néhány videó ezelőtt bemutattuk a vektor hosszának ötletét. Ez megegyezik a hosszával. És ez egy ügyes ötlet volt, mert megszoktuk, hogy a dolgok hossza két – vagy háromdimenziós térben van, de nagyon elvont, amikor n dimenziókhoz jutunk. Ha ez százkomponensekkel rendelkezik, legalábbis nekem, nehéz elképzelni a százdimenziós vektort. De valójában meghatároztuk a hosszúság fogalmát. És láttuk, hogy ez valójában skalár érték. Ez csak egy szám., Ebben a videóban meg akarom próbálnihogy meghatározza a vektorok közötti szög fogalmát. Amint látod, mi vagyunk buildingup ez a matematika a vektorok a földről fel, csak mondd, ó, én tudom, mi az a szög becauseeverything tudunk szögek, s még messzire, csak érvényes, amit társítani két – három-dimenziós térben. De a linearalgebra teljes tanulmánya ezeket az ötleteket többdimenziós térbe vonja. És még azt sem határoztam meg, hogy mi az, de azt hiszem, már megérted ezt az ideát. Amikor az emberek egy vagy két vagy három dimenzióról beszélnek., Tegyük fel, hogy van egy-két vektorom, az a és a b vektorom, ezek nem zérók és az Rn tagjai. És még nem tudom, hogy milyen szög van közöttük, de hadd vonjam ki őket. Hadd rajzoljam meg őket, ahogy két dimenzióba tudnám rajzolni őket. Szóval az ott vectora lenne. Talán az ott vectorb. És akkor ez a vektor pont az a mínusz b vektor lenne, és ellenőrizhető, hogy csak a vektorok hozzáadását és kivonását tanultuk meg. Vagy tudod, hogy ez nem más, mint az írás. Tehát b plusz a mínusz b természetesen az a vektor lesz., És ez az egész csak működik odakint. Hogy segítsünk meghatározni ezt a szöget, hadd építsek egy másik háromszöget, ami nagyon hasonlít erre. De ne feledd, csak azért csinálom ezt, hogy az egyszerű elménk elképzelje két dimenzióban. De ezek nem feltétlenül kétdimenziós vadállatok. Ezek mindegyike lehet ahundred alkatrészek. De hadd csináljak még egyetháromszög. Nos, hasonlónak kell lennie. Mondd, hogy így néz ki. És meg fogom határozni, hogy a háromszögek milyen hosszúságúak ezeknek a vektoroknak., Ne feledje, hogy az egyes Vektorok hossza, nem érdekel, hány összetevő van, csak a számod lesz. Így a hossza erre az oldalra, pont itt lesz a hossza. A hossza erre az oldalra, pont itt lesz a hossza vektor aminus vektor b. A hossza ez a sideright itt lesz a hossza vektor b. Most az első dolog, amit meg akarunk bizonyosodni róla, hogy mindig lehet építeni egy trianglelike, hogy. És milyen körülmények között ne építsünk ilyen háromszöget?, Nos, mi nem építenénk fel egy ilyen háromszöget, ha ez az oldal lenne. ha b, ha a nagyság — solet nekem ezt írja le. Ez egyfajta finom pont, de ezt nagyon világossá akarom tenni. Annak érdekében, hogy meghatározzuk a szöget, azt akarom, hogy kényelmes legyen, hogy mindig ezt csinálhassamépítészet. És meg kell bizonyosodnom arról, hogy … hadd írjam meg, miért nem tudtam ezt megtenni. Nos, mi van, ha a B vektor nagysága nagyobb volt, vagy a B vektor hossza nagyobb volt, mint az a vektor hossza, plusz az a mínusz B vektor hossza?, Két dimenzióban soha nem tudtam ilyen háromszöget rajzolni, mert akkor ezt a hosszúságot, plusz ezt a hosszúságot rövidebb lenne, mint ez a dolog itt. Hogy soha ne tudjál kibékülni vele. És az összes oldalt meg tudnám csinálni. Mi van, ha ez a hossz nagyobb volt, mint a két oldal egyike? Vagy mi van, ha ez a hossz nagyobb, mint a két oldal egyike? Sosem tudnék így rajzolni egy kétdimenziós háromszöget. Tehát azt fogom tenni, hogy a háromszöget fogom használni– a vektor háromszög egyenlőtlenséghogy bebizonyítsam, hogy mindegyik oldal kisebb vagy egyenlő a másik oldal összegével., Én is megtehetném. Hadd tisztázzam a lényeget. Meg tudtam mutatni, hogy ha a, bármilyen okból is, nagyobb volt, mint a másik oldal plusz b, akkor nem tudnék háromszöget létrehozni. És az utolsó természetesen a mínusz b, bármilyen okból, nagyobb volt, mint a másik két oldal, csak nem lennék képes felhívni a háromszög egy plusz b. így meg kell mutatni, hogy minden Vektorok, minden igazi Vektorok– nonzero, igazi Vektorok, amelyek tagjai Rn- , hogy ezek közül egyik sem történhet meg. Be kell bizonyítanom, hogy ezek nem történhetnek meg. Tehát mit mond nekünk a háromszög?a valóság?, A háromszög egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha két vektor összege van, ha a két vektor összegének a nagyságát veszem figyelembe, az mindig kevesebb lesz, mint– és ezek nem nulla Vektorok. Ez mindig kisebb lesz, mint vagy egyenlő az egyes egyének összegévelhosszát. Lássuk, hogy tudjuk-e ezt alkalmazni erre a háromszögre itt. Tehát mi a nagysága, a hossza? Nos, át tudom írni az a vektort. Az a vektor egyenlő a vektorb plusz a vektorral mínusz b. Úgy értem, csak átírom a vektort itt. Csak újraírok egy itt asum a másik két Vektorok., Semmi különös. Nem használtam a háromszöget, vagy ilyesmi. Most használtam a definitionof vektor hozzáadását. De itt most, ha kicsi betűket teszek ide, most alkalmazhatom a háromszög egyenlőtlenséget. És azt mondom, Nos, tudod mit? Ez az egyenlőtlenség, amit bebizonyítottunk, nem lesz egyenlő az egyes Vektorok hosszával. Vektor B plusz a hossza vektor mínusz B. tehát tudjuk, hogy a hossza AIS kisebb, mint az összeg, hogy az egyik, hogy az egyik. Tehát nem kell aggódnunk amiatt, hogy ez a mi problémánk. Tudjuk, hogy ez nem igaz., Most nézzük meg b. tehát van-e mód arra, hogy tudjamírja a b-t két másik vektor összegeként? Hát persze. Azt lehet írni, mint egy összeg aplus, hadd fogalmazzak így. Ha az a vektor ott van aminus b, akkor ugyanaz a vektor a fordított irányban megy, hogy legyen a b vektor mínusz a. tehát a plusz a vektorb mínusz a. ez ugyanaz, mint a b. és itt láthatja. Az a-K lemondják, és te csak a b-vel maradsz. Most a háromszög egyenlőtlenség, tudjuk, hogy ez kisebb vagy egyenlő aa vektor hossza plusz a B vektor hossza mínusz a., Most azt mondod, hogy Hé, Sal, b mínusz a-Val foglalkozol. ez a hossza a mínusz b-nek. és ezt hagyhatom neked, hogy bebizonyítsam a vektorhosszok meghatározása alapján, de a b mínusz a hossza egyenlő mínusz 1 timesa mínusz b-vel. Mert lényegében — ezt nem hagyhatom, de azt hiszem, ezt csak az alapján lehet felfogni, hogy pontosan ugyanolyanok, csak különböző irányokban. És óvatosnak kell lennem, mert nem csak két dimenzióban., De azt hiszem, megvan az ötleted, és hagyom, hogy bebizonyítsd, hogy ezek a hosszok ugyanazok. Tehát tudjuk, hogy b kevesebbmint a két dolog hossza. Szóval nem kell aggódnunk emiatt. Végül egy mínusz b. a magnitúdó vagy a vektor hossza a mínusz B. nos, ezt írhatom — vagy írhatom vektorként a plusvektor mínusz B. Ha csak egy mínusz b-t helyezünk oda, és a másik irányba megyünk, mondhatnánk minusb-t,ami abban az irányban lenne, plusz a-t adnánk a vektorunknak mínusz B. valójában nem is kell odamennem., Ez nyilvánvaló ebből. Zárójelbe teszem a negatívumot. Nos, a háromszög egyenlőtlenség, és ez talán egy kicsit hétköznapinak tűnik számodra, de valójában azt mutatja, hogy mindig definiálhatunk egy szabályos sík háromszöget ezeken a vektorokon. Azt mondja, hogy ez kevesebb, mint a vektorunk hossza, plusz a hossza mínusz b. és én csak azt mondtam, hogy meg tudod erősíteni magadnak, hogy ez ugyanaz, mint a hossza b. tehát csak láttuk, hogy ez határozottan kevesebb, mint a kettő. Ez határozottan kevesebb, mint az a kettő. És ez határozottan nem olyan egyszerű, mint az a kettő., A háromszög felépítésének egyik oka sem érvényes. Tehát mindig ilyen módon építhetünk atriangle-t az RN tetszőleges nonzerovektoraiból. Ezt mindig megépíthetjük. Most, hogy meghatározzunk egy szöget, nézzük át itt. Átrajzolom a vektorokat, talán egy kicsit nagyobb. Ez az a vektor, itt a b vektor, aztán hadd nézzem meg. Ez itt a vektor. Ez az a vektor mínusz b., Mi pedig azt mondtuk, hogy a malom megfelelő szabályos futását fogjuk meghatározni, amelynek hosszát a vektorok hossza, a vektorok hossza határozza meg. Tehát ez a B hossza, az az oldal. Most, hogy tudom, hogy egy ilyen háromszöget meg tudok építeni, megpróbálhatom meghatározni– vagy valójában meghatározom a két vektor közötti szöget. Tehát tudjuk, mi az anglemeans ebben az összefüggésben. Ez csak egy szabályos Malom, geometriai háromszög., Az én definícióm két vektor között van, szóval ezt próbálom meghatározni. Ezt fogom meghatározni. Ezek tetszőleges számú komponenst tartalmazhatnak, ezért nehéz elképzelni. De ezt úgy fogom definiálni, mint a megfelelő szöget egy szabályos, szabályos háromszögben, ahol a malom Triangle futásának oldalai a két vektor, majd az ellenkező oldala kivonás, a különbség hossza a két vektor között. Ez csak a meghatározás., Meghatározom ezt, az RN két vektorja között, amelyek tetszőleges számú komponenst tartalmazhatnak, ezt a szöget úgy határozom meg, hogy ugyanaz legyen a szög, a két oldal közötti szög, a vektorok két hossza csak egy szabályos, futtató themill háromszögben. Mit kezdhetek ezzel? Nos, találhatnánk egy kapcsolatotazok között a dolgok között itt? Hát persze. Ha emlékszel a trigonometriai órádra, és ha nem, bebizonyítottam, hogy benne van a lejátszási listában. Megvan a koszinusz törvénye. És egy önkényuralommal fogom megtenni, csak azért, mert nem akarlak összezavarni., Tehát ha ez az A, b és C oldal, és ez a theta, akkor a koszinuszok törvénye azt mondja, hogy a C négyzet egyenlő a négyzet plusz B négyzetével, mínusz 2abkozin a theta. Mindig úgy gondolok rá, mint egy szélesebb pitagorai tételre, mert ennek nem kell derékszögnek lennie. Minden szöget figyelembe vesz. Ha ez derékszög lesz, akkor ez a kifejezés eltűnik, és csak a pitagorai tétel marad meg. De ezt bebizonyítottuk. Ez csak a malom háromszögek rendszeres futtatására vonatkozik. És szerencsénkre itt van a malom-háromszög., Tehát alkalmazzuk a koszinuszok törvényét erre a háromszögre itt. És ahogy rajzoltam, azok megfelelnek. Ennek hossza négyzet. Tehát ez azt jelenti, hogy a hossza mínusz B négyzet. A vektor hossza mínusz vektorb, ez csak annak az oldalnak a hossza. Szóval csak ezen az oldalon. Ez megegyezik a vektorb négyzet hosszával, plusz a vektor hossza a négyzet mínusz 2-szeres hosszával. a vektor hossza kétszer annyi, mint a vektor hossza b-szerese ennek a szögnek a koszinuszának. Szorozza meg a szög koszinuszát., És ezt a két vektor közötti szöget úgy definiálom, hogy ugyanaz legyen, mint ez a szög. Tehát, ha ismerjük ezt a szöget, bydefinition, tudjuk, hogy a szög ott. Nos, tudjuk, hogy a négyzeta vektor hosszának hossza, amikor a factordefinition of length-t használjuk, hogy ez ugyanaz, mint aegy vektor pontozott önmagával. Tehát ez egy minusb pont a mínusz b. minden egyenlő lesz ezzel az egész dologgal a jobb oldalon. De hadd egyszerűsítsem le az egyenlet bal oldalát. a mínusz b pont a mínusz b, Ez ugyanaz, mint egy pont a — ez a két kifejezés — mínusz egy pont b., És akkor van mínusz b pont a. Ez a két kifejezés ott. És akkor van theminus b pont mínusz b. Ez ugyanaz, mint a plusz b pont b. ne feledje, ez csak a bal oldal egyszerűsítése. És ezt újraírhatom. egy pont a, Tudjuk, hogy ez csaka négyzet hossza. egy pont b és b pont a ugyanaz, tehát kettő van belőle. Tehát ez itt, ez a kifejezésright ott lesz egyszerűsítése mínusz 2 szor egy pont b. és végül, b pont b. tudjuk,hogy ez csak ahosszúsága b négyzet. Csak egyszerűsítettem, vagy talán csak kibővítettem– ez egy jobb szó., Ha egy kifejezésből három kifejezésből indulunk ki, akkor nem mondhatjuk, hogy egyszerűsítettük. De csak a jobboldalt bővítettem, így ennek meg kell egyeznie a jobboldallal a koszinusz törvényével. Tehát ez egyenlő– majdnem úgy érzem, mintha újraírnám, hadd másoljam be és illesszem be. Mit csináltam? Vettem, szerkeszt. Másolás és beillesztés. Tessék. Nem tudom, hogy megérte-e. De talán egy kis időt spóroltam meg. Tehát ez egyenlő azzal, hogy ott. És akkor egyszerűsíthetünk. Itt van egy négyzet hossza, egy négyzet hossza. Vonja le mindkét oldalról., A hossza b négyzet itt, hossza b négyzet ott. Vonja le mindkét oldalról. És akkor mit tehetünk? Mindkét oldalt megoszthatjuk a byminus 2-vel, mert minden más eltűnt. Tehát ez a kifejezés és az a kifejezés is 1-es lesz, és csak egy pont marad a vektor B – vel, és ez azért érdekes, mert hirtelen két vektor ponttermékei között kapcsolat alakul ki. A meghatározásuktól hossz szerint eltávolodtunk. De a kettő ponttermékevektorok megegyeznek a hosszuk,a vektor hosszuk termékével., És lehet önkényesalkatrészek száma. Szorozva a kettő koszinuszával. Ne feledje, ez a theta, azt mondtamez ugyanaz,mint amikor ilyen analóg, szabályos háromszöget rajzol. De úgy határozom meg a szöget, hogy ugyanaz legyen. Tehát azt mondhatom, hogy ez aza szög közöttük. Nyilvánvaló, hogy két vektor között nehéz elképzelni, ha túlmegy a három dimenzión. De most már legalább matematikailag meghatároztuk., Tehát, ha most két vektort adsz nekem, ezt a képletet használva, amit itt bizonyítottunk, most kiszámolhatjuk a két vektor közötti szöget itt. És csak hogy tisztázzuk, mi történik, ha a egy — és talán ez nem egyértelmű ebből a meghatározásból, tehát itt világossá teszem, hogy definíció szerint, ha a egyenlő a B skaláris többszörösével, ahol a nagyobb, mint 0, akkor meghatározzuk, hogy az egyenlő legyen 0-val. És ha C kevesebb, mint 0, tehát egy iskollineáris, de pontosan ellenkező irányba megy, akkor a theta egyenlő lesz 180 fokkal., Ez összhangban van azzal, amit csak kétdimenziós vektorokról értünk. Ha kollineárisak, és a skalár többszöröse ugyanaz. Ez azt jelenti, hogy valami hasonlónak tűnik, b pedig valami hasonlónak tűnik. Szóval azt mondjuk, oh, hogy ‘ SA 0 szög. És ha a másik irányba mennek, ha EGY úgy néz ki, mint … ez az az eset, amikor a csak a másik irányba megy b. a így megy, b pedig úgy megy, mint ez, akkor meghatározzuk a köztük lévő szöget 180 fokig. De minden más szépa háromszög példája jól definiálja., A különleges esetet azért kellett megcsinálnom, mert nem világos, hogy valóban háromszöget kaptál ezekben az esetekben, mert a háromszög eltűnt. Ellaposodik, ha az a és b terület egymás tetején helyezkedik el, vagy ha pontosan a megfelelő irányba halad. Ezért akartam egy kis mellékmondatot csinálni. Most, ezzel a definícióvala Vektorok közötti szög, most meghatározhatjuk a merőleges Vektorok ideáját., Tehát most azt mondhatjuk, hogy ez egy másik definíció, és ez nem lesz földrengés, de azért, mert általánosítottuk ezt olyan vektorokra, amelyek számos komponenst tartalmaznak. A merőlegest úgy határozzuk meg, hogy a thetát két A és b vektor között kell érteni, ha a köztük lévő szög 90 fok. És ezt meg is határozhatjuk. Vehetünk két vektort, pontozhatjuk őket. Vegyük a dot terméket. Találd ki a két hosszúságukat ésmajd kitalálhatod a köztük lévő szöget. És ha 90 fok van. azt mondhatod, hogy vannakperpendicularis szögek., És azt akarom, hogy nagyon világos itt, hogy ez valójában nem határozza meg a 0 vektor közvetlenül itt. Tehát ez a helyzet itt, nincs meghatározva a 0 vektor számára. Mert ha megvan a 0vector, akkor ez a mennyiség itt lesz 0 ésakkor ez a mennyiség itt lesz 0. És nincs egyértelmű meghatározás a maga szemszögéből. Ha ez itt 0, akkor a youdid 0 egyenlő 0-szor a Theta koszinuszával. Tehát, ha a theta-t akarná megoldani, akkor a Theta koszinusza egyenlő 0/0-val,ami nem definiált. De amit tehetünk, hogy létrehozunkkissé általánosabb szó, mint a merőleges szó., Tehát van egy meghatározottszög, hogy még a merőlegesről is beszéljünk. Ha a két vektor közötti szög 90 fok, akkor definíció szerint azt mondjuk, hogy ez a két vektor merőleges. De mi van, ha megcsináljuk, és ha megnézzük őket, ha a két vektor közötti szög 90 fok, akkor ez mit jelent? Tehát tegyük fel, hogy thetais 90 fok. Hadd húzzak egy vonalat. Tegyük fel, hogy thetais 90 fok. A Theta egyenlő 90 fokkal. Mit jelent ez a formulatell nekünk? Azt mondja, hogy egy pont b egyenlő a hossza egy szer a hossza b szor koszinusz 90 fok., Mi a 90 fokos koszinusz? 0. Áttekintheti az egység körétha ennek nincs sok értelme. De ez egyenlő 0-val, tehát ezaz egész kifejezés egyenlő lesz 0-val. Tehát ha a theta egyenlő: 90 fok, akkor a B pont egyenlő 0-val. Tehát ez egy másikérdekes Elvitel. Ha az a és b merőleges, akkor pontterméke 0 lesz. Most, ha ponttermékük egyenlő 0-val, akkor feltétlenül azt mondhatjuk, hogy vannakperpendicularis? Nos, mi van, ha a vagy bis a 0 vektor? A 0 vektor– hadd hívjam Z-t 0 vektorra. Vagy csak rajzolok., A 0 vektor pont bármi ismindig egyenlő lesz 0-val. Tehát ez azt jelenti, hogy a 0vektor merőleges mindenre? Nos, nem. Mivel a 0 vektor mondtam, mimeg kell, hogy a fogalom egy szög a dolgok közöttrendben, hogy a szó merőleges. Tehát nem használhatjuk a 0 vektort. Nem mondhatjuk, hogy csak azért, mert a két pontból álló termék 0-nak felel meg. És ez azért van, mert a 0 vektor elrontaná, mert a 0 vektor nincs meghatározva., De ha azt mondjuk, hogy az a és b nem zero, ha nem zerovektorok, akkor azt mondhatjuk, hogy ha az A és b nem nulla, akkor az A és b nem nulla, akkor az a és b nem egyenlő. Tehát most mindkét irányba megy. De mi van, ha csak itt van ez a feltétel? Mi van, ha csak azt a feltételt kapjuk, hogy a B pont egyenlő 0-val? Úgy tűnik, ez csak egy egyszerű, tiszta állapot. És ezért írhatunk. Ezeket a szavakat gyakran használjáknevezetlenül, de remélhetőleg most megérted a feltételezést., Azt mondhatjuk, hogy ha két vektor vanaz eredeti termék 0-nak felel meg, ortogonálisnak nevezzük őket. Ahogy mindig is mondtam, a Spelling nem a legjobb témám. De ez egy szép ötlet. Ez azt mondja nekünk, hogy … Nos, hogyminden merőleges vektor ortogonális. Azt is elmondja, hogy a the0 vektor minden máshoz ortogonális. Mindenre, még önmagára is. A 0 pont 0 vektor még mindig 0. Tehát definíció szerint ortogonális., Tehát a matematikai karriered során először láthatod, hogy a szavak–tudod, minden alkalommal, amikor először kerültél a szavak elé a geometriában, vagy talán a fizikában, bárhol máshol, mindig ugyanazok a szavak voltak. De most bemutatok egy szép, kis különbséget itt, és lehet egy kicsit okos aleck tanárokkal. Csak az merőleges, hogy a vektorok nem — ha ezek közül Nincs 0 vektor. Ellenkező esetben, ha a dot productis 0, akkor csak azt mondhatjuk, hogy ortogonális., De ha nem nulla, akkor azt kell mondanod, hogy ortogonális és merőleges. De egyébként is, azt gondoltam, hogy bemutatnám ezt a kis különbséget az Ön számára abban az esetben, ha van valaki, aki szereti a szavakat. De azt is gondolom, hogy matematikát építünk az alapoktól kezdve, és óvatosnak kell lennünk az általunk használt szavakkal kapcsolatban. És nagyon precíznek kell lennünk a meghatározásainkkal kapcsolatban., Mert ha nem vagyunk precízek a meghatározásainkkal kapcsolatban, és egy csomó matematikust építünk fel, és csinálunk egy csomó bizonyítékot, egy nap megkarcoljuk a fejünket,és olvasunk valami kétértelműséget. És talán az is kiderült, hogy nem voltunk elég pontosak ahhoz, hogy meghatározzuk, mit is jelent ez a kifejezés. Mindenesetre remélhetőleg hasznosnak találtad. Most megtehetjük a szöget vagy a wecan most meghatározhatja a vektorok közötti szöget anarbitráris számú komponenssel.