Un paio di video fa abbiamo introdotto l’idea della lunghezza di un vettore. Che è uguale alla lunghezza. E questa è stata un’idea pulita perché siamo abituati alla lunghezza delle cose nello spazio bidimensionale o tridimensionale, ma diventa molto astratto quando arriviamo a n dimensioni. Se questo ha centocomponenti, almeno per me, è difficile visualizzare un vettore di centodimensione. Ma in realtà abbiamo definitola nozione di lunghezza. E abbiamo visto che questo è in realtàun valore scalare. E ‘ solo un numero., In questo video, voglio tentareper definire la nozione di un angolo tra i vettori. Come puoi vedere, stiamo costruendo questa matematica dei vettori da zero, e non possiamo solo dire, oh, so cos’è un angolo perché tutto ciò che sappiamo sugli angoli e persino sulle lunghezze, si applica solo a ciò che associamo allo spazio bidimensionale o tridimensionale. Ma l’intero studio di linearalgebra sta astraendo queste idee in uno spazio multidimensionale. E non ho ancora definito whatdimension, ma penso che tu capisca che è già stato ideato. Quando la gente parla di uno odue o tre dimensioni., Quindi diciamo che ho somevector-diciamo che ho due vettori, vettori a e b. Sono diversi da zero e sono membri di Rn. E non ho ancora un’idea dell’angolazione tra di loro, ma lascia che li estragga. Lasciami solo disegnarli come i potrebbe disegnarli in due dimensioni. Quindi sarebbe vectora proprio lì. Forse è vectorb proprio lì. E poi questo vettore rightthere sarebbe il vettore a meno b. E si può verificare che proprio il modo in cui abbiamo imparato ad aggiungere e sottrarre vettori. O sai, questo e’come una croce. Quindi b più a meno b è naturalmente, sarà il vettore a., E che tutto justworks là fuori. Per aiutarci a definire questa nozione di angolo, fammi costruire un altro triangolo che assomigli molto a questo. Ma ricorda, sto solo facendo questo per le nostre menti semplici per immaginarlo in due dimensioni. Ma queste non sono necessariamente bestie bidimensionali. Questi ciascuno potrebbe avere componenti ahundred. Ma fammi fare un altrotriangolo. Beh, dovrebbe sembrare simile. Di ‘che sembra cosi’. E definirò i lati dei triangoli come le lunghezze di ciascuno di questi vettori., Ricorda, le lunghezze di ciascuno di questi vettori, non mi interessa quanti componenti ci sono, saranno solo i tuoi numeri. Quindi la lunghezza di questo lato destro sarà solo la lunghezza di a. La lunghezza di questo lato destro sarà solo la lunghezza del vettore aminus vector b. E la lunghezza di questo sideright qui sarà la lunghezza del vettore b. Ora la prima cosa che vogliamo essere sicuri è che possiamo sempre costruire un triangolo simile a quello. E quindi in quali circostanze non potremmo costruire un triangolo simile a questo?, Beh, non saremmo in grado di costruire un triangolo come questo se da questa parte. se b, se la grandezza sol solet me scrivere questo giù. È una specie di sottigliezza, ma voglio essere molto chiaro. Per definire un angolo, voglio essere comodo che posso sempre fare questocostruzione. E devo assicurarmi che let lasciatemi scrivere le ragioni per cui non ho potuto fare questa costruzione. Beh, cosa succede se la grandezza ofb era maggiore di, o la lunghezza del vettore b era greaterthan la lunghezza del vettore a più la lunghezza ofvector a meno b?, In due dimensioni, non potrei mai disegnare un triangolo come quello allora perché avresti questa lunghezza più questa lunghezza sarebbe più corta di questa cosa proprio qui. Quindi non potresti mai costruirlo. E potrei fare con tutti i lati. E se questa lunghezza fosse più grande di uno di questi due lati? O se quella lunghezza fosse più grande di una di queste due parti? Non potrei mai disegnare un triangolo bidimensionale in quel modo. Quindi quello che faro ‘ e ‘usare il triangolo inequ l’iniquita’ del triangolo vettoriale per dimostrare che ognuno di questi lati e ‘ minore o uguale alla somma degli altri lati., Potrei fare la stessa cosa. Permettetemi di chiarire il punto. Potrei mostrare che se a, per qualunque ragione, fosse maggiore degli altri lati più b, allora non sarei in grado di creare un triangolo. E l’ultimo ovviamente èse a meno b, per qualsiasi motivo, era maggiore degli altri due lati, non sarei in grado di disegnare un triangolo in a più b. Quindi devo mostrare che per qualsiasi vettore, qualsiasi vettore reale-diverso da zero, vettori reali che sono membri di Rn-che nessuno di questi può mai accadere. Ho bisogno di dimostrare che nessuno di questi può accadere. Quindi cosa ci dice il triangleineequality?, La disuguaglianza del triangolo dice che se ho la somma di due vettori, se prendo la lunghezza della somma di due vettori, che è sempre inferiore a– e questi sono vettori diversi da zero. Questo sarà sempre inferiore o uguale alla somma di ciascuna delle loro lunghezze individuali. Vediamo se possiamo applicarlo a questo triangolo. Quindi qual è la grandezza, la lunghezza di a? Bene, posso riscrivere il vettore a. A cosa serve il vettore a? Il vettore a è uguale a vectorb più il vettore a meno b. Voglio dire, sto solo riscrivendo il vettore qui. Sto solo riscrivendo un qui come asum degli altri due vettori., Niente di speciale. Non ho usato la triangleineequality o altro. Ho appena usato la mia definizione di aggiunta vettoriale. Ma qui ora, se metto pocoparentesi qui, ora posso applicare la disuguaglianza triangolare. E io dico, beh, sai una cosa? Questo sarà, per la disuguaglianza triangolare, che abbiamo dimostrato, sarà inferiore o uguale alle lunghezze di ciascuno di questi vettori. Vettore b più la lunghezza del vettore a meno b. Quindi sappiamo che la lunghezza di a è inferiore alla somma di quella e quella. Quindi non dobbiamo preoccuparci che questo sia il nostro problema. Sappiamo che questo non è vero., Ora diamo un’occhiata a b. Quindi c’è un modo in cui posso riscrivere b come somma di altri due vettori? Beh, certo. Posso scriverlo come somma di aplus, lascia che lo metta in questo modo. Se quel vettore lì è l’ammino b, lo stesso vettore nella direzione inversa sarà il vettore b meno a. Quindi a più il vettorb meno a. È la stessa cosa di b. E lo puoi vedere proprio qui. Gli a annullerebbero e tu sei rimasto con la b lì. Ora dalla disuguaglianza del triangolo,sappiamo che questo è minore o uguale alla lunghezza del vettore a più la lunghezza del vettore b meno a., Ora stai dicendo hey, Sal, hai a che fare con b-a. Questa è la lunghezza di a-b. E posso lasciare questo per te per dimostrarlo in base alla nostra definizione di lunghezze vettoriali, ma la lunghezza di b – a è uguale a -1 volte-b. E lo lascerò a te per dire che guarda, queste lunghezze sono uguali. Perché essenzialmente could potrei lasciarlo, ma penso che tu possa prenderlo basandoti solo sulla rappresentazione visiva di loro che sono gli stessi esattivettori, solo in direzioni diverse. E devo stare attento alla lunghezza perché non è solo in due dimensioni., Ma penso che tu abbia l’idea e te lo lascerò per dimostrare che queste lunghezze sono la stessa cosa. Quindi sappiamo che b è inferiore alla lunghezza di queste due cose. Quindi non dobbiamo preoccuparci di quello lì. Infine, a meno b. La grandezza o la lunghezza del vettore a meno b. Beh, posso scriverlo come la lunghezza di vector o posso scriverlo come vettore a piùvettore meno b. Se mettiamo un meno b a destra e andiamo nelle altre direzioni, potremmo dire minusb, che sarebbe in quella direzione più a darebbe al nostro vettore un meno b. In realtà, non devo nemmeno andare lì., Questo è ovvio da questo. Ho appena messo il negativo tra parentesi. Bene, la disuguaglianza triangolare, e questo potrebbe sembrarti un po ‘ banale, ma ci mostra davvero che possiamo sempre definire un triangolo planare regolare basato su questi vettori in questo modo. Ci dice che questo è inferiore o uguale alla lunghezza del nostro vettore a più la lunghezza di meno b. E ho appena detto e potresti migliorarlo a te stesso, che questa è la stessa cosa della lunghezza di b. Quindi abbiamo appena visto che questo è decisamente inferiore a quei due. Questo è decisamente meno di quei due. E questo è sicuramente meno di quei due., Nessuna delle ragioni che ci impedirebbe di costruire un triangolo è valida. Quindi possiamo sempre costruire atriangle in questo modo da qualsiasi nonzerovector arbitrario in Rn. Possiamo sempre costruirlo. Ora, per definire un angolo, fammi ridisegnare quaggiù. Fammi ridisegnare i vettori, forse un po ‘ più grandi. Questo è il vettore a. Questo è il vettore b. E poi lasciami disegnarlo in questo modo. Questo è il vectorright lì. Questo è il vettore a-b., E abbiamo detto che stiamo andando a definire un corrispondente regolare, corsa del mulino, triangolo vaniglia le cui lunghezze sono definite dalle lunghezze dei vettori, dalle lunghezze dei vettori. Quindi questa è la lunghezza di b, quel lato. Questa è la lunghezza di a meno b. E poi questa è la lunghezza di a. Ora che so che posso sempre costruire un triangolo come questo, posso tentare di definire tod o in realtà, definirò la mia definizione di un angolo tra due vettori. Quindi sappiamo cosa significa un anglosignifica in questo contesto. Questo è solo un normale, eseguire il mulino, triangolo geometrico., Ora, la mia definizione di un angolo tra due vettori che sto per dire say quindi questo è ciò che sto cercando di definire. Questo è quello che sto andando a definire. Questi possono avere un numero arbitrariodi componenti, quindi è difficile da visualizzare. Ma ho intenzione di definire thisangle come l’angolo corrispondente in un regolare, run of themill triangolo dove i lati della corsa del triangolo mulino sono i due vettori e quindi il lato opposto è la sottrazione, è la lunghezza della differenza betweenthe due vettori. Questa è solo la definizione., Sto definendo questo, l’angolo tra due vettori in Rn che potrebbe avere un numero arbitrario di componenti, sto definendo questo angolo per essere lo stesso di questo angolo, l’angolo tra i due lati, le due lunghezze di quei vettori in un normale triangolo di themill. Ora, cosa posso fare con questo? Beh, possiamo trovare una relazione tra tutte queste cose proprio qui? Beh, certo. Se ricordi dalla tua classe di trigonometria, e se non lo fai, l’ho dimostrato nella playlist. Hai la legge del coseno. E lo farò con un triangolo arbitrario proprio qui solo perché non voglio confonderti., Quindi se questo è il lato a, b, e cand questo è theta, la legge dei coseni ci dice che c quadrato è uguale a a quadrato più b quadrato meno 2abcosina di theta. Lo penso sempre come una specie di teorema di Pitagora più ampio perché questo non deve essere un angolo retto. Rappresenta tutti gli angoli. Se questo diventa un angolo retto, allora questo termine scompare e ti rimane solo il teorema di Pitagora. Ma lo abbiamo dimostrato. Questo vale solo per regolare, corsa dei triangoli mulino. E fortunatamente per noi, abbiamo aregular, run of the mill triangle qui., Quindi applichiamo la legge dei coseni a questo triangolo proprio qui. E il modo in cui l’ho disegnato,corrispondono. La lunghezza di questolato quadrato. Quindi questo significa la lunghezza di a-b al quadrato. Lunghezza del vettore a meno vectorb, questa è solo la lunghezza di quel lato. Quindi sto solo squadrando quel lato. È uguale alla lunghezza del vettorb al quadrato più la lunghezza del vettore a al quadrato meno 2 volte la lunghezza di write Scriverò solo due volte la lunghezza del vettorea per la lunghezza del vettore b per il coseno di questo angolo proprio qui. Per il coseno di quell’angolo., E sto definendo questo angolo tra questi due vettori come lo stesso di questoangolo proprio lì. Quindi se conosciamo questo angolo, per definizione, conosciamo quell’angolo proprio lì. Bene, sappiamo che il quadrato delle nostre lunghezze di un vettore quando usiamo la nostra definizione di lunghezza, che questa è la stessa cosa di un vettore punteggiato da se stesso. Quindi questo è un punto minusb a – b. Sarà tutto uguale a tutta questa roba sul lato destro. Ma lascia che semplifichiil lato sinistro di questa equazione. a-b punto a – b, questo è la stessa cosa di un punto a-questi due termini – – a punto b., E poi ho meno b punto a. Quei due termini proprio lì. E poi hai il punto minore b meno b. Questa è la stessa cosa come a più b punto b. Ricorda, questa è solo una semplificazione del lato sinistro. E posso riscriverlo. un punto a, sappiamo che è solo la lunghezza di a al quadrato. un punto b e b punto a sono la stessa cosa, quindi abbiamo due di questi. Quindi questo qui, questo termine lì semplificherà a meno 2 per un punto b. E infine, b punto b. Sappiamo che questa è solo la lunghezza di b al quadrato. Ho appena semplificato o forse ho appena ampliato– questa è una parola migliore., Quando passi da un termine a tre termini, non puoi dire di averlo semplificato. Ma ho ampliato solo il lato sinistro e quindi questo deve essere uguale al lato destro dalla legge dei coseni. Quindi questo è uguale a alm Mi sento quasi come invece di riscriverlo, fammi solo copiarlo e incollarlo. Cosa ho appena fatto? Copia, modifica. Copia e incolla. Ecco qua. Non lo so che ne valeva la pena. Ma forse ho risparmiato un po ‘ di tempo. Quindi questo è uguale a quello proprio lì. E poi possiamo semplificare. Abbiamo una lunghezza di asquared qui, lunghezza di a al quadrato lì. Sottrailo da entrambi i lati., La lunghezza di b al quadrato qui, la lunghezza di b al quadrato lì. Sottrailo da entrambi i lati. E poi, cosa possiamo fare? Possiamo dividere entrambi i lati byminus 2 perché tutto il resto è scomparso. E così quel termine e quel termine diventeranno entrambi 1. E tutto ciò che ci rimane è ilvettore a punto del vettore b. E questo è interessante perché all’improvviso stiamo ottenendo una relazione tra i prodotti dot di due vettori. Ci siamo allontanati dalla loro definizione per lunghezze. Ma il prodotto punto di duei settori sono uguali al prodotto delle loro lunghezze, le loro lunghezze vettoriali., E possono avere un arbitrarionumero di componenti. Volte il coseno delangolo tra di loro. Ricorda, questo theta, ho dicutoquesto è lo stesso di quando disegni questo tipo di triangolo analogo e regolare. Ma sto definendo l’angolo tra loro come lo stesso. Quindi posso dire che questo èl’angolo tra loro. E ovviamente, l’idea di tra due vettori, è difficile da visualizzare se si va oltre tre dimensioni. Ma ora lo abbiamo almeno, matematicamente definito., Quindi se mi date due vettori possiamo ora, usando questa formula che abbiamo dimostrato usando questa definizione qui, possiamo ora calcolare l’angolo tra due vettori usando questo qui. E solo per chiarire, whathappens se a è a maybe e forse non è chiaro da thatdefinition, quindi lo renderò più chiaro qui che per definizione, se a è uguale a qualche multiplo scalare di b wherec è maggiore di 0, definiremo thetato essere uguale a 0. E se c è minore di 0, quindi a è collineare, ma va nella direzione esattamente opposta, definiremo theta uguale a 180 gradi., E questo è coerente con ciò che capiamo sui soli vettori bidimensionali. Se sono collineari e tipi di multipli scalari uguali. Ciò significa che a sembra qualcosa del genere e b sembra qualcosa del genere. Quindi diciamo oh, quell’angolo è 0. E se vanno dall’altra parte,se a sembra qualcosa di simile this questo è il caso in cui a sta solo andando nell’altra direzione da b. a va così e b va così, definiamo l’angolo tra loro di essere di 180 gradi. Ma tutto il resto è carinoben definito dall’esempio del triangolo., Ho dovuto fare il caso speciale di questi perché non è chiaro che si ottiene davvero un trianglein questi casi perché il trianglekind di scompare. Si appiattisce se a e b sono uno sopra l’altro o se stanno andando nella direzione opposta. Ecco perché ho voluto fare un po ‘ di nota a margine proprio lì. Ora, usando questa definizione dell’angolo tra i vettori, possiamo ora definire l’idea dei vettori perpendicolari., Quindi ora possiamo dire perpendicularvectors-questa è un’altra definizione-e questo non sarà sconvolgente, ma è un po ‘ perché lo abbiamo generalizzato a vettori che hanno un numero arbitrario di componenti. Stiamo definendo perpendicolareper significare la theta tra two due vettori a e b sono autopendicolari se l’angolo tra loro è di 90 gradi. E possiamo definirlo. Possiamo prendere due vettori, puntarli. Prendi il loro prodotto dot. Capire le loro due lunghezze andthen si potrebbe capire l’angolo tra di loro. E se è di 90 gradi. puoi dire che lo sonoangoli superiori., E voglio essere molto chiaro qui che questo in realtà non è definito per il vettore 0 qui. Quindi questa situazione qui, non definita per il vettore 0. Perché se hai il 0vector, allora questa quantità qui sarà 0 e allora questa quantità qui sarà 0. E non c’è una definizione chiara per il tuo angolo. Se questo è 0 qui, youdid 0 è uguale a 0 per coseno di theta. E quindi se volessi risolvere theta otterrai coseno di theta uguale a 0/0, che non è definito. Ma quello che possiamo fare è creare una parola leggermente più generale della parola perpendicolare., Quindi devi avere un definedangle per parlare anche di perpendicolare. Se l’angolo tra due vettori è di 90 gradi, per definizione, questi due vettori sono perpendicolari. Ma cosa succede se facciamo la dichiarazione e possiamo look se li guardi, se l’angolo tra due vettori è di 90 gradi, cosa significa? Quindi diciamo che ilè di 90 gradi. Fammi tracciare una linea. Diciamo che ilè di 90 gradi. Theta è uguale a 90 gradi. Cosa ci dice questa formula? Ci dice che un punto b è uguale alla lunghezza di a per la lunghezza di b per il coseno di 90 gradi., Qual è il coseno di 90 gradi? E ‘ 0. Puoi rivedere il tuo cerchio di unitàse questo non ha molto senso. Ma questo è uguale a 0, quindi questo termine intero sarà uguale a 0. Quindi se theta è uguale a90 gradi, allora un punto b è uguale a 0. E quindi questo è un altrointeressante da asporto. Se a e b sono perpendicolari, il loro prodotto punto sarà uguale a 0. Ora se il loro prodotto dot è uguale a 0, possiamo necessariamente dire che sonoperpendicolare? Beh, cosa succede se a o bis il vettore 0? Il vettore 0 let fammi chiamare z per il vettore 0. Oppure potrei disegnare., Il punto vettoriale 0 qualsiasi cosa sarà sempre uguale a 0. Quindi significa che lo 0vector è perpendicolare a tutto? Beh, no. Poiché il vettore 0 che ho detto, dobbiamo avere la nozione di un angolo tra le cose inorder per usare la parola perpendicolare. Quindi non possiamo usare il vettore 0. Non possiamo dire solo perché twovectors dot prodotti sono uguali a 0 che essi arependicular. E questo perché il vettore 0 lo rovinerebbe perché il vettore 0 non è definito., Ma se diciamo, e abbiamo beensaying, che a e b sono diversi da zero, se sono nonzerovectors, allora possiamo dire che se a e b sono diversi da zero e il loro prodotto è uguale a 0, allora a e b areperpendicular. Quindi ora va in entrambe le direzioni. Ma cosa succede se abbiamo solo questocondizione proprio qui? Cosa succede se abbiamo solo la condizione che un punto b è uguale a 0? Sembra che sia solo una condizione semplice e pura. E possiamo scrivere aword per questo. E queste parole sono spesso usedsynonymously, ma speriamo che capiate thedistinction ora., Possiamo dire che se due vettoriil prodotto caldo è uguale a 0, li chiameremo ortogonali. Come dico sempre, l’ortografia non è il mio argomento migliore. Ma questa è una specie di idea pulita. Questo ci dice che that beh, quellotutti i vettori perpendicolari sono ortogonali. E ci dice anche che il vettore 0 è ortogonale a tutto il resto. A tutto, anche a se stesso. Il vectoryou 0 dot 0 ancora ottenere 0. Quindi,per definizione, è ortogonale., Quindi, per la prima volta, probabilmente nella tua carriera matematica, stai vedendo che le parole-sai, ogni volta che sei stato esposto alle parole per la prima volta in geometria o in fisica o in qualsiasi altro luogo, erano sempre le stesse parole. Ma ora sto introducendo una bella, piccola distinzione qui e puoi essere un po ‘ intelligente con gli insegnanti. Oh, sai, è perpendicolare solo i vettori non lo sono if se nessuno di loro è 0 vettore. Altrimenti, se il loro prodotto dot è 0, puoi solo dire che sono ortogonali., Ma se sono diversi da zero, potresti dire che sono ortogonali e perpendicolari. Ma comunque, ho pensato che Iwould introdurre questa piccola distinzione per voi nel caso in cui youhave qualcuno che ama inciampare con le parole. Ma penso anche che evidenzache stiamo costruendo una matematica da zero e dobbiamo stare attenti alle parole che usiamo. E dobbiamo essere molto precisi sulle nostre definizioni., Perché se non siamo precisi sulle nostre definizioni e costruiamo un mucchio di matematici in cima a questo e facciamo un sacco di prove, un giorno potremmo grattarci la testa e leggere qualche tipo di ambiguità strana. E potrebbe essere venuto fuori tutto il fatto che non eravamo abbastanza precisi nel definire qual è il significato di questi termini. Bene comunque, si spera youfound questo utile. Ora possiamo prendere l’angolo o possiamo ora determinare l’angolo tra i vettori con un numero arbitrario di componenti.