurempi kuin 0, me määritellä thetato olla yhtä suuri kuin 0. Ja jos c on alle 0, niin iscollinear, mutta menee täsmälleen vastakkaiseen suuntaan, me ’ lldefine theta on yhtä kuin 180 astetta., Se sopii yhteen kaksiulotteisten vektoreiden kanssa. Jos ne ovat kollineaarisia ja skalaarisia kerrannaisia sama. Se tarkoittaa, että näyttää vähän, että ja b näyttää, että. Joten sanomme oh, that ’ Sa 0 kulma. Ja jos he menevät toiseen suuntaan,jos näyttää jotain-tämä on tapaus, jossa on vain menossa toiseen suuntaan b. a menee näin ja b menee mieleeni, me määrittää kulma niiden välillä be180 astetta. Mutta kaikki muu on prettywell määritelty kolmion esimerkki., Jouduin tekemään erikoiskysymykset näistä, koska ei ole selvää, että saat triangleinin näissä tapauksissa, koska trianglekind katoaa. Se tasoittuu jos a ja b areon toistensa päälle tai jos he ovat menossa exactopposite suuntaan. Siksi halusin tehdä pienen sivuhuomautuksen. Tällä vektorien välisen kulman määritelmällä voimme nyt määritellä kohtisuorien vektorien ideaofin., Joten voimme nyt sanoa, perpendicularvectors-tämä on toinen määritelmä– ja tämä ei ole maa väsyttävä, mutta se eräänlainen euroopan meillä on yleistynyt tämän vektorit, jotka ovat anarbitrary määrä osia. Olemme määritellään perpendicularto tarkoita theta välillä– kaksi vektoria a ja b areperpendicular, jos niiden välinen kulma on 90 astetta. Voimme määritellä sen. Voimme ottaa kaksi vektoria. Ota heidän pistetuotteensa. Selvitä heidän kaksi pituuttaan ja selvitä niiden välinen kulma. Ja jos on 90 astetta. voit sanoa, että ne ovatpendicular kulmat., Ja haluan tehdä hyvin selväksi, että tätä ei oikeastaan ole määritelty 0 vectorright tässä. Tämä tilanne ei ole määritelty 0-vektorille. Koska jos sinulla on 0vektori, niin tämä määrä täällä tulee olemaan 0 ja tämän määrän täällä tulee olemaan 0. Eikä sinun näkökulmastasi ole selvää määritelmää. Jos tämä on 0 tässä, youdid 0 on yhtä suuri kuin 0 kertaa cosine of theta. Ja niin jos haluat ratkaista theta saisit cosine of theta on 0/0, joka on määrittelemätön. Mutta mitä voimme tehdä, on luoda aslightly yleisempi sana kuin sana kohtisuorassa., Joten sinun täytyy olla määritelty kangerrus jopa puhua kohtisuorassa. Jos kulma kahden vectorsis 90 astetta, sanomme määritelmällisesti, että ne twovektorit ovat kohtisuorassa. Mutta mitä jos me teemme tämän ja voimme — Jos katsotte niitä, jos kahden vektorin välinen kulma on 90 astetta, mitä se tarkoittaa? Sanotaan, että thetais 90 astetta. Vedän rajan tähän. Sanotaan, että thetais 90 astetta. Theta on yhtä kuin 90 astetta. Mitä tämä kaavailee meille? Se kertoo, että piste b on yhtä pitkä kuin kertaa pituus B kertaa kosineof 90 astetta., Mikä on 90 asteen cosine? Se on 0. Voit tarkistaa yksikkösi circleif, joka ei ole paljon järkeä. Mutta se on yhtä kuin 0, joten tämä on yhtä kuin 0. Joten jos theta on yhtä suuri kuin 90 astetta, niin piste b on yhtä suuri kuin 0. Joten tämä on toinen interinteresting takeaway. Jos a ja b ovat kohtisuorassa,niin niiden pistetulo on 0. Nyt jos niiden piste tuote onequal 0, voimmeko välttämättä sanoa, että ne ovatpendicular? Entä jos A tai bis 0 vektori? 0 vektori– anna minun callit z 0 vektorille. Tai voisin vain piirtää., 0 vektori piste mitään isalways tulee olemaan yhtä 0. Tarkoittaako se, että 0vektori on kohtisuorassa kaikkeen? No ei. Koska 0-vektori sanoin, meillä on käsite, jonka kulma asioita monena käyttää sanaa kohtisuorassa. Emme voi käyttää 0 vektoria. Emme voi sanoa vain koska twovectors piste tuotteet ovat yhtä kuin 0, että ne ovatpendicular. Ja se johtuu siitä, että 0 vectorwould sotkea sen, koska 0 vectoris Ei määritelty., Mutta jos me sanomme, ja me olemme beensaying, että a ja b ovat nollasta poikkeavia, jos ne ovat nonzerovectors, sitten voimme sanoa, että jos a ja b ovat nollasta poikkeavia ja theirdot tuote on yhtä suuri kuin 0, niin a ja b areperpendicular. Nyt se menee molempiin suuntiin. Mutta entä jos meillä on tämä kapina tässä? Entä jos meillä on vain käsitys, että piste b on yhtä kuin 0? Tuntuu, että se on vain yksinkertainen, puhdas tila. Voimme kirjoittaa siitä kunniamaininnan. Ja näitä sanoja käytetään usein anonyymisti, mutta toivottavasti ymmärrät sen nyt., Voimme sanoa, että jos kaksi vectorsdot tuote on yhtä suuri kuin 0, kutsumme niitä ortogonaaliset. Kuten aina sanon, Spelling ei ole paras aiheeni. Mutta tämä on siisti idea. Tämä kertoo, että … No, että kaikki kohtisuorat vektorit ovat ortogonaalisia. Se kertoo myös, että the0-vektori on ortogonaalinen kaikkeen muuhun. Kaikkeen, jopa itseensä. 0 piste 0 Vector you silti saada 0. Se on siis ortogonaalinen., Joten ensimmäistä kertaa probablyin matemaattisia uran, että olet nähdä, että sanat-tiedätkö, joka kerta kun ensimmäinen sai alttiina wordsperpendicular ja kohtisuorassa geometria tai ehkä physicsor missä tahansa muualla, ne olivat aina ystävällisiä ofthe samat sanat. Mutta nyt olen esittelemässä mukavaa, pientä eroa täällä ja voit olla vähän fiksu aleck opettajien kanssa. Vektorit eivät ole kohtisuorassa, jos ne ovat 0 vektoria. Muuten, jos niiden piste productis 0, voit vain sanoa, että ne ovat ortogonaalisia., Mutta jos ne ovat nonzero sinun pitäisi sanoa, että ne ovat ortogonaalisia ja kohtisuorassa. Mutta joka tapauksessa, ajattelin, että esittelisin tämän pienen eron sinulle, jos sinulla on joku, joka haluaa kompastuttaa sinut sanoilla. Mutta mielestäni korostuu myös se, että rakennamme matematiikkaa alusta alkaen ja meidän on oltava varovaisia käyttämiemme sanojen suhteen. Meidän on oltava hyvin tarkkoja määritelmistämme., Koska jos emme ole preciseabout meidän määritelmät ja me rakentaa joukko mathematicson alkuun tämän ja tehdä nippu todisteita, yksi päivä-voidaan raapia päämme ja lukea joitakin tyyppi outoa epäselvyyttä. Ja se on voinut kaikki tuli ulos siitä, että emme olleet tarpeeksi tarkkoja määrittelyssä whatsome näiden termien tarkoita. Toivottavasti olet löytänyt tämän hyödyllisen. Voimme nyt ottaa kulman tai wecan nyt määrittää kulman vektorien kanssa anarbitrary määrä komponentteja.