Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche, nur positive, unimodale Verteilung, die die Zeit codiert, die für „alpha“-Ereignisse in einem Poisson-Prozess mit der mittleren Ankunftszeit von „beta“erforderlich ist

Verwenden Sie die Gammaverteilung mit „alpha“ > 1 wenn Sie eine scharfe Untergrenze von Null, aber keine scharfe Obergrenze, einen Einzelmodus und eine apositive Schrägstellung haben. Die lognormale Verteilung ist in diesem Fall ebenfalls eine Option., Gamma () ist besonders geeignet, wenn arrivaltimes für Ereignissätze codiert werden. Eine Gammaverteilung mit einem großen Wert für „alpha“ ist auch nützlich, wenn Sie eine glockenförmige Kurve für eine nur positive Menge verwenden möchten.

Die Gammaverteilung ist unten durch Null begrenzt (alle Abtastpunkte sind positiv) und von oben unbegrenzt. Es hat ein theoretisches Mittel von alpha*beta und eine theoretische Varianz von alpha*beta^2. Wenn „alpha“> 1, ist die Verteilung unimodal mit dem Modus bei (alpha - 1)*beta., Eine exponentielle Verteilung ergibt sich, wenn alpha = 1. Als $ \alpha \to \infty $ , die gamma-Verteilung nähert sich einer Normalverteilung in Form.

Funktionen

Hinweis

Einige Lehrbücher verwenden Rate = 1/beta anstelle von“ beta “ als Skalierungsparameter.

Gamma – (alpha -, beta -, über -)

Der Verteilungs-Funktion. Verwenden Sie dies, um eine Menge zu beschreiben, die gammaverteilt ist, mit dem Formparameter “ alpha „und dem Skalierungsparameter“beta“. Der Skalierungsparameter „beta“ist optional und standardmäßig beta = 1.,

Dens_Gamma (x, alpha, beta)

Um dies zu verwenden, müssen Sie Ihrem Modell die Bibliothek Verteilungsdichten hinzufügen.

Die analytische Wahrscheinlichkeitsdichte der Gammaverteilung bei „x“. Gibt

$ p (x) = {{\beta^{-\alpha} x^{\alpha-1} \exp(-x/\beta)}\over{\Gamma(\alpha)}} $

CumGamma(x, alpha, beta)

Um dies zu verwenden, müssen Sie die Bibliothek für Verteilungsdichten zu Ihrem Modell hinzufügen oder stattdessen GammaI verwenden.,

Die kumulative Dichte bis zu „x“, das für $ x>0 $, indem Sie

$ F(x) = {1\over {\Gamma(\alpha)}} \int_0^x \beta^{-\alpha} t^{\alpha-1} \exp(-t/\beta) dt $

Dies ist auch der gleiche wie der regularisierten unvollständigen gamma-Funktion, berechnet durch die Funktion GammaI.

CumGammaInv (p, alpha, beta)

Um dies zu verwenden, müssen Sie Ihrem Modell die Bibliothek für Verteilungsdichten hinzufügen oder stattdessen GammaIInv verwenden.

Die analytische inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion (Quantilfunktion). Gibt das pth-Fraktil/Quantil/Perzentil für die Gammaverteilung zurück., Das gleiche wie die inverse unvollständige Gamma-Funktion, GammaIInv.

Bei Verwendung von

Verwenden Sie die Gammaverteilung mit „alpha“ > 1 wenn Sie eine scharfe Untergrenze von Null, aber keine scharfe Obergrenze, einen Einzelmodus und eine apositive Schrägstellung haben. Die lognormale Verteilung ist in diesem Fall ebenfalls eine Option. Gamma () ist besonders geeignet, wenn arrivaltimes für Ereignissätze codiert werden. Eine Gammaverteilung mit einem großen Wert für „alpha“ ist auch nützlich, wenn Sie eine glockenförmige Kurve für eine nur positive Menge verwenden möchten.

Statistik

Die theoretische Statistik (d.h.,, in Abwesenheit von Abtastfehler) für die Gammaverteilung sind wie folgt.

Parameterschätzung

Angenommen, X enthält abgetastete historische Daten, die von Iindiziert wurden. Um die Parameter der Gammaverteilung zu schätzen, die am besten zu diesen abgetasteten Daten passen, können die folgenden Parameterschätzungsformeln verwendet werden:

alpha := Mean(X, I)^2/Variance(X, I)beta := Variance(X, I)/Mean(X, I)

Das Obige ist nicht die maximale Wahrscheinlichkeitsparameterschätzung, die sich als ziemlich komplex herausstellt (siehe Wikipedia)., In der Praxis funktionieren die obigen Schätzformeln jedoch hervorragend und sind so praktisch, dass kompliziertere Methoden kaum gerechtfertigt sind.

Die Gammaverteilung mit einem „offset“ hat die Form:

Gamma(alpha, beta) – offset

Zur Schätzung aller drei Parameter kann die folgende heuristische Schätzung verwendet werden:

alpha := 4/Skewness(X, I)^2offset := Mean(X, I) - SDeviation(X, I)*Sqrt(alpha)beta := Variance(X, I)/(Mean(X, I) - offset)

• Die Analysefunktionen, DensGamma, CumGamma und CumGammaInv wurden als integrierte Funktionen zu Analytica 5.2 hinzugefügt.,
• Der Unterstrich in der Dens_Gamma – Funktion in der Bibliothek Verteilungsdichten wurde für die integrierte Funktion gelöscht.
• In Analytica 5.0 wurden die Analysefunktionen CumGamma und CumGammaInv zur Bibliothek der Verteilungsdichten hinzugefügt. Obwohl sie mit der unvollständigen Gamma-Funktion und ihrer Inverse, GammaI und GammaIInv identisch und daher völlig redundant sind, wurde die Addition durchgeführt, um der Namenskonvention zu entsprechen, die für alle anderen Distributionen verwendet wird.
• GammaI und GammaIInv wurden als integrierte Funktionen in Analytica 2.0 hinzugefügt.,

siehe auch