부부의 동영상이 전 weintroduced 의 아이디어의 길이를 벡터입니다. 즉 길이와 같습니다. 이 깔끔한 아이디어 becausewe 사용의 길이이 일에 두-orthree 차원 공간이지만,그것은 매우 추상적인 whenwe 얻 n 치수입니다. 이것이 백 구성 요소를 가지고 있다면,적어도 나에게는 백 측정 벡터를 시각화하는 것이 어렵습니다. 그러나 우리는 실제로 길이에 대한 개념을 정의했습니다. 그리고 우리는 이것이 실제로 스칼라 값이라는 것을 보았습니다. 그것은 단지 숫자입니다., 이 비디오에서는 시도하려고합니다.벡터 사이의 각도 개념을 정의합니다. 당신이 볼 수 있듯이,우리는 buildingup 이 수학의 벡터 지상에서,우리가 할 수 있습 ‘tjust 말,아,나는 무엇을 알고 있는 각은 becauseeverything 우리가 알고 있는 앵글도 길이,itjust 에 적용되 우리가 무엇과 연결 두-orthree 차원 공간입니다. 그러나 linearalgebra 의 전체 연구는 이러한 아이디어를 다차원 공간으로 추상화하고 있습니다. 그리고 나는 아직 어떤 것을 정의하지 않았지만,당신이 ideato 를 어느 정도 이미 이해하고 있다고 생각합니다. 사람들이 하나에 대해 이야기 할 때 또는두 가지 또는 세 가지 차원., 그래서 내가 somevector 를 가지고 있다고 가정 해 봅시다-벡터 a 와 b 라는 두 개의 벡터가 있다고 가정 해 봅시다. 그리고 나는 아직 그들 사이의 각도에 대한 개념을 가지고 있지 않지만,단지 그들을 끌어 내도록하겠습니다. 그냥 2 차원으로 그릴 수 있는 것처럼 그려보겠습니다. 그래서 바로 거기에 벡터가 될 것입니다. 어쩌면 바로 거기에 벡터가 있습니다. 이 벡터는 벡터 a 를 뺀 b 입니다. 또는 당신도 알다시피,이것은꼬리에 머리. 그래서 b 플러스 a 마이너스 b 는 물론 벡터 a 가 될 것입니다., 그리고 그것은 모두 저 밖에 작동합니다. 이 notionof 각도를 정의하는 데 도움이되도록,이 삼각형과 같이 많이 보이는 또 다른 삼각형을 구성하겠습니다. 그러나 나는 단지하고 있다는 것을 기억하십시오.우리의 단순한 마음이 그것을 2 차원으로 상상하기 위해서입니다. 그러나 이것들은 필요하지 않습니다.2 차원 짐승. 이들은 각각 ahundred 구성 요소를 가질 수 있습니다. 그러나 내가 다른 것을 만들자.삼각형. 음,비슷하게 보일 것입니다. 그렇게 보인다고 말하십시오. 그리고 저는 삼각형의 thesides 를 각각의 길이로 정의 할 것입니다.이 벡터의 길이., 각각의 길이를 기억하십시오.이 벡터는 얼마나 많은 구성 요소가 있는지 상관하지 않습니다. 그래서 길이의 측 righthere 은 길이 될 것입니다. 의 길이 측 righthere 이의 길이는 벡터 aminus vector b. 고의 길이는 이 sideright 여기에는 길이 될 것 벡터의 b. 지금 우리가 원하는 첫 번째 일은 확인시키려면은 우리는 항상성 trianglelike 니다. 그래서 어떤 정황 하에서 우리는 이것을 삼각형으로 만들지 않을 수 있습니까?, 그럼 우리는 ableconstruct 이 측면이 같은 삼각형되지 않을 것입니다. b 의 경우,크기 경우-solet 나를 적어. 그것은 일종의 미묘한 점이지만,나는 이것을 아주 분명히하고 싶다. 각도를 정의하기 위해,나는 항상 이것을 만들 수 있다는 것을 편안하게합니다.구성. 그리고 나는 그것을 확인해야합니다-왜 내가 이것을 만들 수 없었던 이유를 쓰게하십시오. 그럼 만약 크기 ofb 보다 큰,또는 벡터 b 의 길이 greaterthan 벡터 a 의 길이 플러스 길이 vector a 마이너스 b?, 두 가지 차원에서,수 neverdraw 삼각형을 좋아하는 그런 때문에 당신은 wouldhave 이 길이 이 길이 될 것이 짧은 thanthis 것이 바로 여기에 있습니다. 그래서 당신은 결코 그것을 구성 할 수 없었습니다. 그리고 나는 함께 할 수 있었다.모든 측면. 이 길이가 더 크다면 어떨까요?이 두면 중 하나? 또는 그 길이가 그 두면 중 하나보다 크면 어떨까요? 나는 결코 그런 식으로 2 차원 삼각형을 그릴 수 없었다. 그래서 내가 무엇을 하는 것은 ‘mgoing 사용하는 삼각형–삼각형 벡터 inequalityto 을 증명하는 이러한 각 측면보 또는 동등록 합계의 다른 측면입니다., 나는 똑같은 일을 할 수 있었다. 요점을 분명히하겠습니다. 나는 a,forwhatever 이유가 b 를 더한 다른면보다 크다면 삼각형을 만들 수 없다는 것을 보여줄 수있었습니다. 그리고 마지막 하나의 물론여기있다만약에는 b 마이너스는 어떤 이유로,보다 더 큰 것 다른 두 가지 측면,나는 그냥할 수 없을 것이 drawa 삼각형에스 b. 그래서 나를 표시해야한다는 anyvectors,어떤 부 벡터–아닌,진짜는 벡터 aremembers Rn–는 이들의 아무도 적으로 일어날 수 있다. 나는 noneof 가 일어날 수 있음을 증명해야합니다. 그래서 삼각형은 우리에게 무엇을 말합니까?, 삼각형의 불평등 tellsus 는 경우가 합의 두 벡터이 걸릴 경우,thelength 의 합의 두 벡터,는 alwaysgoing 미만인 것–및 이들은 아닌 벡터입니다. 이것은 항상 lessthan 또는 그들의 individuallengths 의 각각의 합과 같을 것입니다. 그래서 우리가 할 수 있는지 보자.바로 여기에이 삼각형에 적용하십시오. 그래서 크기,a 의 길이는 무엇입니까? 그럼 벡터 a 를 다시 쓸 수 있습니다. 벡터 a 는 vectorb 플러스 벡터 a 마이너스 b 와 같습니다. 나는 단지 다른 두 벡터의 asum 으로 여기를 다시 쓰고있다., 거기에 멋진 것은 없습니다. 나는 triangleinequality 또는 아무것도 사용하지 않았습니다. 방금 내 정의를 사용했습니다.벡터 추가. 그러나 여기에 littleparentheses 를 여기에 넣으면 이제 삼각형 불평등을 적용 할 수 있습니다. 그리고 나는 말합니다. 이것은 우리가 증명 한 삼각 불평등에 의해 각 벡터의 길이보다 많거나 같을 것입니다. 벡터 b 를 더한 lengthof 벡터 a 를 뺀 b.그래서 우리는 ais 의 길이가 그 하나와 그 하나의 합보다 작다는 것을 압니다. 그래서 우리는 걱정할 필요가 없습니다.이것은 우리의 문제입니다. 우리는 그것이 사실이 아니라는 것을 압니다., 이제 b 를 살펴 보겠습니다.그래서 내가 할 수있는 방법이 있습니까?b 를 다른 두 벡터의 합으로 작성합니까? 잘 확실합니다. 아플러스의 합으로 쓸 수 있는데,이런 식으로 넣겠습니다. 는 경우에는 벡터 바로가 aminus b,같은 벡터에서는 반대 방향으로 goingto 수 vector b 마이너스. 그래서 플러스 vectorb 마이너스. 는 동일한 것으로 b. 고 당신은 그것을 볼 수 있습니다 바로 여기에 있습니다. A 의 cancelout 것 그리고 당신은 그냥 거기에 b 와 함께 남아 있어요. 이제 삼각형 불평등에 의해,우리는 이것이 벡터 a 의 길이와 벡터 b 의 길이를 뺀 a 보다 작거나 같다는 것을 압니다., 지금 당신은 말을하는 야,Sal,당신을 다루는 b 마이너스. 이 lengthof 마이너스 b. 고 맡길 수 있는 이 곧 그것을 증명 기반으로 우리의 정의는 벡터의 길이지만,그 길이는 b 마이너스와 같-1timesa b 마이너스. 나는 그것을 떠나면 곧이 말하는,이러한 길이 동일하다. 기 때문에 기본적으로-나 couldleave 는,그러나 나는 당신이 취할 수 있는 기반으로 그냥 visual 의 묘사 그들을 그들은 정확한 samevectors 에서,서로 다른 방향으로. 왜냐하면 그것은 단지 2 차원이 아니기 때문입니다., 그러나 나는 당신이 아이디어를 얻고이 길이들이 똑같은 것을 증명하기 위해 그것을 남겨 둘 것이라고 생각합니다. 그래서 우리는 b 가 lessthan 이 그 두 가지의 길이라는 것을 알고 있습니다. 그래서 우리는 걱정할 필요가 없습니다.바로 거기에 하나. 마지막으로,마이너스 b. 크기 또는 lengthof 벡터는 b 마이너스. 잘 쓸 수 있는 thelength 나 내가 쓸 수 있는 벡터 plusvector b 마이너스. 면 우리는 그냥 넣어 마이너스 b rightthere 고 가서 다른 방향으로 우리가 말할 수 있습 minusb 는 것에서 그 방향으로 더한 것입 giveus 우리의 벡터는 b 마이너스. 실제로 나가지 않 evenhave 존재하지 않습니다., 이것으로부터 분명합니다. 난 그냥 종류의 괄호에 네거티브를 넣어. 아 삼각형 부등식과 이를 보일 수 있는 작은 일상적인,하지만 그것 reallyshows 우리는 우리는 항상 정의는 일정한 평면 trianglebased 에서 이러한 벡터에서 이 방법입니다. 그것은 이것이 우리의 벡터 a 의 길이와 lengthof 를 뺀 b 에 orequal 보다 작다는 것을 알려줍니다. 이것은 확실히 그 두 가지를 lessthan 입니다. 그리고 그것은 그 두 가지보다 분명합니다., 우리가 삼각형을 구성하지 못하게하는 이유 중 어느 것도 유효하지 않습니다. 그래서 우리는 항상 rn 의 임의의 nonzerovectors 에서이 방법으로 atriangle 을 구성 할 수 있습니다. 우리는 항상 이것을 구성 할 수 있습니다. 이제 각도를 정의하려면 여기에서 다시 그립니다. 벡터를 다시 그려 보겠습니다.조금 더 커질 수 있습니다. 이것이 벡터 a 입니다.이 벡터 b 입니다. 이것은 벡터입니다.거기 권리. 즉 벡터 a 를 뺀 b 입니다., 우리가 우리가 todefine 해당하는 일반,실행,공장의 바닐라 삼각형의 길이에 의해 정의된 lengthsof 벡터,상기 벡터 길이 있습니다. 그래서 이것은 lengthof b,그면입니다. 이 lengthof 마이너스 b. 그리고 이것은 thelength 니다. 이제는 내가 알기에는 나 canalways 구성하는 삼각형과 같은 이 시도할 수 있습 todefine-또는 실제로 정의 내의 정의는 anglebetween 두어야 합니다. 그래서 우리는 앵글이 무엇인지 압니다.이 맥락에서 의미합니다. 이것은 단지 정기적 인 실행입니다.밀,기하학적 삼각형., 자,anglebet 에 대한 나의 정의는 내가 말하려고하는 두 개의 벡터 중에서-그래서 이것은 정의하려고하는 whatI 입니다. 이것이 내가 가고있는 것입니다.정의해라. 이것들은 임의의 숫자를 가질 수 있습니다.구성 요소이므로 시각화하기가 어렵습니다. 하지만 내가 정의 thisangle 으로 해당하는 각도에서 일정한 실행의 themill 트라이앵글의 측면 실 triangleare 두 벡터와 그때 반대측 손상시킬 빼기,길이의 차이를 사이에 두어야 합니다. 이것은 단지 정의 일뿐입니다., 저는 이를 정의하는 anglebetween 두 벡터에 Rn 할 수 있는 임의의 수를 구성 요소,저는 이를 정의하는 각도 동일하게 asthis 각도 사이의 각도,두 lengthsof 그 벡터 단지 일반 실행하의 themill 삼각형이다. 자,이것으로 무엇을 할 수 있습니까? 글쎄,우리는 바로 여기에있는 모든 것들과 관계를 찾을 수 있습니까? 잘 확실합니다. 당신이 당신의트리고노미트리 클래스에서 기억하고,그렇지 않다면,나는 그것을 증명했습니다.재생 목록에서. 당신은 코사인의 법칙을 가지고 있습니다. 그리고 나는 당신을 혼란스럽게하지 않기 때문에 바로 여기에서 임의적으로 할 것입니다., 따라서 이것이 side a,b 및 cand 이 theta 인 경우 코사인의 법칙은 c squaredis 가 세타의 a 제곱 플러스 b 제곱 마이너스 2abcosine 과 동일하다는 것을 알려줍니다. 나는 항상 이것을 직각 일 필요는 없기 때문에 더 넓은 피타고라스 정리의 일종으로 생각합니다. 그것은 모든 각도를 차지합니다. 이것이 직각이되면,이 용어는 사라지고 당신은 단지 thePythagorean 정리로 남았습니다. 그러나 우리는 이것을 입증했습니다. 이것은 단지 일반에 적용,밀 삼각형의 실행. 그리고 우리에게 운이 좋으면,우리는 여기에있는 밀 삼각형의 런을 가지고 있습니다., 이 삼각형에 로오프코사인을 바로 여기에 적용해 보겠습니다. 그리고 내가 그린 방식,그들은 대응합니다. 이것의 길이면 제곱. 그래서 그것은 길이를 의미합니다.a 마이너스 b 제곱. 벡터의 길이 a 를 뺀 vectorb,그것은 단지 그면의 길이입니다. 그래서 나는 단지 쪼그리고 앉고있다. 그것의 길이와 동일 vectorb 제곱의 길이가 벡터 제곱 마이너스 2 시간의 길이죠 그냥 두 개의 시간의 길이 vectora 시간의 길이는 벡터 b 번 코사인은 이 각도 바로 여기에 있습니다. 그 각도의 코사이네의 배., 그리고 저는이 두 벡터가 바로 거기에있는 것과 같도록 앵글벳을 정의하고 있습니다. 그래서 우리가이 각도를 안다면,정의,우리는 바로 그 각도를 알고 있습니다. 음,우리가 알고 있는 squareof 우리의 길이는 벡터의 경우 우리가 사용하는 factordefinition 의 길이니,이것은 그냥 같은 일 asa 벡터 점입니다. 그래서 그것은 minusb 점 a 빼기 b 입니다.이 모든 것들은 오른쪽에있는 것과 같을 것입니다. 그러나 간단히 말해 보겠습니다.이 방정식의 왼쪽. a 빼기 b 점 a 빼기 b,이것은점 a 와 같은 것-그 두 용어-점 b 를 뺀 것입니다., 그리고 나서 b 점 a 를 뺀 것입니다.이 두 용어는 바로 거기에 있습니다. 그리고 당신은 theminus b 점을 뺀 b. 는 동 thingas 플러스 b dot b. 기억,이것은 그냥 asimplification 의 왼쪽을. 그리고 나는 이것을 다시 쓸 수있다. a 점 a,우리는 그것이 단지 것을 압니다.제곱의 길이. a 점 b 와 b 점 a 는같은 일,그래서 우리는이 두 가지가 있습니다. 그래서 이것이 바로 여기에,이 termright 있을 단순화하는 마이너스는 2 시간이 점 b. 그리고 마지막으로,b dot b. 우리가 알고 있는 그냥 thelength b 의 제곱. 그냥 단순화했거나 어쩌면 확장했을 수도 있습니다-더 나은 단어입니다., 여기서 한 용어로 갈 때세 가지 용어로,당신은 당신이 그것을 단순화했다고 말할 수 없습니다. 그러나 나는 단지 넓어졌습니다.측면 그래서 이것은 코사인의 법칙에 의해 오른쪽 측면과 동일해야합니다. 그래서 그것은 같습니다-나는 거의 그것을 다시 쓰는 대신 그냥 복사하고 붙여 넣기를 원합니다. 나는 방금 무엇을 했습니까? 복사,편집. 복사하여 붙여 넣습니다. 거기 당신은 간다. 나는 그것을 모른다.그만한 가치가 있습니다. 하지만 어쩌면 나는 약간의 시간을 절약했을 것입니다. 그래서 그것은 똑같습니다.바로 거기에. 그리고 나서 우리는 단순화 할 수 있습니다. 우리는 여기에 asquared 의 길이,거기에 제곱의 길이를 가지고 있습니다. 그것을 양쪽에서 빼십시오., 여기서 b 제곱의 길이,거기에 b 제곱의 길이. 그것을 양쪽에서 빼십시오. 그리고 나서,우리는 무엇을 할 수 있습니까? 우리는 다른 모든 것이 사라 졌기 때문에 양쪽을 byminus2 로 나눌 수 있습니다. 그래서 그는 용어는 termwill 모두가 1 습니다. 고 우리에게 남은 thevector 점 vector b. 이것은 흥미로운 becauseall 의 갑작스런 우리는 점점 relationshipbetween 점의 제품이 두어야 합니다. 우리는 일종의 길이로 그들의 정의에서 벗어났습니다. 그러나 twovectors 의 dot 곱은 길이,벡터 길이의 곱과 같습니다., 그리고 그들은 임의적 인 구성 요소를 가질 수 있습니다. 시간 그들 사이 theangle 의 코사인. 이 세타,내가 말한 것을 기억하십시오.이것은 당신이 이런 종류의 유사하고 규칙적인 삼각형을 그릴 때와 같습니다. 그러나 나는 그것들과 똑같이하기 위해 앵글을 정의하고 있습니다. 그래서 나는 이것이그들 사이의 각도. 그리고 분명히,아이디어두 개의 벡터 사이에는 3 차원 이상으로 가면 시각화하기가 어렵습니다. 그러나 이제 우리는 적어도 수학적으로 정의했습니다., 그래서 만약 당신이 나에게 두 벡터 wecan 을 사용하여,지금 이 수식은 우리는 증명을 사용하여 thisdefinition 여기까지,우리가 계산할 수 있습 각도 betweenany 두 벡터를 사용하여 이 바로 여기에 있습니다. 고 명,whathappens 는 경우입니다-그것은 어쩌면에서 명확하지 않 thatdefinition,그래서 나는 그것을 명확하게 여기는 경우는 동일한 어떤 스칼라 여러의 b wherec0 보다 크다,우리는 우리 정의합니다 thetato 같은 0 입니다. 그리고 c 가 0 보다 작 으면 a 는 다음과 같습니다.선형이지만 정반대 방향으로 가면 세타를 180 도와 같게 만듭니다., 그리고 그것은 우리가 단지 2 차원 벡터에 대해 이해하는 것과 일치합니다. 만약 그들이 동일 선상이고 스칼라 배수가 동일하다면. 즉,a 는 어떤 것처럼 보이고 b 는 그런 것처럼 보입니다. 그래서 우리는 오,그’s0 각도. 면 그들은 다른 방법으로는 경우 다음과 같은 경우 isjust 가에서 다른 방향에서 b. a 같이 간다는 와 b 간 관심 있는 사용자의 의견을 더욱 쉽을 정의하는 각도로 그들 사이의 be180 도입니다. 그러나 다른 모든 것은 예쁘다.삼각형 예제로 정의됩니다., 아주 특별한 caseof 이기 때문에 명확하지 않다 당신은 정말 trianglein 때문에 이러한 경우 trianglekind 의가 사라집니다. A 와 b 가 서로의 위에 있거나 exactopposite 방향으로가는 경우 평평 해집니다. 그래서 제가 만들고 싶었던 이유입니다.바로 거기에 약간의 사이드 노트가 있습니다. 이제이 정의를 사용하여벡터 사이의 각도,우리는 이제 ideaof 수직 벡터를 정의 할 수 있습니다., 그래서 우리는 이제 말 perpendicularvectors-이것은 다른 정의를–andthis 수 없는 지구 산산조각이 아니다,그러나 그것의 종류기 때문입니다 우리는 일반화에 이것을 벡터가 있는 anarbitrary 수의 구성 요소입니다. 우리는 perpendicularto 를 정의하고 있습니다-두 벡터 a 와 b 사이의 세타 사이의 각도가 90 도인 경우 areperpendicular 를 의미합니다. 그리고 우리는 그것을 정의할 수 있습니다. 우리는 두 개의 벡터를 가져 와서 점을 찍을 수 있습니다. 그들의 도트 제품을 가져 가라. 그들의 두 길이를 알아 내고그들 사이의 각도를 알아낼 수있었습니다. 그리고 그것이 90 도라면. 당신은 그들이 다음과 같이 말할 수 있습니다.수직 각도., 그리고 나는 여기에서 매우 명확하게하고 싶다.이것은 실제로 여기서 0 벡터권에 대해 정의되지 않았습니다. 그래서 바로 여기이 상황은 0 벡터에 대해 정의되지 않았습니다. 왜냐하면 당신이 0 벡터를 가지고 있다면,바로 여기에있는이 양은 0 이 될 것이고,바로 여기에있는이 양은 0 이 될 것입니다. 그리고 당신의 각도에 대한 명확한 정의가 없습니다. 이것이 바로 여기에 0 이면 youdid0 은 theta 의 0 배 코사인과 같습니다. 그래서 당신이 solvefor theta 를 원한다면 당신은 theta 의 코사인이 정의되지 않은 0/0 과 같다는 것을 얻을 것입니다. 그러나 우리가 할 수있는 일은 다음과 같이 만드는 것입니다.수직 단어보다 약간 더 일반적인 단어., 그래서 당신은 정의를해야합니다.수직에 대해서도 이야기 할 수 있습니다. 두 벡터 사이의 각도가 90 도인 경우 정의에 따르면 그 두 벡터는 수직입니다. 하지만 만일 우리가 만든 thestatement 고 우리는-만약 당신이 그들에 보면 anglebetween 두 벡터가 90 도에 무슨 뜻입니까? 그래서 그 말을 해봅시다.90 도. 여기에 선을 그어 보겠습니다. 그 말을 해봅시다.90 도. 세타는 90 도와 같습니다. 이 공식은 우리에게 무엇을 의미합니까? 그것은 점 b 가 a 의 길이와 같다는 것을 알려줍니다.b 배의 길이는 90 도 코사인입니다., 90 도의 코사인은 무엇입니까? 그것은 0 입니다. 당신은 당신의 단위 서클을 검토 할 수 있습니다그것은 많은 이해가되지 않습니다. 그러나 그것은 0 과 같으므로이 항은 0 과 같을 것입니다. 따라서 세타가 다음과 같으면 90 도,점 b 는 0 과 같습니다. 그래서 이것은 또 다른흥미로운 테이크 아웃. A 와 b 가 수직 인 경우 도트 곱은 0 과 같습니다. 이제 그들의 도트 제품이 0 에 해당하는 경우,우리는 반드시 그들이 있다고 말할 수 있습니까? 그럼 만약 a 또는 bis0 벡터? 0 벡터-0 벡터에 대해 z 를 호출하겠습니다. 아니면 그냥 그릴 수 있습니다., 0 벡터 도트 아무것도항상 0 과 같을 것입니다. 그렇다면 0vector 가 모든 것에 수직이라는 것을 의미합니까? 음 아니. 내가 말한 0 벡터 때문에,우리는사물들 사이의 각도의 개념을 가지고 있어야합니다.수직 인 단어를 사용하는 순서. 그래서 우리는 0 벡터를 사용할 수 없습니다. 우리는 두 개의 벡터 도트 제품이 0 과 같다고해서 말할 수 없습니다. 그리고 그것은 0 벡터가 정의되지 않았기 때문에 0 벡터가 엉망이되기 때문입니다., 그러나 우리가 a 와 b 가 0 이 아닌 경우 비 제로 벡터 인 경우 a 와 b 가 0 이 아닌 경우 a 와 b 가 0 과 같으면 a 와 b 는 다음과 같다고 말할 수 있습니다. 그래서 지금은 양방향으로 진행됩니다. 그러나 우리가 단지 이것을 가지고 있다면 어떨까요?조건 바로 여기? 우리가 방금 가지고 있다면 어떨까요?점 b 가 0 과 같다는 조건? 그것은 일종의 것 같습니다.그냥 단순하고 순수한 조건. 그리고 우리는 그것에 대한 단어를 쓸 수 있습니다. 그리고이 단어들은 종종 사용됩니다.동의어로,그러나 희망 당신은 지금 distinction 을 이해합니다., 우리는 두 개의 벡터가다음 곱이 0 과 같으면 직교라고 부를 것입니다. 내가 항상 말했듯이,철자 내 최고의 주제는 아닙니다. 그러나 이것은 친절합니다.깔끔한 아이디어. 이것은 우리에게-음,모든 수직 벡터는 직교입니다. 그리고 그것은 또한 우리에게 알려줍니다.0 벡터는 다른 모든 것과 직교합니다. 모든 것,심지어 그 자체로. 0 점 0 벡터당신은 여전히 0 을 얻습니다. 그래서 정의에 따르면,그것은 직교입니다., 그래서 처음으로 probablyin 의 수학 경력,당신을 보고는 단어을 매번 당신은 처음에 노출되 wordsperpendicular 및 직교에서 형상이나 어쩌면에 physicsor 어디서나 다른 사람들은 항상 종류의 동일한 단어입니다. 하지만 지금은 여기에 좋은,작은 구별을 소개하고 당신은 종류의 교사와 약간의 스마트 알렉이 될 수 있습니다. 벡터가 0 벡터인 경우 벡터가 0 벡터인 경우 벡터가 0 벡터인 경우 벡터가 0 벡터인 경우 벡터가 0 벡터인 경우 벡터가 0 벡터인 경우 벡터가 0 벡터입니다. 그렇지 않으면,그들의 점 productis0 인 경우,당신은 단지 그들이 직교라고 말할 수 있습니다., 그러나 그들이 0 이 아닌 경우 당신은그들이 직교하고 수직이라고 말할 수 있습니다. 하지만 어쨌든 난 생각하는 저 소개하는 이 작은 차이에 대한 경우에는 당신없는 사람을 좋아하는 당신을 여행 가진 단어입니다. 그러나 그것은 또한 생각 highlightsthat 를 구축하고 있습니다 수학은 지상에서 upand 우리는 조심해야에 대해 단어를 사용하고 있습니다. 그리고 우리는 우리의 정의에 대해 매우 엄격해야합니다., 기 때문에 우리가하지 않 preciseabout 우리와 우리가 만드는 최대의 무리 mathematicson 최고의 이행의 무리는 증거,하루 wemight 스크래치 우리의 머리와 읽어 몇 가지 유형 ofweird 모호성. 고 있는 모든 온 add devices 는 사실 우리는 없었다 정확한 충분한 정의에서 whatsome 이 약관의 의미합니다. 어쨌든,잘하면 당신은이러한 유용한 발견. 우리는 이제 각도를 취하거나 wecan 이제 anarbitrary 수의 구성 요소가있는 벡터 사이의 각도를 결정할 수 있습니다.