um par de vídeos atrás weintroduced a idéia do comprimento de um vetor. Isso é igual ao comprimento. E esta foi uma idéia legal porque estamos acostumados com o comprimento das coisas no espaço bidimensional, mas torna-se muito abstrato quando chegamos a n Dimensões. Se isto tem 100componentes, pelo menos para mim, é difícil visualizar um vetor de centésima dimensão. Mas definimos a noção de comprimento. E nós vimos que este é realmente o valor escalar de uma estrela. É só um número., Neste vídeo, quero tentar definir a noção de um ângulo entre vetores. Como podem ver, estamos a acumular esta matemática de vetores do zero, e não podemos simplesmente dizer, oh, eu sei o que é um ângulo porque tudo o que sabemos sobre ângulos e até comprimentos, aplica – se apenas ao que associamos com espaço bidimensional. Mas todo o estudo de linearalgebra está abstraindo essas ideias no espaço multi-dimensional. E eu ainda nem defini o que é a dimensão, mas acho que você já entende esse ideato em algum grau. Quando as pessoas falam de uma ou duas dimensões., Então vamos dizer que eu tenho algum vetor — vamos dizer que eu tenho dois vetores, vetores a E B. Eles são nonzero e eles são membros de Rn. E ainda não tenho uma noção do ângulo entre eles, mas deixem-me atraí-los. Deixem-me desenhá-los como se os pudesse desenhar em duas dimensões. Então, deve ser o vectora. Talvez seja o vectorb. E então esse vetor à direita seria o vetor a menos B. e você pode verificar que apenas a maneira que aprendemos a adicionar e subtrair vetores. Ou, sabes, isto é de caras para Coroa. Então b mais a menos b é claro, vai ser vector A., E tudo isso funciona lá fora. Para nos ajudar a definir este ângulo, deixe-me construir outro triângulo que vai ficar muito parecido com este. Mas lembra-te, estou a fazer isto para as nossas mentes simples imaginarem em duas dimensões. Mas estas não são bestas de duas dimensões. Cada um deles pode ter componentes fundidos. Mas deixa-me fazer outra viagem. Bem, deve ser parecido. Diz que é assim. E vou definir que os trechos dos triângulos são os comprimentos de cada um destes vetores., Lembre-se, o comprimento de cada um destes vetores, não me importa quantos componentes existem, eles vão ser apenas os seus números. Portanto, o comprimento deste lado righthere é apenas vai ser o comprimento de um. O comprimento deste lado righthere é apenas vai ser o comprimento do vetor aminus vetor b. E o comprimento deste sideright aqui vai ser o comprimento do vetor b. Agora, a primeira coisa que nós queremos tomake certeza é que sempre podemos construir um trianglelike que. E sob que circunstâncias não podemos construir um triangulo como este?, Bem, não estaríamos a construir um triângulo como este se este lado. se b, se a magnitude … deixa-me anotar isto. É uma espécie de subtileza, mas quero deixar isto bem claro. A fim de definir um ângulo, Eu quero ser confortável que eu posso sempre fazer esta estrutura. E eu preciso ter certeza que–deixe-me escrever razões pelas quais eu não poderia fazer esta construção. Bem, e se a magnitude de B fosse maior que, ou o comprimento do vetor b fosse maior do que o comprimento do vetor a mais o comprimento do vetor a menos b?, Em duas dimensões, eu nunca poderia desenhar um triângulo como aquele então porque você teria este comprimento mais este comprimento seria mais curto do que esta coisa aqui. Para que nunca o conseguisses construir. E preciso de todos os lados. E se este comprimento fosse maior do que um destes dois lados? Ou se o comprimento for maior que um desses dois lados? Nunca poderia desenhar um triângulo bidimensional dessa maneira. Então o que eu vou fazer é usar o triângulo– a desigualdade do triângulo vetorial para provar que cada um destes lados é menor ou igual à soma dos outros lados., Podia fazer o mesmo. Permitam-me que esclareça este ponto. Eu poderia mostrar que se a, por qualquer razão, fosse maior do que os outros lados mais b,então eu não seria capaz de criar um triângulo. E o último de curso isif a menos b, por qualquer motivo, foi maior do que ooutro dois lados, eu não seria capaz de drawa triângulo em mais b. Então, eu preciso mostrar que para anyvectors, qualquer real vetores– diferente de zero, o real vetores que aremembers do Rn– que nenhum desses pode acontecer. Preciso de provar que nada disso pode acontecer. O que nos diz a igualdade triangular?, A desigualdade triangular diz-nos que se eu tiver a soma de dois vetores, Se eu tomar a extensão da soma de dois vetores, isso é sempre menor que– e estes são vetores não-zero. Isto será sempre menor ou igual à soma de cada um dos seus desafios individuais. Então vamos ver se podemos aplicar isso a este triângulo aqui mesmo. Então qual é a magnitude, o comprimento de a? Bem, posso reescrever o vector a. O que é o vector a igual a? Vector a é igual a vectorb mais vector a menos B. quero dizer, Estou apenas a reescrever o vector aqui. Estou a reescrever um asum dos outros dois vetores., Nada de especial. Não usei a igualdade triangular nem nada. Acabei de usar a minha definição de adição vectorial. Mas aqui agora, se eu colocar alguns avós aqui, agora posso aplicar a desigualdade triangular. E eu digo, Bem, sabes que mais? Isto vai ser, pela desigualdade triangue, que nós provamos, vai ser inferior ou igual ao comprimento de cada um destes vetores. Vetor b Mais o comprimento do vetor a menos B. Então sabemos que o comprimento do ais é menor que a soma desse E daquele. Por isso, não temos de nos preocupar com este problema. Sabemos que isso não é verdade., Agora vamos olhar para B. então há alguma maneira que eu possa reescrever b como uma soma de dois outros vetores? Claro. Posso escrevê-lo como uma soma de aplus, deixe-me colocar desta forma. Se esse vetor à direita é aminus b, o mesmo vetor na direção reversa é goingto ser o vetor B menos A. Assim, a mais o vectorb menos a. Isso é a mesma coisa que B. e você pode vê-lo aqui. O ” a “cancelaria e tu ficas com o “b”. Agora, pela desigualdade triangular, sabemos que isto é menor ou igual ao comprimento do vetor a mais o comprimento do vetor b menos A., Agora estás a dizer, Sal, estás a lidar com b menos A. Este é o comprimento de a menos B. e posso deixar isto para ti para o provares com base na nossa definição de comprimentos vetoriais,mas o comprimento de b Menos A é igual a menos 1 timesa menos B. E deixo-te a ti dizer que estes comprimentos são iguais. Porque essencialmente — eu poderia deixar isso, mas eu acho que você pode levar isso baseado apenas na representação visual deles que eles são os mesmos vetores, apenas em direções diferentes. E eu tenho que ter cuidado com o comprimento porque não é apenas em duas dimensões., Mas acho que tens a ideia e deixo isso para provares que estes alongamentos são a mesma coisa. Então sabemos que b é menor do que o comprimento dessas duas coisas. Por isso, não temos de nos preocupar com aquele ali. Finalmente, a menos b. A magnitude ou a lengthof vetor a menos b. Bem, eu posso escrever isso como thelength de– ou eu posso escrever isso como um vetor plusvector menos b. Se nós apenas colocamos a menos b rightthere e ir em outras direções, pode-se dizer minusb, o que seria nessa direção, mais um seria giveus nosso vetor a menos b. Na verdade, eu não evenhave ir para lá., Isto é óbvio. Pus a negação entre parênteses. Bem, a desigualdade triangular, e isso pode parecer um pouco mundano para vocês, mas realmente nos mostra que podemos sempre definir um triangulo planar regular baseado nestes vetores desta forma. Diz-nos que isto é menos do que orequal ao comprimento do nosso vector a mais o comprimento de menos B. E eu acabei de dizer e você poderia prová-lo a si mesmo, que isto é a mesma coisa que o comprimento de B. então acabamos de ver que isto é definitivamente menos do que aqueles dois. Isto é definitivamente menos do que aqueles dois. E isso é definitivamente irrelevante do que aqueles dois., Nenhuma das razões que nos impediriam de construir um triângulo é válida. Assim, podemos sempre construir atriângulo desta forma a partir de quaisquer Não -zer-vetores arbitrários em Rn. Podemos sempre construir isto. Agora, para definir um ângulo, deixe-me redesenhá-lo aqui. Deixa-me redesenhar os vectores, talvez um pouco maior. Este é o vector A. Este é o vector B. E deixem-me desenha-lo desta forma. Este é o vectorright. Este é o vector a menos B., E nós dissemos que nós vamos definir um regular correspondente, corrida do moinho, triângulo de baunilha cujos comprimentos são definidos pelos comprimentos dos vetores, pelos comprimentos vetoriais. Então este é o comprimento de b, aquele lado. Este é o comprimento de a menos B. E então este é o comprimento de A. Agora que eu sei que eu posso sempre construir um triângulo como este, eu posso tentar definir– ou na verdade, eu vou definir minha definição de um ângulo entre dois vetores. Portanto, sabemos o que é um Inglês neste contexto. Isto é apenas um triângulo geométrico regular., Agora, minha definição de anglebet entre dois vetores eu vou dizer– então isso é o que eu estou tentando definir. Isto é o que vou definir. Estes podem ter um número arbitrário de componentes, por isso é difícil de visualizar. Mas eu vou definir este ângulo como o ângulo correspondente em um regular, run of themill triangle onde os lados da execução do mill Triangle são os dois vetores e, em seguida, o lado oposto é a subtração, é o comprimento da diferença entre os dois vetores. Esta é apenas a definição., Estou a definir isto, o ângulo entre dois vectores em Rn que pode ter um número arbitrário de componentes, estou a definir este ângulo para ser o mesmo que este ângulo, o ângulo entre os dois lados, os dois alongamentos desses vetores numa sequência regular do triângulo de Silos. O que posso fazer com isto? Bem, podemos encontrar uma relação entre todas estas coisas aqui? Claro. Se te lembras da tua aula de economia, e se não te lembras, provei a lista de músicas. Tens a lei dos cosenos. E fá-lo-ei com um julgamento arbitral aqui mesmo só porque não quero confundir-te., Então, se este é o lado a, b, e cand este é theta, a lei dos cossenos nos diz que c quadrado igual a um quadrado Mais b quadrado menos 2abcosina de theta. Eu sempre penso nisso como uma espécie de teorema de Pitágoras mais amplo, porque isso não tem que ser um ângulo reto. Explica todos os ângulos. Se isto se tornar um ângulo reto, então este termo desaparece e você fica apenas com o teorema histórico. Mas já provámos isso. Isto aplica-se apenas a regular,execução dos triângulos de moinho. E felizmente para nós, temos aqui o triângulo aregular, run of the mill., Então vamos aplicar a lei dos cossenos a este triângulo aqui mesmo. E da forma como o desenhei,eles correspondem. O comprimento deste lado ao quadrado. Isso significa o comprimento de a menos b ao quadrado. Comprimento do vector a menos vectorb, é apenas o comprimento daquele lado. Por isso, estou a olhar para aquele lado. É igual ao comprimento do vectorb ao quadrado mais o comprimento do vetor A ao quadrado menos 2 vezes o comprimento de — vou apenas escrever duas vezes o comprimento do vectora vezes o comprimento do vetor b vezes o cosseno deste ângulo aqui mesmo. Vezes o cosseno desse ângulo., E estou a definir este ângulo entre estes dois vectores para ser o mesmo que este ângulo ali. Então, se conhecemos esse ângulo, por definição, conhecemos esse ângulo ali. Bem, sabemos que o quadrado dos nossos comprimentos de um vector quando usamos a nossa definição de comprimento factordefinição, que isto é apenas a mesma coisa como vector pontilhado consigo mesmo. Então isso é um ponto minusb a menos B. vai ser tudo igual a toda esta coisa do lado direito. Mas deixa-me simplificar o lado esquerdo desta equação. a menos B ponto a menos b, Isto é a mesma coisa que um ponto a– esses dois termos — menos um ponto b., E depois tenho menos B ponto A. Esses dois termos ali. E então você tem theminus B ponto menos B. é a mesma coisa como a mais b ponto b. lembre-se, isto é apenas simplificação do lado esquerdo. E posso reescrever isto. um ponto a, sabemos que é o comprimento de um quadrado. um ponto b E B ponto A são a mesma coisa, então temos dois destes. Então isso aqui, esse termo ali vai simplificar para menos 2 vezes um ponto B. e então, finalmente, B ponto b. sabemos que isso é apenas o comprimento de b ao quadrado. Simplifiquei ou talvez me tenha expandido. é uma palavra melhor., Quando se passa de um termo para três termos, não se pode dizer que se simplificou. Mas eu expandi apenas o lado esquerdo e então isso tem que ser igual ao lado direito pela lei dos cossenos. Então isso é igual a — eu quase sinto que em vez de reescrevê-lo, deixe-me apenas copiá-lo e colá-lo. O que acabei de fazer? Entendido, edite. Copiar e colar. Isso mesmo. Não sei se valeu a pena. Mas talvez tenha poupado um pouco de tempo. Então isso é igual ao que está ali. E depois podemos simplificar. Temos um comprimento de asquared aqui, comprimento de um quadrado ali. Subtrai-o de ambos os lados., O comprimento de b ao quadrado aqui, o comprimento de b ao quadrado ali. Subtrai-o de ambos os lados. E depois, o que podemos fazer? Podemos dividir os dois lados pelo minus 2 porque tudo o resto desapareceu. E então esse termo e esse Termo serão ambos 1’s. e tudo o que nos resta é o vetor a ponto o vetor B. e isso é interessante porque de repente estamos obtendo uma relação entre os produtos dot de dois vetores. Nós meio que nos afastamos da sua definição por comprimentos. Mas o produto Ponto de dois vetores é igual ao produto de seus comprimentos, seus comprimentos vetoriais., E podem ter um número arbitrário de componentes. Vezes o cosseno da cilada entre eles. Lembre-se, este theta,eu disse que isto é o mesmo que quando você desenha este tipo de triângulo análogo, regular. Mas estou a definir que o ângulo entre eles é o mesmo que isso. Portanto, posso dizer que este é o ângulo entre eles. E obviamente, a ideia de entre dois vetores, É difícil de visualizar se você for além das três dimensões. Mas agora temos pelo menos,matematicamente definido., Então se você me der dois vetores podemos agora, usando esta fórmula que provamos usando esta definição aqui, podemos agora calcular o ângulo entre dois vetores usando isso aqui. E só para deixar claro, o que acontece se a é a– e talvez não seja claro a partir dessa definição,então vou deixar claro aqui que, por definição, se a é igual a algum múltiplo escalar de b onde o C é maior que 0, vamos definir que o tato é igual a 0. E se c é menor que 0, então um iscolinear, mas vai na direção exatamente oposta, vamos definir theta para ser igual a 180 graus., E isso é consistente com o que entendemos sobre apenas vetores bidimensionais. Se forem colineares e o tipo do scalar multiplicarem o mesmo. Isso significa que a parece-se com isso e b é parecido com isso. Por isso dizemos que é um ângulo zero. E se eles vão para o outro lado, se a se parece com algo — Este é o caso em que a está indo na outra direção de B. a vai assim e b vai assim, nós definimos o ângulo entre eles para 180 graus. Mas tudo o resto é prettywell definido pelo exemplo do triângulo., Tive de fazer o caso especial, porque não é claro que se tem um triangulo nestes casos, porque o tipo de triangulação desaparece. Ele se achata se a e b estão em cima um do outro ou se eles estão indo na direção exata deepposite. Então é por isso que eu queria fazer um pouco de uma nota lateral aqui. Agora, usando esta definição do ângulo entre os vetores, podemos agora definir o idea de vetores perpendiculares., Então agora podemos dizer perpendicularvetores — esta é outra definição — e isso não vai ser devastador para a terra, mas meio que é porque nós generalizamos isso para Vetores que têm um número arbitrário de componentes. Estamos definindo perpendicularmente a teta entre — dois vetores A E b sãoperpendiculares se o ângulo entre eles é de 90 graus. E podemos definir isso. Podemos pegar em dois vetores e pô-los pontiagudos. Leva o produto do ponto. Descobre os dois comprimentos deles e depois podes descobrir o ângulo entre eles. E se estiverem 90 graus. pode dizer-se que são ângulos superiores., E quero ser muito claro aqui que isso não está definido para o vectorright 0 aqui. Então esta situação aqui, não está definida para o vetor 0. Porque se você tem o 0vector, então esta quantidade aqui vai ser 0 e esta quantidade aqui vai ser 0. E não há uma definição clara para o teu ângulo. Se este é 0 aqui, o youdid 0 é igual a 0 vezes cosseno da theta. E então se você quisesse resolver a theta você teria cosseno da theta é igual a 0/0, o que é indefinido. Mas o que podemos fazer é criar uma palavra mais geral do que a palavra perpendicular., Então você tem que ter um ângulo definido até mesmo para falar sobre perpendicular. Se o ângulo entre dois vectorsis 90 graus, estamos a dizer, por definição, que esses dois vetores são perpendiculares. Mas e se fizéssemos a declaração e pudéssemos– se você olhar para eles, se o ângulo entre dois vetores é de 90 graus, o que isso significa? Então, digamos que os tailandeses estão a 90 graus. Deixa – me traçar um limite. Digamos que thetais 90 graus. Theta é igual a 90 graus. O que é que isto nos formula? Diz – nos que um ponto B é igual ao comprimento de um vezes o comprimento de b vezes cosseno de 90 graus., O que é cosseno de 90 graus? É 0. Podes rever a tua unidade se isso não fizer muito sentido. Mas isso é igual a 0, então este termo será igual a 0. Então se theta é igual a 90 graus, então um ponto b é igual a 0. E isto é outra coisa interessante. Se a e b são perpendiculares, então seu produto Ponto será igual a 0. Agora, se o seu produto dot é igual a 0, podemos necessariamente dizer que éperpendicular? E se a ou bis o vetor 0? O vetor 0 … deixe-me chamar z para 0 vetor. Ou posso desenhar., O ponto 0 vector qualquer coisa vai ser igual a 0. Isso significa que o 0vector é perpendicular a tudo? Bem, não. Porque o vetor 0 que eu disse, Temos que ter a noção de um ângulo entre as coisas para usar a palavra perpendicular. Não podemos usar o vetor 0. Não podemos dizer que, só porque os produtos pontuados de dois vetores são iguais a 0, sãoperpendiculares. E isso é porque o vector 0 iria estragar isso porque o vector 0 não está definido., Mas se nós dizemos, e temos beensaying, que a e b são diferentes de zero, se eles são nonzerovectors, então podemos dizer que se a e b são diferentes de zero e theirdot produto é igual a 0, então a e b areperpendicular. Agora vai para os dois lados. Mas e se tivermos esta condição aqui? E se tivermos a condição de que um ponto b seja igual a 0? Parece que é uma condição simples e pura. E podemos escrever um acorde para isso. E estas palavras são muitas vezes usadas como sinónimos, mas espero que compreendas a distinção agora., Podemos dizer que se dois vectorsdot produto é igual a 0, vamos chamá-los ortogonal. Como sempre digo, Spelling não é o meu melhor tema. Mas isto é uma boa ideia. Isto nos diz que — bem, todos os vetores perpendiculares são ortogonais. E também nos diz que o vector 0 é ortogonal a tudo o resto. A tudo, até a si mesmo. O vector 0 ponto 0 ainda tem 0. Por definição, é ortogonal., Então pela primeira vez, provavelmente em sua carreira matemática, você está vendo que as palavras–você sabe, cada vez que você foi exposto pela primeira vez ao wordsperpendicular e ortogonal em Geometria ou talvez no físico ou em qualquer outro lugar, elas eram sempre as mesmas palavras. Mas agora estou a introduzir uma pequena distinção e tu podes ser um pouco esperto com os professores. Oh, você sabe, é perpendicularonly é que os vetores não são — Se nenhum deles é 0 vetor. Caso contrário, se seu ponto productis 0, você só pode dizer que eles são ortogonais., Mas se não são “zero”, podes dizer que são ortogonais e perpendiculares. Mas de qualquer forma, pensei em apresentar-te esta pequena distinção, caso tenhas alguém que goste de te enganar com palavras. Mas também penso que é importante que estejamos a construir uma matemática a partir do zero e que tenhamos de ter cuidado com as palavras que usamos. E temos de ser muito precisos sobre as nossas definições., Porque se não formos precisos sobre nossas definições e construirmos um monte de Matemáticos em cima disso e fizermos um monte de Provas, um dia poderemos coçar nossas cabeças e ler algum tipo de ambiguidade estranha. E pode ter resultado do facto de não termos sido precisos o suficiente para definir o que alguns destes termos significam. Seja como for, espero que tenhas achado isto útil. Podemos agora tomar o ângulo ou podemos agora determinar o ângulo entre vetores com um número anarbitrário de componentes.