acum câteva videoclipuri am introdus ideea lungimii unui vector. Aceasta este egală cu lungimea. Și aceasta a fost o idee grozavă pentru că suntem obișnuiți cu lungimea lucrurilor în spațiul bidimensional sau tri – dimensional, dar devine foarte abstract când ajungem la N dimensiuni. Dacă aceasta are o sutăcomponente, cel puțin pentru mine, este greu să vizualizezi o sutăvector de dimensiune. Dar am definit de fapt noțiunea de lungime. Și am văzut că aceasta este de faptvaloare scalară. E doar un număr., În acest videoclip, vreau să încercpentru a defini noțiunea de unghi între vectori. După cum puteți vedea, suntem buildingup acest matematică de vectori de la sol în sus, și putem spune, oh, eu știu ce este un unghi becauseeverything știm despre unghiuri și chiar și lungimi, pur și simplu se aplică la ceea ce ne-am asociat cu două – trei-dimensională de spațiu. Dar întregul studiu al linearalgebra abstractizează aceste idei în spațiu multi-dimensional. Și nici măcar nu am definit whatdimension este încă, dar cred că ați înțeles că ideato un anumit grad deja. Când oamenii vorbesc despre unul saudouă sau trei dimensiuni., Deci să spunem că am un vector — să spunem că am doi vectori, vectorii a și b. sunt nonzero și își amintesc de Rn. Și nu am încă o idee despre unghiul dintre ele, dar permiteți-mi să le scot. Permiteți-mi să le desenez ca și cum aș putea să le desenez în două dimensiuni. Deci, care ar fi vectora chiar acolo. Poate că e vectorb chiar acolo. Și apoi acest vector ar fi vectorul a minus b. și puteți verifica că exact așa am învățat să adăugăm și să scădem vectori. Sau știi, acest lucru este cap la coadă. Deci b plus a minus b este desigur, va fi vectorul a., Și că toate doar funcționează acolo. Pentru a ne ajuta să definim acest unghi, permiteți-mi să construiesc un alt triunghi care va arăta mult ca acesta. Dar amintiți-vă, Eu fac doar acest lucru pentru mințile noastre simple să-l imagineze în două dimensiuni. Dar acestea nu sunt neapăratbiarele bidimensionale. Acestea fiecare ar putea avea componente ahundred. Dar lasă-mă să fac un alt triunghi. Ei bine, ar trebui să arate similar. Spune că așa arată. Și voi defini laturile triunghiurilor ca fiind lungimile fiecăruia dintre acești vectori., Amintiți-vă, lungimile fiecăruia dintre acești vectori, nu-mi pasă câte componente există, vor fi doar numerele voastre. Deci lungimea de partea asta chiar aici este doar de gând să fie lungimea de un. Lungimea de partea asta chiar aici este doar de gând să fie lungimea de vector aminus vector b. Și lungimea acestui sideright aici este de gând să fie lungimea de vector b. Acum primul lucru pe care am vrut să fim siguri că putem întotdeauna construi un trianglelike asta. Și în ce împrejurări nu am putea construi un triunghi ca acesta?, Ei bine, nu am putea construi un triunghi ca acesta dacă această parte. dacă b, dacă magnitudinea … lasă-mă să notez asta. Este un fel de punct subtil, dar vreau să fac acest lucru foarte clar. Pentru a defini un unghi, vreau să fiu confortabil că pot face întotdeauna acest lucruconstrucție. Și trebuie să mă asigur că–permiteți-mi să scriu motivele pentru care nu am putut face această construcție. Ei bine, ce se întâmplă dacă magnitudinea B a fost mai mare decât, sau lungimea vectorului b a fost mai mare decât lungimea vectorului a plus lungimea vectorului a minus B?, În două dimensiuni, am putea neverdraw un triunghi, atunci, pentru că ar această lungime plus această lungime va fi mai scurt thanthis lucru chiar aici. Ca să nu-l poți construi niciodată. Și aș putea face cu toate părțile. Ce se întâmplă dacă această lungime a fost mai maredecât una dintre aceste două părți? Sau dacă lungimea era mai mare decât una din cele două părți? Nu aș putea niciodată să desenez un triunghi bidimensional în acest fel. Deci ceea ce voi face este să folosesc triunghiul– inegalitatea triunghiului vectorial pentru a dovedi că fiecare dintre aceste laturi este mai mică sau egală cu suma celorlalte laturi., Aș putea face același lucru. Lasă-mă să clarific ideea. Aș putea arăta că dacă a, indiferent de motiv, ar fi mai mare decât celelalte laturi plus b, atunci nu aș putea crea un triunghi. Și ultimul, desigur, isif un minus b, pentru orice motiv, a fost mai mare decât în alte două părți, n-aș fi în stare să drawa triunghi în plus b. Deci trebuie să arătăm că pentru anyvectors, orice vectori– nenul, adevărați vectori care aremembers de Rn-că nici unul dintre acestea se poate întâmpla vreodată. Trebuie să dovedesc că nu se poate întâmpla nimic din astea. Deci, ce ne spune triunghiulinegalitatea?, Inegalitatea triunghiului ne spune că dacă am suma a doi vectori, dacă iau lungimea sumei a doi vectori, aceasta va fi întotdeauna mai mică de — și aceștia sunt vectori non-zero. Acest lucru este întotdeauna va fi mai puțindecât sau egală cu suma fiecăreia dintre individualelungimi lor. Să vedem dacă putem aplica asta triunghiului de aici. Deci,care este magnitudinea, lungimea lui a? Ei bine, pot rescrie vectorul a. ce este Vectorul egal cu? Vectorul a este egal cu vectorb plus vectorul a minus b. vreau să spun că rescriu vectorul aici. Sunt doar rescrierea aici ca asum a celorlalți doi vectori., Nimic fantezist acolo. Nu am folosit triangleinegality sau ceva. Tocmai am folosit definitionof mea vector plus. Dar aici, ACUM, dacă aș pune niște părinți aici, acum pot aplica inegalitatea triunghiului. Și eu spun, ei bine,știi ce? Aceasta va fi, prin inegalitatea triunghiulară, pe care am dovedit-o, va fi mai mică sau egală cu lungimea fiecăruia dintre acești vectori. Vectorul b plus lungimea vectorului a minus b. deci știm că lungimea lui aeste mai mică decât suma acelui și a acelui. Așa că nu trebuie să ne facem griji că asta e problema noastră. Știm că nu este adevărat., Acum, să ne uităm la b. deci, există vreo cale prin care potscrie b ca o sumă a altor doi vectori? Ei bine, sigur. Pot să-l scrie ca o sumă de aplus, lasă-mă să-l pun în acest fel. Dacă vectorul de acolo este aminus b, același vector în direcția inversă va fi vectorul b minus. Deci un plus vectorb minus. Asta e același lucru ca și b. Și puteți vedea chiar aici. A-urile s-ar anula și tu ai rămas cu b-ul acolo. Acum, prin inegalitatea triunghiului, știm că aceasta este mai mică sau egală culungimea vectorului a plus lungimea vectorului B minus a., Acum spui hei, Sal,ai de-a face cu b minus. Aceasta este lengthof un minus b. Și nu pot lăsa acest lucru să-l dovedească pe baza definiția noastră de vector lungimi,dar lungimea b minus este egal cu minus 1 timesa minus b. Și eu o să-l las să spun că uite, aceste lungimi sunt egale. Pentru că în esență-am couldleave asta, dar cred că puteți lua ca baza doar thevisual reprezentare a le că ei sunt exact samevectors, doar în direcții diferite. Și trebuie să fiu atent cu lungimea, pentru că nu este doar în două dimensiuni., Dar cred că ți-a venit ideea și îți voi lăsa asta pentru a dovedi că aceste lungimi sunt același lucru. Deci știm că b este mai puțin decât lungimea acestor două lucruri. Așa că nu trebuie să ne facem griji pentru asta. În cele din urmă, un minus b. Amploarea sau lengthof vector un minus b. Ei bine, eu pot scrie ca lungimea de … sau am putea scrie asta ca vector un plusvector minus b. Dacă ne-am pune un minus b acolo și du-te în alte direcții, am putea spune minusb, care ar fi în această direcție, plus o ar ne da un vector avem un minus b. De fapt, nu trebuie să merg acolo., Asta e evident din asta. Am pus negativul între paranteze. Ei bine triunghiul inegalitate,iar acest lucru ar putea părea un pic banale, dar reallyshows ne că întotdeauna putem defini un regulat plane trianglebased pe acești vectori în acest fel. Ne spune acest lucru este mai puțin decât orequal la lungimea de vector un plus lengthof minus b. Și am spus și couldprove pentru tine, că acest lucru este același lucru cu lungimea de b. Așa că am văzut că este cu siguranță mai puțin decât cele două. Acest lucru este cu siguranta mai putin decat cele doua. Și asta este cu siguranță mai puțin decât cei doi., Niciunul dintre motivele care ne-ar împiedica să construim un triunghi nu este valabil. Deci, putem construi întotdeauna atriangle în acest fel de la orice nonzerovectors arbitrare în Rn. Putem construi întotdeauna acest lucru. Acum, pentru a defini un unghi, lasă-mă să-l redeseneze aici. Lasă-mă să redesenez vectorii, poate un pic mai mare. Acesta este Vectorul a. acesta este Vectorul b. și apoi permiteți-mi să-l desenez în acest fel. Acesta este Vectorul chiar acolo. Acesta este Vectorul a minus b., Și am spus că vom defini un regulat corespunzător, run of the mill,vanilla triangle ale cărui lungimi sunt definite de lungimile vectorilor, de lungimile vectorilor. Deci, aceasta este lungimea b, acea parte. Aceasta este lengthof un minus b. Și atunci aceasta este lungimea de un. Acum că știu că am canalways construi un triunghi astfel, pot încerca să stabilească … sau de fapt, eu va defini definitia pe care o anglebetween doi vectori. Deci știm ce anglieînseamnă în acest context. Acesta este doar un triunghi geometric obișnuit., Acum, definiția mea a unui unghi între doi vectori voi spune– Deci asta încerc să definesc. Aceasta este ceea ce am de gând să definească. Acestea pot avea număr arbitrarde componente, deci este greu de vizualizat. Dar voi defini acest unghi ca unghiul corespunzător într-un triunghi regulat, în care laturile triunghiului mill sunt cei doi vectori și apoi partea opusă este scăderea, este lungimea diferenței dintre cei doi vectori. Aceasta este doar definiția., Sunt definirea acest lucru, anglebetween doi vectori din Rn care ar putea avea un arbitrar numărul de componente, sunt definitorii acest unghi să fie aceeași caacest lucru unghi, unghiul dintre cele două părți, cele două lengthsof acestor vectori într-o regulat, condusă de themill triunghi. Acum, ce pot face cu asta? Ei bine, putem găsi o relație între toate aceste lucruri chiar aici? Ei bine, sigur. Dacă vă amintiți din clasa dvs. de trigonometrie și dacă nu, am dovedit-o în lista de redare. Ai legea cosinusurilor. Și o voi face cu un triunghi arbitrar chiar aici doar pentru că nu vreau să te derutez., Deci, dacă aceasta este partea a, b și cand aceasta este theta, legea cosinusurilor ne spune că c pătrat este egal cu un pătrat plus b pătrat minus 2abcozina lui theta. Întotdeauna mă gândesc la ea ca la un fel de teoremă mai largă a lui Pitagora, deoarece acest lucru nu trebuie să fie un unghi drept. Acesta reprezintă toate unghiurile. Dacă acest lucru devine un unghi drept, atunci acest termen dispare și tocmai ați rămas cu teorema Pythagorean. Dar am dovedit asta. Acest lucru se aplică doar regulat,rula triunghiuri Moara. Și din fericire pentru noi, avem aregular, run din triunghiul mill aici., Deci, să aplicăm legea cosinus la acest triunghi chiar aici. Și modul în care l-am desenat,ele corespund. Lungimea acestui pătrat. Asta înseamnă lungimea unui minus b pătrat. Lungimea vectorului a minus vectorb, aceasta este doar lungimea acelei părți. Deci, eu sunt doar squaring acea parte. Este egal cu lungimea vectorb pătrat plus lungimea vectorului a pătrat minus 2 ori lungimea — voi scrie doar de două ori lungimea vectorei ori lungimea vectorului b ori cosinusul acestui unghi chiar aici. Ori cosinusul acelui unghi., Și definesc acest unghi între acești doi vectori să fie la fel ca acest unghi de acolo. Deci, dacă știm acest unghi, prin definiție, știm acel unghi chiar acolo. Ei bine, știm că pătratul lungimilor noastre ale unui vector atunci când folosim definiția noastră de lungime, că acesta este exact același lucru ca un vector punctat cu el însuși. Deci, acesta este un punct minusb a Minus b. totul va fi egal cu toată chestia asta din partea dreaptă. Dar permiteți-mi să simplific partea stângă a acestei ecuații. a minus B Punct a minus B, acesta este același lucru ca un punct a — acei doi termeni — minus un punct b., Și apoi am minus B dot A. cei doi termeni de acolo. Și atunci trebuie theminus b punct minus b. Asta e același lucru cu un plus b punct b. Amintiți-vă, aceasta este doar asimplification din partea stângă. Și pot rescrie asta. un punct a, știm că este doarlungimea unui pătrat. un punct b și b Punct a sunt același lucru, deci avem două dintre acestea. Deci, acest drept aici, acest termen drept acolo va simplifica la minus 2 ori un punct b. și apoi în cele din urmă, b punct b. știm că aceasta este doar lungimea lui b pătrat. Am simplificat sau poate am extins– e un cuvânt mai bun., Când treceți de la un termen la trei termeni, nu puteți spune că l-ați simplificat. Dar am extins doar partea stângă și așa acest lucru trebuie să fie egal cu partea dreaptă prin Legea cosinus. Deci asta e egal cu — aproape că simt că în loc să o rescriu, lasă-mă doar să o copiez și să o lipesc. Ce am făcut? Copiere, editare. Copiați și lipiți. Poftim. Nu cred că a meritat. Dar poate am economisit puțin timp. Deci, care este egal cu asta chiar acolo. Și apoi putem simplifica. Avem o lungime de asquared aici, lungimea unui pătrat acolo. Reduceți-l din ambele părți., Lungimea lui b pătrat aici, lungimea lui b pătrat acolo. Reduceți-l din ambele părți. Și apoi, ce putem face? Putem împărți ambele părți prinminus 2 pentru că totul a dispărut. Și astfel încât pe termen lung și că termwill ambele deveni 1. Și tot ce ne rămâne este vectorul un punct vectorul b. Și acest lucru este interesant pentru cătoate dintr-o dată avem o relationshipbetween dot produse de doi vectori. Ne-am cam îndepărtat de definiția lor prin lungimi. Dar produsul punct al a douăvectoarele sunt egale cu produsul lungimilor lor, lungimile lor vectoriale., Și pot avea un arbitrarnumărul de componente. Ori cosinusul triunghiului dintre ele. Amintiți-vă, acest theta, am spusacest lucru este la fel ca atunci când desenați acest tip de triunghi analogic,regulat. Dar eu sunt definirea anglebetween – le să fie la fel ca asta. Deci pot spune că asta esteunghiul dintre ele. Și, evident, ideea de a fi între doi vectori, e greu de vizualizat dacă depășești trei dimensiuni. Dar acum îl avem cel puțin, definit matematic., Deci, dacă-mi dai doi vectori putem acum, folosind această formulă că ne-am dovedit cu ajutorul thisdefinition până aici, putem acum calcula unghiul betweenany doi vectori folosind acest lucru chiar aici. Și doar pentru a face clar, whathappens dacă a este un … și poate că nu e clar din thatdefinition, așa că voi fi mai clar de aici că, prin definiție,dacă a este egal cu un scalar multiplu de b wherec este mai mare decât 0, vom defini thetato fi egal cu 0. Și dacă c este mai mică decât 0, deci a iscoliniar, dar merge în direcția opusă, vom defini theta să fie egală cu 180 de grade., Și asta este în concordanță cu ceea ce înțelegem despre vectorii bidimensionali. Dacă sunt coliniare și un fel de multipli scalari la fel. Asta înseamnă că a arată ceva de genul asta și b arată ceva de genul asta. Deci spunem oh, asta e un unghi 0. Și dacă merg în altă parte, dacă a arată ceva de genul– acesta este cazul în care a merge doar în cealaltă direcție de la b. a merge așa și b merge așa, definim unghiul dintre ele la 180 de grade. Dar orice altceva este frumosbine definit de exemplul triunghiului., A trebuit să fac cazul special al acestora pentru că nu este clar că într-adevăr obțineți un triunghi în aceste cazuri, deoarece triunghiul dispare. Se aplatizează dacă a și b sunt unul peste altul sau dacă merg în direcția exactă opusă. Deci, de aceea am vrut să fac un pic de o notă laterală chiar acolo. Acum, folosind această definiție a unghiului dintre vectori, putem defini acum ideea vectorilor perpendiculari., Deci, putem spune acum perpendicularvectors-aceasta este o altă definiție -, aceasta nu va fi zguduitor pământ, dar un fel de isbecause am generalizat de vectori care au anarbitrary număr de componente. Definim perpendicularul pentru a însemna theta între– doi vectori a și b sunt perpendiculari dacă unghiul dintre ei este de 90 de grade. Și putem defini asta. Putem lua doi vectori, punct-le. Ia produsul lor punct. Figura lor două lungimi șiatunci ai putea da seama unghiul dintre ele. Și dacă sunt 90 de grade. puteți spune că suntunghiuri perpendiculare., Și vreau să fiu foarte clar aici că acest lucru nu este de fapt definit pentru vectorul 0 chiar aici. Deci, această situație chiar aici, nu este definită pentru vectorul 0. Pentru că dacă aveți 0vector, atunci această cantitate chiar aici va fi 0 andthen această cantitate chiar aici va fi 0. Și nu există o definiție clară pentru unghiul tău. Dacă acest lucru este 0 chiar aici, youdid 0 este egal cu 0 ori cosinus de theta. Și dacă ai vrea să rezolvi pentru theta ai obține cosinusul lui theta este egal cu 0/0, ceea ce este nedefinit. Dar ceea ce putem face este să creăm un cuvânt puțin mai general decât cuvântul perpendicular., Deci trebuie să aveți o definițieunghiul pentru a vorbi chiar despre perpendicular. Dacă unghiul dintre doi vectori este de 90 de grade, spunem prin definiție că acești doi vectori sunt perpendiculari. Dar dacă am face declarația și am putea– dacă vă uitați la ei, dacă unghiul dintre doi vectori este de 90 de grade, ce înseamnă asta? Deci, să spunem astaeste de 90 de grade. Lasă-mă să trag o linie aici. Să spunem astaeste de 90 de grade. Theta este egală cu 90 de grade. Ce face această formulăspuneți-ne? Ne spune că un punct b este egal cu lungimea de a ori lungimea de B ori cosinus de 90 de grade., Ce este cosinus de 90 de grade? E 0. Puteți revizui unitatea dvs. cercdacă nu are prea mult sens. Dar asta este egal cu 0, deci astaîntregul termen va fi egal cu 0. Deci, dacă theta este egală cu90 de grade, atunci un punct b este egal cu 0. Și acesta este un altulinteresant takeaway. Dacă a și b sunt perpendiculare,atunci produsul lor punct va fi egal cu 0. Acum, dacă produsul lor dot esteegal cu 0, putem spune în mod necesar că suntperpendicular? Ei bine, ce se întâmplă dacă a sau bis vectorul 0? Vectorul 0 — permiteți – mi să numesc Z pentru vectorul 0. Sau aș putea desena., Vectorul 0 punct orice isalways va fi egal cu 0. Deci asta înseamnă că 0vectorul este perpendicular pe tot? Ei bine, nu. Pentru că vectorul 0 am spus, trebuie să avem noțiunea de unghi între lucruri pentru a folosi cuvântul perpendicular. Deci nu putem folosi vectorul 0. Nu putem spune doar pentru că twovectors Dot products sunt egale cu 0 că suntperpendicular. Și asta pentru că vectorul 0 ar strica asta, Deoarece vectorul 0 nu este definit., Dar dacă spunem, și ne-am beensaying, că a și b sunt nenule, dacă acestea sunt nonzerovectors, atunci putem spune că dacă a și b sunt nenule și theirdot produsul este egal cu 0, atunci a și b areperpendicular. Deci, acum merge în ambele sensuri. Dar dacă avem această condiție chiar aici? Ce se întâmplă dacă avem doarcondiția că un punct b este egal cu 0? Se pare că asta e doar o condiție simplă, pură. Și putem scrie un cuvânt pentru asta. Și aceste cuvinte sunt adesea folositesynonymously, dar sperăm că ați înțeles thedistinction acum., Putem spune că dacă doi vectoriprodusul Dot este egal cu 0, le vom numi ortogonale. Așa cum am spus întotdeauna, ortografia nu este cel mai bun subiect al meu. Dar aceasta este o idee bună. Asta ne spune că toți vectorii perpendiculari sunt ortogonali. Și ne mai spune că vectorul 0 este ortogonal pentru orice altceva. Pentru tot, chiar și pentru sine. Vectorul 0 dot 0 încă mai primești 0. Deci, prin definiție, este ortogonală., Astfel, pentru prima dată probablyin matematică cariera, vei vedea că cuvintele … știi, de fiecare dată când ai luat prima dată expuse la wordsperpendicular și ortogonală în geometrie sau poate în physicsor oriunde altundeva, ei au fost întotdeauna un fel de fel de cuvinte. Dar acum vă prezint o mică distincție aici și puteți fi puțin deștepți cu profesorii. Oh, știi, este perpendicular doar este vectorii nu sunt-dacă nici unul dintre ei sunt vector 0. În caz contrar, dacă produsul lor dot este 0, puteți spune doar că sunt ortogonale., Dar dacă nu sunt zero, poți spune că sunt ortogonale și perpendiculare. Dar oricum, m-am gândit că aș introduce această mică distincție pentru tine în cazul în care ai pe cineva căruia îi place să te încurce cu cuvinte. Dar, de asemenea, cred că subliniazăcă construim o matematică de la bază în susși trebuie să fim atenți la cuvintele pe care le folosim. Și trebuie să fim foarte preciși despre definițiile noastre., Pentru că dacă nu suntem preciseabout definițiile noastre și vom construi o grămadă de mathematicson partea de sus a acest lucru și face o grămadă de dovezi, într-o zi wemight scărpinăm în cap și a citit un tip ciudat ambiguitate. Și s-ar putea să fi ieșit totul din faptul că nu am fost suficient de preciși în definirea a ceea ce înseamnă unii dintre acești Termeni. Ei bine, oricum, sperăm că tua găsit acest lucru util. Acum putem lua unghiul sau noipoate determina acum unghiul dintre vectori cu un număr anarbitrar de componente.