いくつかのビデオ前に、ベクトルの長さのアイデアを紹介しました。 それは長さに等しい。 そして、これはきちんとしたアイデアでした二次元空間のものの長さに慣れていますが、n次元に到達すると非常に抽象的になります。 これがhundredcomponentsを持っている場合、少なくとも私にとっては、百次元ベクトルを視覚化するのは難しいです。 しかし、私たちは実際に長さの概念を定義しました。 そして、これは実際にはスカラー値。 それはただの数字です。, このビデオでは、私は試してみたいベクトル間の角度の概念を定義する。 ご覧のとおりこのベクトルの数学をゼロから構築していますそして言うことはできません”ああ、角度が何であるか知っていますなぜなら私たちが角度や長さについて知っていることはすべて、それは私たちが二次元空間に関連付けるものに適用されるからです。 しかし、線形代数の研究全体は、これらのアイデアを多次元空間に抽象化しています。 なんとしても定義されwhatdimensionはないと思いることを理解するideatoあります。 人々が一つまたは二つまたは三次元について話すとき。, それでは、私はsomevectorを持っているとしましょう-のは、私は二つのベクトル、ベクトルaとbを持っているとしましょう。 そして、私はまだそれらの間の角度の概念を持っていませんが、私はちょうどそれらを引き出しましょう。 二次元で描けるかのように描いてみましょう。 それはすぐそこにvectoraになります。 たぶんそれはすぐそこのvectorbです。 そして、このベクトルは右にベクトルaマイナスbがあるでしょう。 あるいは、これは尾になります。 したがって、bプラスaマイナスbは当然のことであり、ベクトルaになります。, そして、それはすべてそこにjustworks。 この角度の概念を定義するのを助けるために、このように見える別の三角形を構築しましょう。 忘れないでくださいI’m just doingthisのためのシンプルな心からは想像できない。 しかし、これらは必ずしも二次元の獣ではありません。 これらはそれぞ しかし、私は別の三つの角度を作ってみましょう。 まあ、それは似ているはずです。 そんな風に見えると言ってくれ そして、私はこれらのベクトルのそれぞれの長さになるように三角形の辺を定義するつもりです。, この長さは各oftheseベクター、などの多くの部品thereareという大きさでありながらしっかりとれます。 だから、この辺の長さはちょうどaの長さになるだろう。この辺の長さはちょうどベクトルの長さになるだろう。ここで、この辺の長さはベクトルbの長さになるだろう。ここで、この辺の長さはベクトルbの長さになるだろう。ここで最初に確認したいのは、常に三角形のようなものを構築できるということです。 そして、どのような状況下で私たちはこれのような三角形を構築することはできませんか？, まあ、この辺ならこのような三角形を組み立てることはできません。 bの場合、大きさの場合-solet私はこれを書き留めてください。 それは微妙な点のようなものですが、私はこれを非常に明確にしたいと思います。 角度を定義するために、私はいつもこれを作ることができるという快適であることが望ましい建設。 そして、私はそれを確認する必要があります-私はこれを作ることができなかった理由を書いてみましょう建設。 さて、bの大きさがより大きかった場合、またはベクトルbの長さがベクトルaの長さにベクトルaの長さを加えたものよりも大きかった場合はどう, 二次元では、このような三角形を描くことはできませんでしたあなたはこの長さにこの長さを加えてこの長さがこのことより短くなるからです。 できneverconstructます。 そして私はすべての側面で行うことができます。 この長さがより大きかったらどうなりますかこれらの二つの側面の一方より？ ただlengthwas以上の方お問い合わせください。 私はそのように二次元の三角形を描くことはできませんでした。 だから私がやろうとしているのは、三角形を使うつもりです-ベクトル三角不等式これらの辺のそれぞれが他の辺の合計以下であることを証明する。, 私は同じことをすることができます。 私はポイントを明確にしてみましょう。 理由があっても、aが他の辺にbを加えたものよりも大きい場合、三角形を作成できないことを示すことができます。 そして最後のものはもちろんaマイナスbであれば、何らかの理由で他の二つの辺よりも大きかったので、私はちょうどaプラスbに三角形を描くことができないでしょう。 私はそれらが起こる可能性がないことを証明する必要があります。 それでは、triangleinequalityは私たちに何を教えてくれますか？, 三角不等式は、私が二つのベクトルの合計を持っている場合、私は二つのベクトルの合計の長さを取る場合、それは常により小さくなることになります-そして、これらは非ゼロのベクトルです。 これは常にそれぞれのindividualallengthsの合計に等しいか、または等しいことになります。 これをこの三角形に適用することができるかどうかを見てみましょう。 それでは、aの大きさ、長さは何ですか？ さて、私はvector aを書き換えることができます。vector aとは何ですか？ ベクトルaはvectorbプラスベクトルaマイナスbに等しいです。 私はちょうど他の二つのベクトルのasumとしてここを書き換えています。, そこに空想は何もない。 私はtriangleineequalityか何かを使用していません。 私はちょうど私のdefinitionofベクトル加算を使用しました。 しかし、ここで今、私はここに小さなparenthesesを置く場合、今私は三角不等式を適用することができます。 そして私は言う、まあ、あなたは何を知っている？ これは三角形の不等式によって証明されますこれらのベクトルのそれぞれの長さ以上の長さになります したがって、aの長さはその長さとその長さの合計よりも小さいことがわかります。 だからこれが私たちの問題であることを心配する必要はありません。 我々はそれが真実ではないことを知っている。, だから私は他の二つのベクトルの合計としてbを書き込むことができる方法はありますか？ まあ確かに。 私はそれをaplusの合計として書くことができます。 そのベクトルがaminus bである場合、逆方向の同じベクトルはベクトルbからaを引いたものになります。Aプラスvectorbからaを引いたものになります。 Aはcanceloutだろうし、あなたはちょうどそこにbが残っています。 三角不等式によって、これはベクトルaの長さにベクトルbの長さを差し引いたもの以下であることがわかります。, これはaマイナスbの長さですベクトル長の定義に基づいて証明するためにこれを残すことができますが、bマイナスaの長さはマイナス1倍マイこれらの長さは等しいと言うことができます。これらの長さは等しいと言うことにします。これらの長さは等しいと言うことにします。これらの長さは等しいと言うことにします。これらの長さはこんにちは。 基本的には-私はそれを残すことができましたが、私はあなたがそれらを正確に同じベクターであるという視覚的な描写だけに基づいて、ちょうど異なる そして、私はそれが二次元だけではないので、長さに注意する必要があります。, しかし、私はあなたがアイデアを得ると思うし、これらの長さが同じことであることを証明するためにそれを残します。 だから我々は、bがlessthanこれら二つのことの長さであることを知っています。 だから私たちは心配する必要はありませんそれはすぐそこにあります。 最後に、aマイナスb.大きさまたは長さのベクトルaマイナスb.まあ私はそれをの長さとして書くことができます-または私はベクトルaプラスベクトルマイナスbとして書くことができます.私たちはちょうどマイナスbを右に入れて、他の方向に行く場合,我々はminusbを言うことができます,その方向にプラスaになるだろう私たちのベクトルaマイナスbを与えるだろう.実際には,私はそこに行くことはありません., それはこれから明らかです。 私はちょうど一種の括弧にネガティブを入れます。 三角不等式ですこれはあなたには少し平凡に見えるかもしれませんが、このようにしてこれらのベクトルに基づいた通常の平面三角を常に定義できることを本当に私たちに示しています。 そして、私はちょうど言ったとあなたは自分自身にそれを証明することができました、これはbの長さと同じことです。 これは間違いなくあの二人のレスタンです。 そして、それは間違いなくそれら二つよりもないです。, その理由のどれも私たちが三角形を構築することを維持することは有効です。 したがって、Rn内の任意の非ゼロベクトルから常にこのようにアトリアングルを構成することができます。 これはいつでも構築できます。 さて、角度を定義するために、letmeはここでそれを再描画します。 ベクトルを描き直しましょう少し大きくなるかもしれません これはベクトルaですこれはベクトルbですこのように描画しましょう。 これはvectorrightそこにあります。 それはベクトルaマイナスbです。, そして、我々は長さがベクトルの長さ、ベクトルの長さによって定義されているミル、バニラ三角形の対応する規則的な、実行を定義するつもりだと述べ だから、これはbの長さ、その側です。 今、私は常にこのような三角形を構築することができることを知っているので、私はtodefineを試みることができます-または実際には、私はanglebetween二つのベクトル だから私たちは、この文脈で何英語を意味するかを知っています。 これはちょうど定期的な、ミル、幾何学的三角形。, さて、私の定義anglebetween二つのベクトル私が言うつもりです-これは定義しようとしているwhatI’mです。 これは私が定義するものです。 これらは任意のnumberof成分を持つことができるので、視覚化するのは難しいです。 しかし、私はこの角度を、通常のミル三角形の実行に対応する角度として定義するつもりですが、ミル三角形の実行の辺は二つのベクトルであり、反対側は減算であり、二つのベクトル間の差の長さです。 これは単なる定義です。, 私はこれを定義しています、任意のnumberofコンポーネントを持つことができるRnの二つのベクトルの間のanglebetween、私は同じasthis角度、二つの辺の間の角度、ちょうど通常の、themill三角形の実行でそれらのベクトルの二つのlengthsofであるこの角度を定義しています。 さて、私はこれで何ができますか？ ここでこれらすべての関係を見つけることができますか？ まあ確かに。 あなたがあなたのトリゴノメトリークラスから覚えていれば、そしてあなたがなければ、私はプレイリストでそれを証明 あなたは余弦の法則を持っています。 そして、私はあなたを混乱させたくないという理由だけで、ここで恣意的な三角関係でそれをやります。, したがって、これが辺a、b、およびcであり、これがシータである場合、余弦の法則は、c平方がシータの平方プラスb平方マイナス2abcosineに等しいことを示し これは直角である必要がないので、私はいつもそれをより広いピタゴラスの定理の一種と考えています。 それはすべての角度を占めます。 これが直角になると、この項は消え、thePythagorean theoremが残されます。 しかし、我々はこれを証明しました。 これは、通常のミル三角形の実行だけに適用されます。 そして私達のために幸運、私達にaregular、製造所の三角形の操業がここにあります。, それでは、この三角形にコサインの法則を適用してみましょう右ここに。 を描いてみましたので、対応させて頂きます。 この辺の長さは二乗しました。 したがって、aマイナスbの二乗の長さを意味します。 ベクトルaマイナスvectorbの長さ、それはちょうどその辺の長さです。 だから私はちょうどその側をsquaringthatています。 これは、vectorbの長さに二乗プラスベクトルaの長さマイナス2倍の長さに等しい-私はちょうどvectoraの長さ倍のベクトルbの長さ倍のコサインこの角度の右ここに書いていきます。 その角度の余弦を掛けます。, そして、私はこの角度を定義していますこれら二つのベクトルの間にこの角度と同じであることがあります。 だから我々はこの角度を知っていれば、bydefinition、我々は右そこにその角度を知っています。 まあ、私たちは、長さのfactordefinitionを使用するときのベクトルの長さの平方は、これはそれ自体が点在するベクトルと同じものであることを知っています。 それはすべて右側のこの全体のものに等しくなるでしょう。 しかし、私は単純化してみましょうこの方程式の左側。 aマイナスbドットaマイナスb、これはドットaと同じことです-これら二つの用語-マイナスドットb。, そして、私はマイナスbドットaを持っています。 そして、あなたはtheminus bドットマイナスbを持っています.それは同じthingas aプラスbドットbです.覚えておいてください,これは左側のちょうどasimplificationです. これを書き換えることができます ドットa、私たちはそれがちょうど二乗の長さであることを知っています。 aドットbとbドットaは同じものなので、これらの二つがあります。 だから、この右ここでは、このtermrightはマイナス2倍のドットbに単純化されます。 私はちょうど単純化されたか、多分Ijust拡張された-それはより良い言葉です。, あなたがここに一つの用語から三つの用語に行くとき、あなたはそれを単純化したとは言えません。 しかし、私はちょうど左辺を拡張したので、これは余弦の法則によって右辺に等しくなければなりません。 書き換えるのではなく、コピーして貼り付けるようにしましょう。 私は何をしたの? 了解編集 コピー＆ペースト。 ほら 私はそれが価値があったことを知らない。 しかし、多分私は少し時間を節約しました。 だから、それはすぐそこに等しいです。 そして単純化することができます。 私たちはここで平方された長さ、そこに平方された長さを持っています。 それを両側から引きます。, ここではbの長さが二乗され、bの長さはそこに二乗されます。 それを両側から引きます。 そして、私たちは何ができますか？ 他のすべてが消えてしまったので、両側を2つに分けることができます。 そして、その用語とその用語は両方とも1のものになります。 長さによる定義から離れてしまいました しかし、twovectorsの内積は、それらの長さ、それらのベクトルの長さの積に等しいです。, そして、彼らは任意のコンポーネントの数。 の余弦を掛けますそれらの間の角度。 覚えておいてください、このシータ、私は言ったこれはあなたがこの種の類似した正三角形を描くときと同じです。 しかし、私はそれらの間のanglebetweenをそれと同じに定義しています。 だから私はこれがそれらの間の角度。 そして明らかに、二つのベクトルの間のアイデアは、あなたが三つの次元を超えて行くならば視覚化するのは難しいです。 しかし、今では少なくとも数学的に定義されています。, だから、あなたは私に今wecan二つのベクトルを与える場合は、我々はここまでthisdefinitionを使用して証明したこの式を使用して、我々は今、これを使用して二つのベクトルの間の角度を計算することができます右ここに。 そして、それを明確にするために、aがaであれば何が起こるか-そしておそらくそれはその定義から明確ではないので、aが0より大きいbのスカラー倍に等しい場合、定義によってここで明確にします。thetatoは0に等しいと定義します。 そして、cが0より小さいので、a iscollinearが正反対の方向に進む場合、thetaを180度に等しくするように定義します。, それは二次元ベクトルだけについて理解しているものと一致しています。 それらが同一直線であり、スカラー倍数であれば同じである。 つまり、aはそのようなものに見え、bはそのようなものに見えます。 だから私たちはああ、それは0の角度です。 そして、彼らが他の方法を行く場合、aのように見える場合-これは、aがbから他の方向に行くだけの場合です。aはそのようになり、bはそれらの間の角度を180度に定義します。 しかし、他のすべてはかなりです三角形の例でよく定義されています。, 私はこれらの特別なケースを作らなければなりませんでした。 Aとbがお互いの上にある場合、またはそれらがexactopposite方向に向かっている場合、それは平らになります。 だから私は作りたかったのですそこにちょっとしたサイドノート。 さて、ベクトル間の角度のこの定義を使用して、我々は今、垂直方向のベクトルのアイデアを定義することができます。, 垂直ベクトルと言うことができます-これは別の定義です-これは地球が粉々になることはありませんが、これをアルビトラリー数の成分を持つベクトルに一般化したからです。 それらの間の角度が90度である場合、二つのベクトルaとbはperpendicularである-私たちは、間のシータを意味するperpendiculartoを定義しています。 それを定義することができます。 二つのベクトルを取ることができます。 彼らの内積を取る。 その二つの長さを把握し、次に、あなたはそれらの間の角度を把握することができます。 そして、それが90度であれば。 あなたは彼らがあると言うことができますペンディカル角度。, そして、私はここで非常に明確にしたいこれは実際には0vectorrightに対して定義されていないことをここに示します。 したがって、この状況は0ベクトルに対して定義されていません。 あなたが0vectorを持っているならば、ここでこの数量は0になり、ここでこの数量は0になるからです。 そして、あなたの角度のために明確な定義はありません。 これがここで0であれば、0はシータの0倍の余弦に等しくなります。 そして、あなたがthetaのためにsolveforしたいのであれば、thetaの余弦は0/0に等しくなりますが、これは未定義です。 しかし、私たちができることは、垂直という言葉よりもわずかに一般的な単語を作成することです。, だから、あなたは定義されている必要があります垂直について話す角度さえあります。 二つのベクトルの間の角度が90度であれば、定義によって、これらの二つのベクトルは垂直であると言っています。 しかし、もし私たちがテーマを作り、それらを見ると、二つのベクトルの間の角度が90度の場合、それはどういう意味ですか？ それでは、90度です。 ここに線を引いてみましょう。 としましょう90度です。 シータは90度に等しいです。 このformulatellは何私達をか。 それは、ドットbがaの長さにbの長さに90度の余弦を掛けたものと等しいことを教えてくれます。, 90度のコサインとは何ですか？ それは0です。 あなたはあまり意味をなさないあなたのユニットcircleifを見直すことができます。 しかし、それは0に等しいので、これは全項は0に等しくなります。 したがって、thetaが90度に等しい場合、ドットbは0に等しくなります。 そして、これは別の興味深いテイクアウトです。 Aとbが垂直であれば、それらの内積は0に等しくなります。 今、それらの内積が0に等しい場合、必然的にそれらがペルペンディクルであると言うことができますか？ Aまたはbisが0ベクトルの場合はどうなりますか？ 0ベクトル-0ベクトルに対してzを呼び出しましょう。 または私はちょうど描くことがで, 0ベクトルは何でもドット常に0に等しくなります。 それで、それは0vectorがすべてに垂直であることを意味しますか？ まあいいえ。 私が言った0ベクトルなので、私たちは垂直という言葉を使うために物事の間の角度の概念を持っている必要があります。 したがって、0ベクトルは使用できません。 二つのドット積が0に等しいからといって、それらが完全であるとは言えません。 そして、それは0vectorisが定義されていないため、0vectorwouldがそれを台無しにするからです。, だいていまbeensaying、aとbがゼロ以外であればnonzerovectors、ということができました場合、bはゼロとtheirdot製品が0、およびb areperpendicular. だから今では両方の方法を行きます。 しかし、もしこの条件がここにあればどうでしょうか？ ドットbが0に等しいという条件がある場合はどうなりますか？ それはちょっと単純で純粋な状態のようです。 そのためにawordを書くことができます。 そして、これらの言葉はしばしば同義語として使用されますが、うまくいけば、あなたは今のdistinctionを理解しています。, 二つのベクトルが0に等しい場合、それらを直交と呼ぶと言うことができます。 私はいつも言うように、私の最高の主題を綴ることはありません。 しかし、これは一種のきちんとしたアイデアです。 これは、すべての垂直ベクトルが直交していることを示しています。 また、0ベクトルは他のすべてに直交していることもわかります。 すべてに、それ自体に。 0ドット0ベクトルはまだ0になります。 したがって、定義上、それは直交です。, 数学のキャリアにおいて初めておそらくあなたは言葉を見ています-あなたが知っている、あなたが最初に言葉にさらされるたびに、幾何学や物理や他のどこでも、彼らはいつも同じ言葉でした。 しかし、今、私はここで素敵な、少し違いを紹介していますし、あなたは一種の教師と少しスマートaleckすることができます。 ああ、あなたが知っている、それはperpendicularonlyです-それらのどちらも0ベクトルであれば。 そうでなければ、それらのドット積が0の場合、それらは直交しているとしか言えません。, しかし、それらがゼロでない場合、それらは直交して垂直であると言うことができます。 しかし、いずれにしても、思ったことを可能にする取組みを始を紹介しこの小さな区別をする場合youhaveの人の好きなことを旅行してまいります。 しかし、それはまた、私はハイライト私たちがゼロから数学を構築していると私たちは私たちが使用する言葉に注意する必要があると思います。 やれることで非常にpreciseabout当社規定します。, なぜなら、私たちが定義について正確ではなく、これの上にたくさんのmathematicsonを構築し、たくさんの証明を行うなら、ある日、私たちの頭を傷つけて、ある種のあいまいさを読んだからです。 そして、これらの用語の意味を定義するのに十分な正確さがなかったという事実から、すべてが出てきたかもしれません。 まあとにかく、うまくいけばyoufoundこの便利。 我々は今、角度を取ることができますまたはwecanは今、成分の任意の数を持つベクトル間の角度を決定することができます。