ett par videoklipp sedan viintroducerade idén om längden på en vektor. Det motsvarar längden. Och det här var en snygg idé förVi är vana vid längden på saker i två-ortredimensionellt utrymme, men det blir väldigt abstrakt närvi kommer till n-dimensioner. Om detta har hundrakomponenter, åtminstone för mig, är det svårt att visualisera en hundradimensionsvektor. Men vi har faktiskt definierat begreppet längd. Och vi såg att detta är aktuelltett skalärt värde. Det är bara ett nummer., I den här videon vill jag försökaatt definiera begreppet vinkel mellan vektorer. Som du kan se bygger vi upp denna matematik av vektorer från grunden, och vi kan inte bara säga, Åh, jag vet vad en vinkel är för att allt vi vet om vinklar och jämn längd, det gäller bara vad vi associerar med två – ortredimensionellt utrymme. Men hela studien av linearalgebra abstraherar dessa idéer till multi-dimensionalspace. Och jag har inte ens definierat vaddimension är ännu, men jag tror att du förstår att ideati viss grad redan. När folk pratar om en ellertvå eller tre dimensioner., Jag har två vektorer, vektorer a och B. De är nonzero och de är medlemmar av Rn. Och jag har inte en uppfattning om vinkeln mellan dem ännu, men låt mig bara dra ut dem. Låt mig rita dem som om jag kunde rita dem i två dimensioner. Så det skulle vara vectora där. Det kanske är vectorb där. Och då denna vektor rättdet skulle finnas vektorn a minus b. och du kan verifiera att bara vägen vi har lärt oss att lägga till och subtrahera vektorer. Eller du vet, detta isheads to tails. Så B plus a minus b är naturligtvis, kommer att vara vektor a., Och att allt bara fungerar där ute. För att hjälpa oss att definiera denna anteckning av vinkel, låt mig konstruera en annan triangel som går att se mycket ut som den här. Men kom ihåg, jag gör bara det här för våra enkla sinnen att föreställa sig det i två dimensioner. Men dessa är inte nödvändigtvådimensionella djur. Dessa var och en kan ha ahundra komponenter. Men låt mig göra en annantriangle. Tja, det borde se ut som. Säg att det ser ut så. Och jag ska definiera trianglarnas sidor för att vara längderna av var och en av dessa vektorer., Kom ihåg att längden på var och en av dessa vektorer, jag bryr mig inte om hur många komponenter det finns, de kommer bara att vara dina nummer. Så längden på denna sida righthere kommer bara att vara längden på A. längden på denna sida righthere kommer bara att vara längden på vector aminus vector B. och längden på denna sideright här kommer att vara längden på vector b.Nu är det första vi vill se till att vi alltid kan konstruera en trianglelike som. Och så under vilka omständigheterskulle vi inte konstruera en trianglelike här?, Vi skulle inte kunna bygga en sån här triangel om den här sidan. om b, om storleken– så skriver jag ner det här. Det är lite av en subtlepoint, men jag vill göra detta mycket tydligt. För att definiera en vinkel, Jag vill vara bekväm att jag alltid kan göra dettakonstruktion. Och jag måste se till att–Låt mig skriva skäl till varför jag inte kunde göra detta byggande. Tja vad händer om storleken påb var större än, eller längden på Vektor b var störreän längden på Vektor a plus längden påvektor a minus b?, I två dimensioner kunde jag aldrig dra en triangel så då för att du skulle ha den här längden plus den här längden skulle vara kortare än den här saken här. Så du kunde aldrig bygga upp den. Och jag kan göra med alla sidor. Vad händer om denna längd var störreän en av dessa två sidor? Eller vad händer om den längden var större än en av dessa två sidor? Jag skulle aldrig kunna rita en tvådimensionell triangel på det sättet. Så vad jag ska göra är att jag ska använda triangeln – vektortriangelns ojämlikhet för att bevisa att var och en av dessa sidor är mindre än eller lika med summan av de andra sidorna., Jag kan göra samma sak. Låt mig klargöra en sak. Jag kunde visa att om en, oavsett anledning, var större än de andra sidorna plus b, då skulle jag inte kunna skapa en triangel. Och den sista är förstås om ett Minus b, av någon anledning, var större än de andra två sidorna, skulle jag bara inte kunna rita en triangel i ett plus b. så jag måste visa att för alla vektorer, alla riktiga vektorer — nonzero, riktiga vektorer som är medlemmar i Rn — att inget av dessa någonsin kan hända. Jag måste bevisa att ingen av dem kan hända. Så vad säger triangelnkvalitet oss?, Triangeln ojämlikhet tellsus att om jag har summan av två vektorer, om jag tar längden på summan av två vektorer, Det är alltidkommer att vara mindre än– och det här är nonzero vektorer. Detta kommer alltid att vara lessthan eller lika med summan av var och en av deras individuellaengths. Så låt oss se om vi kanApplicera det till denna triangel här. Så vad är storleken,längden på en? Tja, jag kan skriva om vektor a. Vad är vektor lika med? Vector A är lika med vectorb plus vector a minus b. Jag menar att jag bara skriver om vektorn här. Jag skriver bara om A här som asum av de andra två vektorerna., Inget fint där. – Jag har inte använt triangeln. Jag har just använt min definitionof vector addition. Men här nu, om jag lägger liteföräldrar här, nu kan jag tillämpa triangeln ojämlikhet. Och jag säger, ja,vet du vad? Detta kommer att bli, genom den snabba ojämlikheten, som vi har bevisat, det kommer att vara förminskad än eller lika med längden på var och en av dessa vektorer. Vektor B plus längdenvektor a minus b. så vi vet att längden på aär mindre än summan av den och den. Så vi behöver inte oroa oss för att det här är vårt problem. Vi vet att det inte är sant., Låt oss nu titta på b. så kan jag skriva b som en summa av två andra vektorer? Visst. Jag kan skriva det som en summa aplus, låt mig uttrycka det så här. Om vektorn precis där finns aminus b, går samma vektor i omvänd riktning för att vara vektorn B minus a. Så a plus vectorb minus a. det är samma sak som b. och du kan se det här. A: n skulle avbryta och du är bara kvar med b där. Nu vid Triangeln ojämlikhet vet vi att detta är mindre än eller lika medlängden på Vektor a plus längden på Vektor B minus a., Nu säger Du hej, Sal, du har att göra med b minus a. det här är längden på A minus b. och jag kan lämna det här Till dig för att bevisa det baserat på vår definition av vektorlängder,men längden på B minus A är lika med minus 1 gång Minus b. och jag lämnar det till digatt säga att utseendet, dessa längder är lika. För att jag kunde lämna det, men jag tror att du kan ta det baserat på bara den visuella skildringen av dem att de är exakt samma vektorer, bara i olika riktningar. Och jag måste vara försiktig medlängd eftersom det inte bara är i två dimensioner., Men jag tror att du får idén och jag lämnar det för dig att bevisa att dessa längder är samma sak. Så vi vet att b är lessthan längden på dessa två saker. Så vi behöver inte oroa oss för den där. Slutligen, en minus b. storleken eller längden på Vektor a minus b. Tja, jag kan skriva det somlängden på– eller jag kan skriva det som vektor a plusvector minus B. om vi bara sätter en minus b höger där och går i andra riktningar, kan vi säga minusb, vilket skulle vara i den riktningen plus a skulle geus vår Vektor a minus b. egentligen behöver jag inte ens åka dit., Det är uppenbart från detta. Jag satte bara Negativet inom parentes. Väl triangeln ojämlikhet, och detta kan tyckas lite vardagliga för dig, men det verkligenvisar oss att vi alltid kan definiera en vanlig plan trianglebased på dessa vektorer på detta sätt. Det säger oss att detta är mindre än orequal till längden på vår Vektor a plus längden på minus b. och jag sa bara och du kunde visa det för dig själv, att det här är samma saksom längden på b. så vi såg bara attDet här är definitivt mindre än de två. Det här är definitivt lessthan de två. Och det är definitivtmindre än de två., Ingen av anledningarna som skullehålla oss från att bygga en triangel är giltiga. Så vi kan alltid konstruera atriangle på detta sätt från godtyckliga nonzerovectors i Rn. Vi kan alltid bygga det här. Nu, för att definiera en vinkel, låt mig rita om det här nere. Låt mig rita om vektorerna, kanske lite större. Det är vektor A. Det här är vektor B. Låt mig dra det så här. Det här är vectorright där. Det är vektorn a minus b., Och vi sa att vi ska definiera en motsvarande regelbunden, körning av kvarnen,vaniljtriangeln vars längder definieras av vektorns längder, av vektorlängderna. Så det här är längden på b, den sidan. Detta är längden på en minus b. och då är det härlängden på en. nu när jag vet att jag alltid kan konstruera en triangel som denna, kan jag försöka att definiera-eller faktiskt, jag kommer att definiera min definition av en vinkelmellan två vektorer. Så vi vet vad en anglemeans i detta sammanhang. Detta är bara en vanlig, körning av kvarnen, geometrisk triangel., Min definition av en vinkel mellan två vektorer jag ska säga, så det här är vad jag försöker definiera. Det här är vad jag ska definiera. Dessa kan ha godtyckligt antalav komponenter, så det är svårt att visualisera. Men jag kommer att definiera dettavinkel som motsvarande vinkel i en vanlig, kör av themill triangel där sidorna av körningen av kvarnen trianglarär de två vektorerna och sedan den motsatta sidan är subtraktion, är längden på skillnaden mellande två vektorerna. Det här är bara definitionen., Jag definierar detta, vinkeln mellan två vektorer i Rn som kunde ha ett godtyckligt antal komponenter, jag definierar denna vinkel för att vara samma som denna vinkel, vinkeln mellan de två sidorna, de två längdernaav dessa vektorer i bara en vanlig, körning av themill triangle. Vad kan jag göra med det här? Kan vi hitta ett förhållande mellan allt det här? Visst. Om du kommer ihåg från dintrigonometri klass, och om du inte gör det, jag har bevisat det i spellistan. Du har cosinuslagen. Och jag gör det med en godtycklig vridning här bara för att jag inte vill förvirra dig., Så om det här är sida A, B och cand det här är theta, berättar cosinuslagen att C squaredär lika med en kvadrerad plus b kvadrat minus 2abcosin av theta. Jag tänker alltid på det som slagav en bredare Pythagoras sats eftersom detta inte behöver vara en rätt vinkel. Det står för alla vinklar. Om detta blir en rätt vinkel,då denna term försvinner och du är bara kvar med denpythagorea sats. Men vi har bevisat det här. Detta gäller bara regelbunden, körning av Kvarn trianglar. Och tur för oss, vi har aregular, kör av Kvarn triangeln här., Så låt oss tillämpa cosinus lagarna på den här triangeln här. Och hur jag ritade det, de motsvarar. Längden på dettasida kvadrat. Så det betyder längdenav en minus b kvadrat. Längden på Vektor a minus vectorb, det är bara längden på den sidan. Så jag bara squaring den sidan. Det motsvarar längden på vectorb squared plus längden på vector a squared minus 2 gångerlängden på — Jag skriver bara två gånger längden på vectora gånger längden på vector b gånger cosinus avdenna vinkel här. Gånger cosineav den vinkeln., Och jag definierar den här vinkeln mellan dessa två vektorer för att vara densamma som den här vinkeln där. Så om vi känner till den här vinkeln, avdefinition, vet vi den vinkeln där. Tja, vi vet att kvadratenav våra längder av en vektor när vi använder vår faktordefinition av Längd, att detta är precis samma sak som en vektor prickad med sig själv. Så det är en minusb dot a minus b. allt kommer att vara lika med hela det här på höger sida. Men låt mig förenkla den vänstra sidan av denna ekvation. a Minus B punkt A minus b, det här är samma sak som en punkt A — de två termerna — minus en punkt b., Och sen har jag minus B punkt A. de två termerna där. Och då har du theminus B dot minus b. det är samma saksom ett plus B dot b. Kom ihåg, det här är bara enförbättring av vänster sida. Och jag kan skriva om det här. en punkt a, Vi vet att det bara ärlängden på en kvadrat. en punkt b och B dot a ärsamma sak, så vi har två av dessa. Så detta här, denna termright det kommer att förenkla till minus 2 gånger en punkt b. och sedan slutligen, B dot b. vi vet att det är baralängden på b kvadrat. Jag bara förenklade eller kanske jag bara expanderade– det är ett bättre ord., När du går från en term till tre villkor, kan du inte säga att du förenklat det. Men jag expanderade bara den vänstra sidan och så måste det vara lika med högersidan av cosinuslagen. Så det är lika med – Jag känner nästan som i stället för att skriva om det, låt mig bara kopiera och klistra in det. Vad gjorde jag just? Uppfattat, edit. Kopiera och klistra in. Varsågod. Jag vet inte att det var värt det. Men jag kanske sparade lite tid. Så det är lika med det där. Och då kan vi förenkla. Vi har en längd av asquared här, längd på en kvadrat där. Subtrahera det från båda sidor., Längden på b kvadrat här, längden på b kvadrat där. Subtrahera det från båda sidor. Och sen, vad kan vi göra? Vi kan dela båda sidor avminus 2 eftersom allt annat har försvunnit. Och så den termen och den termenkommer båda att bli 1. och allt vi är kvar med är vektorn en punkt vektorn b. och det här är intressant för plötsligt får vi ett förhållande mellan dot-produkterna från två vektorer. Vi har gått bort från deras definition efter längder. Men punktprodukten av tvåvektorer är lika med produkten av deras längder, deras vektorlängder., Och de kan ha en godtyckligantal komponenter. Gånger cosinus avvinkel mellan dem. Kom ihåg, den här theta, jag sadetta är detsamma som när du ritar den här typen av analog,vanlig triangel. Men jag definierar vinkeln mellan dem för att vara densamma som den. Så jag kan säga att det här ärvinkeln mellan dem. Och självklart är tanken påmellan två vektorer är det svårt att visualisera om du går bortom tre dimensioner. Men nu har vi det åtminstone matematiskt definierat., Så om du ger mig två vektorer wecan nu, med hjälp av denna formel som vi har bevisat med hjälp av denna definition här uppe, kan vi nu beräkna vinkeln mellan några två vektorer med hjälp av detta här. Och bara för att göra det tydligt, whathappens om a är en– och kanske är det inte klart från thatdefinition, så jag ska göra det tydligare här som per definition,om a är lika med vissa skalär flera av b wherec är större än 0, kommer vi att definiera thetato vara lika med 0. Och om c är mindre än 0, så en iscollinear, men går i exakt motsatt riktning, vi’lldefine theta att vara lika med 180 grader., Och det är förenligt med vad vi förstår om bara tvådimensionella vektorer. Om de är collinear ochtyp av skalär multiplar samma. Det betyder ett utseende somethinglike som det och b ser ut ungefär så. Så vi säger Åh, det är en 0 vinkel. Och om de går åt andra hållet, om en ser ut ungefär-det här är fallet där a bara går i andra riktningen från B. A går så och B går som det, definierar vi vinkeln mellan dem till vara180 grader. Men allt annat är vackertväl definierad av triangeln exemplet., Jag var tvungen att göra det speciella fallet med dessa eftersom det inte är klart att du verkligen får en triangeli dessa fall eftersom triangeln typ av försvinner. Det plattar ut om a och b ligger ovanpå varandra eller om de går i exactmosite riktning. Så det var därför jag ville göraen liten bit av en sidoanteckning där. Nu, med hjälp av denna definition avvinkeln mellan vektorerna, kan vi nu definiera idea av vinkelräta vektorer., Så vi kan nu säga perpendikulärvektorer – det här är en annan definition-och det här kommer inte att vara jordförstöring, men det är för att vi har generaliserat detta till vektorer som har ett stort antal komponenter. Vi definierar perpendicularto betyder theta mellan-två vektorer A och b ärperpendikulära om vinkeln mellan dem är 90 grader. Och vi kan definiera det. Vi kan ta två vektorer,pricka dem. Ta deras skalärprodukt. Räkna ut sina två längder ochdå kan du räkna ut vinkeln mellan dem. Och om det är 90 grader. du kan säga att de ärperpendikulära vinklar., Och jag vill vara mycket tydlig häratt detta faktiskt inte är definierat för 0 vectorright här. Så den här situationen här, inte definierad för 0-vektorn. För om du har 0vector, så kommer denna kvantitet här att vara 0 ochdå kommer denna kvantitet här att vara 0. Och det finns ingen tydlig definitionför din vinkel. Om det här är 0 här är youdid 0 lika med 0 gånger cosinus av theta. Och så om du ville solvefor theta skulle du få cosinus av theta är lika med 0/0, vilket är odefinierat. Men vad vi kan göra är att skapa somnågot mer allmänt ord än ordet vinkelrätt., Så du måste ha en definieradvinkel att ens prata om vinkelrätt. Om vinkeln mellan två vektorär 90 grader, säger Vi per definition, de tvåvektorerna är vinkelräta. Men vad händer om vi gjorde uttalandet och vi kan– om man tittar på dem, om vinkeln mellan två vektorer är 90 grader, vad betyder det? Så låt oss säga att thetais 90 grader. Låt mig rita en linje här. Låt oss säga att thetais 90 grader. Theta är lika med 90 grader. Vad gör denna formulatell oss? Det berättar för oss att en punkt b ärlika med längden på en gånger längden på B gånger cosineav 90 grader., Vad är cosinus på 90 grader? Det är 0. Du kan granska din enhet circleif som inte gör mycket mening. Men det är lika med 0, så det härhela termen kommer att vara lika med 0. Så om theta är lika med90 grader, då är en punkt b lika med 0. Och så är det här en annanintressant takeaway. Om A och b är vinkelräta, kommer deras punktprodukt att vara lika med 0. Nu om deras dot-produkt ärlika med 0, kan vi nödvändigtvis säga att de ärperpendikulär? Tja vad händer om a eller bis 0 vektorn? Den 0 vektorn — låt mig callit z för 0 vektor. Eller så kan jag rita., Den 0 vektor prick något äralltid kommer att vara lika med 0. Betyder det att 0vektorn är vinkelrät mot allt? Nej. Eftersom 0 vektorn jag sa, vimåste ha begreppet vinkel mellan saker inorder att använda ordet vinkelrätt. Så vi kan inte använda 0 vektorn. Vi kan inte säga bara för att tvåvektorer dot produkter är lika med 0 att de ärperpendicular. Och det beror 0 vectorwould röra upp eftersom 0 vectoris inte definierat., Men om vi säger, och vi har varitsäger, att A och b är nonzero, om de är nonzerovektorer, då kan vi säga att om A och b är nonzero och derasprodukten är lika med 0, då är A och bperpendikulär. Så nu går det åt båda hållen. Men tänk om vi bara har den härförutsättningen här? Tänk om vi bara har villkoret att en punkt b är lika med 0? Det verkar som om det bara är ett enkelt, rent tillstånd. Och vi kan skriva ett ord för det. Och dessa ord används oftasynonymt,men förhoppningsvis förstår du distinktionen nu., Vi kan säga det om två vectorsdot-produkt är lika med 0, Vi kommer att kalla dem ortogonala. Som jag alltid säger är spelling inte mitt bästa ämne. Men det här är typ av en snygg idé. Det här säger oss att alla vinkelräta vektorer är ortogonala. Och det berättar också att the0 vektorn är ortogonal för allt annat. Till allt, till och med för sig själv. 0 dot 0 vectoryou får fortfarande 0. Så per definition är det ortogonalt., Så för första gången i din matematiska karriär, ser du att orden-du vet, varje gång du först blev utsatt för ordenperpendikulär och ortogonal i geometri eller kanske i fysiker eller var som helst, var de alltid typ av samma ord. Men nu introducerar jag en fin, liten skillnad här och du kan vara lite smart med lärare. Det är perpendikulärt att vektorerna inte är … om de inte är noll vektor. Annars, om deras dot productis 0, kan du bara säga att de är ortogonala., Men om de är nonzero kan du säga att de är ortogonala och vinkelräta. Men hur som helst, jag tänkte att jag skulle presentera denna lilla skillnad för dig om du har någon som gillar att resa dig med ord. Men jag tror också att vi lyfter fram att vi bygger en matematik från grunden och vi måste vara försiktiga med de ord vi använder. Och vi måste vara mycket exaktaom våra definitioner., För om vi inte är preciseom våra definitioner och vi bygger upp en massa matematikerpå toppen av detta och gör en massa bevis, en dag wemight repa våra huvuden och läsa någon typ av weird tvetydighet. Och det kan ha kommit ut av det faktum att vi inte var tillräckligt exakta för att definiera vad vissa av dessa termer betyder. Nåväl, förhoppningsvis hittade du det här användbart. Vi kan nu ta vinkeln eller wecan nu bestämma vinkeln mellan vektorer med anarbitrary antal komponenter.