Et par videoer siden weintroduced ideen om lengden av en vektor. Som er lik lengden. Og dette var en fin ide becausewe er vant til lengden av ting på to – orthree-dimensjonale rommet, men det blir veldig abstrakt whenwe få til n dimensjoner. Om dette har en hundredcomponents, i hvert fall for meg, det er vanskelig å visualisere en hundreddimension vektor. Men vi har faktisk definedit forestilling av lengde. Og vi så at dette er actuallya skalar verdi. Det er bare et tall., I denne videoen, jeg ønsker å attemptto definere begrepet en vinkel mellom vektorer. Som du kan se, vi er buildingup dette matematikk av vektorer opp fra grunnen av, og vi kan’tjust si, oh, jeg vet hva en vinkel er becauseeverything vi vet om vinkler og selv lengder, itjust gjelder hva vi forbinder med to – orthree-dimensjonale rommet. Men hele studien av linearalgebra er abstracting disse ideene inn i multi-dimensionalspace. Og jeg har ikke selv definert whatdimension er ennå, men jeg tror du forstår at ideato en viss grad allerede. Når folk snakker om en ortwo eller tre dimensjoner., Så la oss si at jeg har somevector– la oss si at jeg har to vektorer, vektorer a og b. De er ikkenull og de’remembers av Rn. Og jeg kan ikke ha en forestilling ofthe vinkelen mellom dem ennå, men la meg bare trekke dem ut. La meg bare trekke dem som ifI kunne trekke dem i to dimensjoner. Så det ville være vectora akkurat der. Kanskje det er vectorb akkurat der. Og så dette vektor rightthere ville være vektor a minus b. Og du kan bekrefte at akkurat theway vi har lært å legge til og trekke fra vektorer. Eller du vet, dette isheads til haler. Så b pluss minus b er selvfølgelig, kommer til å være en vektor., Og at alle justworks ut det. For å hjelpe oss å definere dette notionof vinkel, la meg konstruere en annen trekant som er goingto se mye som dette. Men husk, jeg er bare doingthis for våre enkle sinn til å forestille seg at det i to dimensjoner. Men disse er ikke necessarilytwo-dimensjonale dyr. Disse kunne ha ahundred komponenter. Men la meg gjøre anothertriangle. Vel, det skal se ut. Si det ser ut som at. Og jeg kommer til å definere thesides av trekanter å være lengder for eachof disse vektorene., Husk, lengder på hver ofthese vektorer, jeg bryr meg ikke hvor mange komponenter thereare, de kommer bare til å være dine tall. Så lengden på denne siden righthere er bare kommer til å være lengden av en. Lengden på denne siden righthere er bare kommer til å være lengden av en vektor aminus vektor b. Og lengden av denne sideright her er kommer til å være lengden av en vektor b. Nå er det første vi vil tomake sikkert er at vi kan alltid lage en trianglelike det. Og så under hva circumstancescould vi ikke konstruere en trianglelike dette?, Vel, vi ville ikke være ableconstruct en trekant som dette om denne siden. hvis b, hvis omfanget– solet meg skrive dette ned. Det er en slags subtlepoint, men jeg ønsker å gjøre dette helt klart. For å definere en vinkel, Iwant å være komfortabel med at jeg alltid kan gjøre thisconstruction. Og jeg må sørge for at–la meg skrive grunner til hvorfor jeg ikke kunne gjøre thisconstruction. Vel, hva hvis omfanget ofb var større enn, eller lengden av en vektor b var greaterthan lengden av en vektor et pluss lengden ofvector et minus b?, I to dimensjoner, kunne jeg neverdraw en trekant som så fordi du wouldhave dette lengde pluss denne lengden ville være kortere thanthis ting her. Så du kan neverconstruct det. Og jeg kunne gjøre withall sidene. Hva hvis denne lengden var largerthan en av disse to sidene? Eller hva om det lengthwas større enn en av de to sidene? Jeg kunne bare aldri drawa to-dimensjonale trekant på den måten. Så hva skal jeg gjøre, er jeg’mgoing å bruke trekanten– vector trekant inequalityto bevise at hver av disse sidene er mindre enn eller lik til summen av de andre sidene., Jeg kunne gjøre det samme. La meg gjøre det punktet klart. Jeg kunne vise at dersom a, forwhatever grunn, var større enn den andre sider pluss b,så jeg ville ikke være i stand til å lage en trekant. Og det siste man selvfølgelig isif et minus b, uansett grunn, var større enn theother to sider, jeg bare ikke ville være i stand til å drawa trekant i et pluss b. Så jeg er nødt til å vise at for anyvectors, noen reell vektorer– ikke-null, reell vektorer som aremembers av Rn– at ingen av disse noen gang kan skje. Jeg trenger å bevise at noneof dem kan skje. Så hva gjør triangleinequality fortelle oss?, Trekanten ulikhet tellsus at hvis jeg har summen av to vektorer, hvis jeg tar thelength av summen av to vektorer, at det er alwaysgoing å være mindre enn– og disse er ikke-null vektorer. Dette er alltid kommer til å være lessthan eller lik summen av hver av sine individuallengths. Så la oss se om vi canapply at denne trekanten til høyre her. Så hva er omfanget,lengden på? Vel jeg kan skrive om en vektor. Hva er en vektor som er lik? Vektor a er lik vectorb pluss vektor a minus b. Jeg mener jeg bare rewritingthe vektor her. Jeg bare måtte skrive en her som asum av de to andre vektorer., Ingenting fancy det. Jeg har ikke brukt den triangleinequality eller noe. Jeg har bare brukt min definitionof vektor tillegg. Men her nå, hvis jeg legger littleparentheses her, nå kan jeg bruke trekanten ulikhet. Og jeg sier, vel,du vet hva? Dette kommer til å bli, ved thetriangle ulikhet, som vi har vist, det kommer til å beless enn eller lik lengden av hver ofthese vektorer. Vektor b pluss lengthof vektor a minus b. Så vet vi at lengden av ais på mindre enn summen av den, og at den ene. Så vi trenger ikke å bekymre deg omdenne blir vårt problem. Vi vet at det er ikke sant., La oss nå se nærmere på b. Så er det noen måte at jeg canrewrite b som en sum av to vektorer? Vel sikkert. Jeg kan skrive det som en sum av aplus, la meg si det på denne måten. Hvis det vektor der er aminus b, samme vektor i motsatt retning er goingto være vektor b minus en. Så en pluss vectorb minus en. Det er det samme som b. Og du kan se den her. Det er en ville cancelout og du er bare igjen med b det. Nå med på trekant-ulikheten,vet vi at dette er mindre enn eller lik thelength av en vektor et pluss lengden av en vektor b minus en., Nå du sier hei, Sal,du arbeider med b minus en. Dette er lengthof et minus b. Og jeg kan forlate denne for youto bevise det, basert på vår definisjon av en vektor lengder,men lengden av b minus a er lik minus 1 timesa minus b. Og jeg vil la det til youto si at se, disse lengdene er like. Fordi i hovedsak– jeg couldleave det, men jeg tror du kan ta det basert på bare thevisual skildring av dem at de er nøyaktig samevectors, bare i forskjellige retninger. Og jeg må være forsiktig med withlength fordi det er ikke bare i to dimensjoner., Men jeg tror du får ideen andI vil forlate det for deg å bevise at disse lengthsare det samme. Så vet vi at b er lessthan lengden på de to tingene. Så vi trenger ikke å bekymre deg aboutthat en rett der. Til slutt, en minus b. Omfanget eller lengthof vektor a minus b. Vel jeg kan skrive det som thelength-eller jeg kan skrive det som en vektor plusvector minus b. Hvis vi bare sette en minus b rightthere og gå i andre retninger, kunne vi si minusb, noe som ville være i den retningen, pluss en ville giveus våre vektor a minus b. Faktisk, jeg vet ikke evenhave å gå dit., Det er klart fra dette. Jeg bare slags sette negativein parentes. Vel trekanten ulikhet,og dette kan virke litt banalt, men det reallyshows oss at vi alltid kan definere en vanlig plan trianglebased på disse vektorene på denne måten. Det forteller oss at dette er mindre enn orequal til lengden av våre vector et pluss lengthof minus b. Og jeg nettopp sa, og du couldprove det for deg selv, at dette er det samme thingas lengden av b. Så vi bare så thatthis er definitivt mindre enn de to. Dette er definitivt lessthan de to. Og det er definitelyless enn de to., Ingen av grunnene til at wouldkeep oss fra å konstruere en trekant er gyldig. Så vi kan alltid bygge atriangle på denne måten fra en tilfeldig nonzerovectors i Rn. Vi kan alltid lage denne. Nå, for å definere en vinkel, letme tegne det ned her. La meg tegne vektorer, maybea litt større. Det er en vektor. Dette er vektor b. Og så la meg justdraw det på denne måten. Dette er vectorright det. Det er vektor a minus b., Og vi sa vi kommer todefine en tilsvarende vanlig, kjøre av møllen,vanilje trekant med lengder er definert av lengthsof vektorer, av vektor lengder. Så dette er lengthof b, at siden. Dette er lengthof et minus b. Og så dette er thelength av en. Nå som jeg vet at jeg canalways konstruere en trekant som dette, jeg kan forsøke todefine– eller faktisk, jeg vil være med å definere min definisjon av en anglebetween to vektorer. Så vi vet hva en anglemeans i denne sammenheng. Dette er bare en vanlig, kjøre ofthe mill, geometriske trekant., Nå, min definisjon av en anglebetween to vektorer jeg kommer til å si– så dette er whatI jeg prøver å definere. Dette er hva jeg goingto definere. Disse kan ha vilkårlig numberof komponenter, så det er vanskelig å visualisere. Men jeg kommer til å definere thisangle som den tilsvarende vinkel i en vanlig, kjør av themill trekant hvor sidene av kjøre av møllen triangleare de to vektorene og deretter motsatt side isthe subtraksjon, er lengden av forskjellen betweenthe to vektorer. Dette er bare en definisjon., Jeg definerer dette, anglebetween to vektorer i Rn som kan ha en vilkårlig numberof komponenter, jeg er med å definere denne vinkelen skal være den samme asthis vinkel, vinkelen mellom to sider, to lengthsof de vektorer i bare en vanlig, kjør av themill trekant. Nå, hva kan jeg gjøre med dette? Vel, kan vi finne en relationshipbetween alle disse ting riktig her? Vel sikkert. Hvis du husker fra yourtrigonometry klasse, og hvis du ikke gjør det, jeg har vist seg itin spillelisten. Du har loven på cosines. Og jeg skal gjøre det med en arbitrarytriangle her bare fordi jeg ikke wantto forvirre deg., Så hvis dette er side a, b, og cand. dette er theta, lov av cosines forteller oss at c squaredis lik en squared pluss b squared minus 2abcosine til theta. Jeg tenker alltid på det som kindof en bredere Pytagoreisk teorem fordi thisthing trenger ikke å være en rett vinkel. Det står for alle vinkler. Hvis dette blir en rett vinkel,da dette begrepet forsvinner, og du sitter bare igjen med thePythagorean teorem. Men vi har bevist dette. Dette gjelder bare vanlige,kjøre av møllen trekanter. Og heldig for oss, vi har aregular, kjøre av møllen trekant her., Så la oss bruke lawof cosines til denne trekanten til høyre her. Og slik jeg har tegnet det,de svarer. Lengden av thisside squared. Så det betyr at det lengthof et minus b squared. Lengden av en vektor et minus vectorb, det er bare lengden på denne siden. Så jeg bare squaringthat side. Det er lik lengden av vectorb squared pluss lengden av en vektor en squared minus 2 timesthe lengden på-jeg vil bare skrive to ganger lengden av vectora ganger lengden av en vektor b ganger cosinus ofthis høyre vinkel her. Ganger cosineof at vinkel., Og jeg er å definere dette anglebetween disse to vektorer til å være den samme som thisangle akkurat der. Så hvis vi vet dette, vinkel, bydefinition, vi vet at høyre vinkel der. Vel, vi vet at squareof våre lengder av en vektor når vi bruker våre factordefinition av lengde, at dette er akkurat det samme asa vektor oversådd med seg selv. Så det er en minusb dot a minus b. Det er alle kommer til å være lik tothis hele ting på høyre side. Men la meg simplifythe venstre side av denne ligningen. a minus b dot a minus b, dette isthe samme som en prikk a– de to vilkårene–minus et punkt b., Og så har jeg minus b dot en. De to begrepene høyre det. Og da har du theminus b dot minus b. Det er det samme thingas et pluss b punkt b. Husk, dette er bare asimplification av venstre side. Og jeg kan skrive om dette. et punkt en, vi vet at det er justthe lengden av et kvadrat. et punkt b og b dot en arethe samme, så vi har to av disse. Så dette her, dette termright det vil forenkle til minus 2 ganger i punkt b. Og så til slutt, b punkt b. Vi vet at det er bare thelength av b squared. Jeg bare forenklet eller kanskje Ijust utvidet– det er et bedre ord., Når du går fra ett semester til disse tre vilkårene, kan du ikke si at du forenklet det. Men jeg bare utvides theleft-side og så denne har til å være lik den til høyre-handside ved lov av cosines. Så det er lik– jeg almostfeel som i stedet for å skrive det, la meg bare copyand lim den. Hva gjorde jeg bare gjøre? Kopiere, redigere. Kopier og lim inn. Det du går. Jeg vet ikke det thatwas verdt det. Men kanskje jeg lagret en littlebit tid. Så det er like tothat akkurat der. Og da kan vi forenkle. Vi har en lengde på asquared her, lengden av et kvadrat der. Trekker det fra begge sider., Lengden av b squared her,lengden på b squared det. Trekker det fra begge sider. Og så, hva kan vi gjøre? Vi kan dele begge sider byminus 2 fordi alt annet er borte. Og slik at sikt og at termwill både bli 1. Og alt vi sitter igjen med er thevector en prikk vektoren b. Og dette er interessant becauseall av en plutselig vi får en relationshipbetween dot produkter av to vektorer. Vi har slags gått bort fromtheir definisjon av lengder. Men dot produkt av twovectors er lik produktet av deres lengder,deres vektor lengder., Og de kan ha en arbitrarynumber av komponenter. Ganger cosinus til theangle mellom dem. Husk, dette theta, jeg saidthis er det samme som når du tegner denne typen analogt,likesidet trekant. Men jeg definerer anglebetween dem til å være den samme som. Så jeg kan si at dette isthe vinkelen mellom dem. Og selvsagt, den ideen ofbetween to vektorer, er det vanskelig å visualisere hvis du går beyondthree dimensjoner. Men nå har vi det i hvert fall,matematisk definert., Så hvis du gi meg to vektorer wecan nå, ved hjelp av denne formelen som vi har vist ved hjelp av thisdefinition opp her, kan vi nå beregne vinkelen betweenany to vektorer ved hjelp av denne retten her. Og bare for å gjøre det klart, whathappens hvis en er en, og kanskje er det ikke klart fra thatdefinition, så vil jeg gjøre det klarere her som per definisjon,hvis a er lik noen skalar flere av b wherec er større enn 0, vil vi definere thetato være lik 0. Og hvis c er mindre enn 0, så en iscollinear, men går i stikk motsatt retning, vi’lldefine theta å være lik 180 grader., Og det er i samsvar med whatwe forstå om bare to-dimensjonale vektorer. Hvis de er likhet kollineære andkind av skalar multispill det samme. Det betyr at en ser somethinglike at og b ser noe sånt. Så vi sier oh, som’sa 0 vinkel. Og hvis de går den andre veien,hvis en ser noe som– dette er tilfelle der en isjust går i den andre retningen fra b. en går slik at og b går likethat, vi definerer vinkelen mellom dem for å be180 grader. Men alt annet er prettywell definert av trekanten eksempel., Jeg hadde for å gjøre det spesielle caseof disse fordi det er ikke klart du virkelig få en trianglein disse tilfellene fordi trianglekind av forsvinner. Det flater ut hvis a og b areon toppen av hverandre, eller om de kommer i exactopposite retning. Så det er derfor jeg ønsket å makea liten bit av en side note akkurat der. Nå, ved hjelp av denne definisjonen ofthe vinkel mellom vektorer, kan vi nå definere ideaof vinkelrett vektorer., Så nå kan vi si perpendicularvectors– dette er en annen definisjon– andthis ikke jorden knuste, men den slags isbecause vi har generalisert dette til vektorer som har anarbitrary antall komponenter. Vi definerer perpendicularto mener theta-mellom-to vektorer a og b areperpendicular hvis vinkelen mellom dem er 90 grader. Og vi kan definere som. Vi kan ta to vektorer,prikk dem. Ta sine prikk-produktet. Finne ut sine to lengder andthen du kunne finne ut vinkelen mellom dem. Og hvis det er 90 grader. du kan si at de areperpendicular vinkler., Og jeg vil være veldig tydelig herethat dette er faktisk ikke definert for 0 vectorright her. Så denne situasjonen her,ikke er definert for 0-vektor. Fordi hvis du har 0vector, så dette kvantumet her er kommer til å være 0 andthen dette kvantumet her er kommer til å være 0. Og det er ingen klare definitionfor din vinkel. Hvis dette er 0 her, youdid 0 er lik 0 ganger cosinus til theta. Og så hvis du ønsker å solvefor theta du vil få cosinus av theta er lik 0/0,som er udefinert. Men det vi kan gjøre, er å opprette aslightly mer generelle ord enn ordet vinkelrett., Så du må ha en definedangle til og med snakk om vinkelrett. Hvis vinkelen mellom to vectorsis 90 grader, vi sier per definisjon, de twovectors er vinkelrett. Men hva om vi laget thestatement og vi kan-hvis du ser på dem, hvis anglebetween to vektorer er 90 grader, hva betyr det? Så la oss si at thetais 90 grader. La meg trekke en linje her. La oss si at thetais 90 grader. Theta er lik 90 grader. Hva betyr dette formulatell oss? Det forteller oss at en prikk b isequal til lengden av en ganger lengden av b ganger cosineof 90 grader., Hva er cosinus til 90 grader? Det er 0. Du kan se din enhet circleif som ikke gjør mye fornuftig. Men det er lik 0, så thiswhole sikt kommer til å være lik 0. Så hvis theta er lik to90 grader, deretter et punkt b er lik 0. Og så dette er anotherinteresting takeaway. Hvis a og b er vinkelrett,deretter sine prikk-produktet kommer til å være lik 0. Nå om sine prikk-produktet isequal til 0, kan vi nødvendigvis si at de areperpendicular? Vel, hva hvis en eller bis 0 vektor? 0 vektor-la meg callit z for 0 vektor. Eller jeg kunne bare trekke., 0 vektor dot noe isalways kommer til å være lik 0. Betyr det at 0vector er vinkelrett til alt? Vel nei. Fordi 0 vektor jeg sa, wehave å ha tanken i en vinkel mellom ting inorder å bruke ordet vinkelrett. Så vi kan ikke bruke 0-vektor. Vi kan ikke si at bare fordi twovectors dot produkter er lik 0 som de areperpendicular. Og det er fordi 0 vectorwould rotet det opp fordi 0 vectoris ikke definert., Men hvis vi sier, og vi har beensaying, at a og b er ikke-null, hvis de er nonzerovectors, så kan vi si at hvis a og b er ikke-null og theirdot produktet er lik 0, deretter a og b areperpendicular. Så nå går det begge veier. Men hva om vi bare har thiscondition her? Hva om vi bare har thecondition som et punkt b er lik 0? Det virker som det er slik ofjust en enkel, ren tilstand. Og vi kan skrive ord for det. Og disse ordene er ofte usedsynonymously, men forhåpentligvis forstår du thedistinction nå., Kan vi si at hvis to vectorsdot produktet er lik 0, vil vi kalle dem ortogonale. Som jeg alltid sier, spellingisn ikke mitt beste fag. Men dette er kindof en ryddig anelse. Dette forteller oss at– vel, thatall vinkelrett vektorer er ortogonale. Og den forteller oss at the0 vector er ortogonale til alt annet. Til alt, også til seg selv. 0 dot 0 vectoryou fortsatt få 0. Så per definisjon,det er ortogonale., Så for første gang probablyin din matematiske karriere, du ser, det er ordene–du vet, hver gang du først fikk utsatt for wordsperpendicular og ortogonale i geometri eller kanskje i physicsor hvor enn andre, de var alltid snill ofthe samme ord. Men nå er jeg introduserer en fin liten forskjell her, og du kan slags vær litt smart aleck med lærere. Åh, du vet, det er perpendicularonly er vektorer ikke– hvis neitherof dem er 0 vektor. Ellers, hvis deres dot productis 0, du kan bare si at de er ortogonale., Men hvis de er ikkenull youcould si at de er ortogonale og vinkelrett. Men uansett, jeg tenkte som Iwould introdusere denne lille forskjell for deg i tilfelle youhave noen som liker å reise deg opp med ord. Men det jeg også tror highlightsthat vi bygger en matematikk fra bakken upand vi må være forsiktig med ordene vi bruker. Og vi må være veldig preciseabout våre definisjoner., Fordi hvis vi ikke preciseabout våre definisjoner, og vi bygger opp en haug av mathematicson toppen av dette, og gjøre en haug av bevis, en dag wemight scratch hodene våre og lese noen type ofweird tvetydighet. Og det kan ha alle kom outof det faktum at vi ikke var presis nok i å definere whatsome av disse uttrykkene betyr. Vel uansett, forhåpentligvis youfound dette nyttig. Vi kan nå ta vinkel eller wecan nå bestemme vinkelen mellom vektorer med anarbitrary antall komponenter.