La Gamma di distribuzione è un continuo, positivo solo, distribuzione unimodale che codifica per il tempo necessario per “alfa” eventi si verificano in un processo di Poisson con media tempo di arrivo di “beta”

Utilizzare la distribuzione Gamma con “alfa” > 1 se si dispone di un forte limite inferiore pari a zero, ma forte limite superiore, una modalità singola e apositive inclinazione. La distribuzione LogNormal è anche un’opzione in questo caso., Gamma () è particolarmente appropriato quando si codifica arrivaltimes per set di eventi. Una distribuzione gamma con un valore elevato per “alfa” è utile anche quando si desidera utilizzare una curva a forma di campana per una quantità solo positiva.

La distribuzione gamma è delimitata sotto da zero (tutti i punti campione sono positivi) ed è illimitata dall’alto. Ha una media teorica dialpha*beta e una varianza teorica dialpha*beta^2. Quando ” alpha “> 1, la distribuzione è unimodale con la modalità a(alpha - 1)*beta., Una distribuzione esponenziale risulta quando alpha = 1. Come alpha \ alpha \ to \ infty $, la distribuzione gamma si avvicina a una distribuzione normale in forma.

Funzioni

Nota

Alcuni libri di testo usanoRate = 1/beta, invece di “beta”, come parametro di scala.

Gamma (alfa, beta, sopra)

La funzione di distribuzione. Utilizzare questa opzione per descrivere una quantità distribuita gamma con il parametro di forma ” alfa “e il parametro di scala”beta”. Il parametro di scala, “beta”, è facoltativo e il valore predefinito èbeta = 1.,

Dens_Gamma(x, alpha, beta)

Per utilizzare questo, è necessario aggiungere la libreria Densità di distribuzione al modello.

La densità di probabilità analitica della distribuzione Gamma a “x”. Restituisce

p p(x) = {{\beta^{-\alpha} x^{\alpha-1} \exp(-x/\beta)}\over{\Gamma(\alpha)}} CumGamma(x, alpha, beta)

Per utilizzare questo, è necessario aggiungere la libreria Densità di distribuzione al modello, o utilizzare GammaI invece.,

cumulativo densità fino a “x”, dato che per $ x>0 $ da

$ F(x) = {1\over {\Gamma(\alpha)}} \int_0^x \beta^{-\alpha} t^{\alpha-1} \exp(-t/\beta) dt $

Questo è anche lo stesso come il regolarizzata funzione gamma incompleta, calcolato dalla funzione GammaI.

CumGammaInv(p, alpha, beta)

Per utilizzare questo, è necessario aggiungere la libreria Densità di distribuzione al modello o utilizzare invece GammaIInv.

La funzione di probabilità cumulativa inversa analitica (funzione quantile). Restituisce il pth frattile / quantile / percentile per la distribuzione gamma., Come la funzione gamma incompleta inversa, GammaIInv.

Quando usare

Usa la distribuzione Gamma con “alpha”> 1 se hai un limite inferiore acuto di zero ma nessun limite superiore acuto, una modalità singola e un’inclinazione apositiva. La distribuzione LogNormal è anche un’opzione in questo caso. Gamma () è particolarmente appropriato quando si codifica arrivaltimes per set di eventi. Una distribuzione gamma con un valore elevato per “alfa” è utile anche quando si desidera utilizzare una curva a forma di campana per una quantità solo positiva.

Statistiche

Le statistiche teoriche (es.,, in assenza di errore di campionamento) per la distribuzione gamma sono i seguenti.

Stima dei parametri

Supponiamo cheX contenga dati storici campionati indicizzati daI. Per stimare i parametri della distribuzione gamma che meglio si adattano a questi dati campionati, è possibile utilizzare le seguenti formule di stima dei parametri:

alpha := Mean(X, I)^2/Variance(X, I)beta := Variance(X, I)/Mean(X, I)

Quanto sopra non è la stima dei parametri di massima verosimiglianza, che risulta essere piuttosto complessa (vedi Wikipedia)., Tuttavia, in pratica la formula di stima di cui sopra eseguire in modo eccellente e sono così conveniente che i metodi più complicati sono difficilmente giustificati.

La distribuzione Gamma con un “offset” ha la forma:

Gamma(alfa, beta) – offset

stimare tutti e tre i parametri, il seguente euristica stima può essere utilizzato:

alpha := 4/Skewness(X, I)^2offset := Mean(X, I) - SDeviation(X, I)*Sqrt(alpha)beta := Variance(X, I)/(Mean(X, I) - offset)

Storia

• Le funzioni analitiche, DensGamma, CumGamma, e CumGammaInv sono stati aggiunti come built-in funzioni di Analytica 5.2.,
• Il carattere di sottolineatura nella funzioneDens_Gamma nella libreria Densità di distribuzione è stato eliminato per la funzione incorporata.
• In Analytica 5.0, le funzioni analitiche CumGamma e CumGammaInv sono state aggiunte alla libreria Densità di distribuzione. Sebbene siano identici alla funzione gamma incompleta e al suo inverso, GammaI e GammaIInv, e quindi completamente ridondanti, l’aggiunta è stata fatta per corrispondere alla convenzione di denominazione utilizzata per tutte le altre distribuzioni.
• GammaI e GammaIInv sono stati aggiunti come funzioni integrate in Analytica 2.0.,

See Also